SH波入射覆蓋層半空間圓孔及圓夾雜的動力分析

陳冬妮，齊輝

(哈爾濱工程大學航天與建筑工程學院，黑龍江哈爾濱150001)

各種場地類型及地下結構對地震波的響應問題研究是地震工程學中波動問題的研究內容之一。這類研究均屬于彈性動力學問題的范疇。目前，夾雜、孔洞、襯砌等結構對彈性波散射問題的研究已經很成熟［1-4］。20世紀末，大圓弧假設原理的提出徹底解決了在半無限空間表面無法進行波函數展開的難題并在求解波動問題中被廣泛應用［5-8］。我國學者劉殿魁等［9］又在二維散射問題的解析當中引入“域函數”的概念和復變函數法，大大拓展了傳統波函數展開法的應用范圍［10-13］。

本文求解時基于大圓弧假設法用曲面邊界替代直邊界以構造求解所需的波函數場，然后再結合復變函數法、波函數展開法給出具有地表覆蓋層的彈性半空間內圓孔及圓夾雜在穩態SH波作用下動應力集中問題的解。

1 理論分析

1.1 問題表述

如圖1所示，建立多個圓孔和圓柱形夾雜的彈性半空間計算模型。在地表覆蓋層的下邊界建立一個總體坐標系XOY，在圓孔和圓柱形夾雜的圓心上建立局部坐標系XjOjYj。地表覆蓋層的上邊界和下邊界分別標記為TU和TD，覆蓋層的厚度為h2，密度和剪切彈性模量分別為ρ2和μ2;用來擬合地表直邊界的大圓弧中心記為O＇，到上邊界和下邊界的半徑分別記為RU和RD;基體介質的密度和剪切彈性模量分別為ρ1和μ1;淺埋圓孔和圓柱形夾雜標記為TS(S=1，2，…，m)，半徑用 as表示，第 s個圓孔或圓柱形夾雜的中心坐標為cs，其中夾雜的密度和剪切彈性模量分別為ρs和μs。為了便于表述不同的邊界條件，采用“分區”的方法將整個區域分割成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ3個分區進行分析:基體半空間為Ⅰ區，地表覆蓋層為Ⅱ區，圓柱形夾雜為Ⅲ區，TD為區域Ⅰ、Ⅱ的“公共邊界”。

圖1 SH波對淺埋多個圓形結構散射的計算模型Fig.1 The model of scattering of shallow circular structures impacted by SH-wave

1.2 控制方程

SH波入射在xy平面內引起的反平面位移(波函數)記為Wi(x，y，t)。介質的位移場滿足 Helmholtz方程:

式中:位移函數Wi與時間的依賴關系為eiωt(以下分析略去時間諧和因子e-iωt)。簡諧波波數ki=，ω為位移 W(x，y，t)圓頻率;介質的剪切波速=i =1，2，…，S);介質的質量密度和剪切模量分別為 ρi、μi。

應變與應力的關系表示為

而在極坐標系中，式(3)變為

1.3 Ⅰ區散射波的求解

基體Ⅰ中所求散射波W(SI)由圓孔和夾雜TS以及地表覆蓋層下邊界TD產生的散射波和組成，即

移動坐標原點到第j個圓形結構的圓心cj上，則在 (zj)上，z=zj+cj，z-cs=zj-，其中，=c-c。由此式(4)改寫成sj

相應的應力場:

1.4 Ⅱ區散射波的求解

式中:z'=z+i RD，系數 Cn，Dn(n=0，±1，±2，…)待求。

相應的應力場:

1.5 Ⅲ區駐波的求解

式中:系數En(n=0，±1，±2)待求，Jn(·)為n階Besell函數。同樣利用移動坐標技術將式(5)改寫成:

相應的應力場:

1.6 問題的解答

若半空間內存在一與x軸正向成α0的方向入射的穩態的SH波，如圖1所示。則入射波W(i)在復平面(z)上為

式中:W0為入射波的最大幅值。相應的應力場:

式中:τ0=μ1k1W0是入射波產生的剪應力幅值。

由邊界條件:夾雜周邊和Ⅰ、Ⅱ2個區域的“公共邊界”上應力、位移連續，孔洞周邊及地表覆蓋層的上邊界上應力自由，可得求解問題的定解方程組:

在式(6)兩邊同乘 exp(-i mθj)，式(7)、(8)、(9)兩邊同乘 exp(-i mθ')(m=0，±1，±2，…)，式(10)、(11)兩邊同乘 exp(-i mθ2)(m=0，±1，±2，…)并在(-π，π)上積分，則化簡為未知系數，，Bn，Cn，Dn和En的一組無窮代數方程組。通過精度控制對方程組截取有限項(本文截取9項)進而求解。通過驗算，本文的計算精度可以達到10-5。

2 數值結果及參數分析

在理論和工程實踐中最受關注的是孔口或夾雜周邊的動應力集中系數，該參數的大小對被研究結構的使用年限和安全可靠性有直接影響。本文中，對于地表覆蓋層的彈性半空間內圓形孔洞散射問題，主要討論了圓孔周邊的動應力集中系數的變化情況，其中可表達為

式中:τ0=μ1k1W0是入射波產生剪應力幅值。

算例選取如圖2所示計算模型:選取具有相同半徑(采用無量綱參數即將圓孔及夾雜的半徑取為1)，且具有同一埋深的相鄰圓孔和夾雜作為研究對象。參數組合設為= μ2/μ1= μ3/μ1(其中 μ3為夾雜的剪切模量)和=k2/k1=k3/k1。

圖2 SH波對2個同一埋深的相鄰圓孔及夾雜散射計算模型Fig.2 Themodel of circular cavity and inclusion locating in same level by SH-wave

1)圖 3給出了 h2=2.0，h1=10.0，K3R=0.5 ，=2.0=0.25，l=2.5 ，SH 波入射角 α0=90°，波數k1R及不同時，動應力集中系數沿圓孔周邊變化情況。若取=1.0=0=1.0=1.0，則所取計算模型就退化為均勻半無限空間中垂直入射SH波對單圓孔的散射問題，此時圓孔周邊動應力集中系數的分布情況與文獻［14］中所給研究成果吻合良好，由此也間接證明了用本文所述方法來求解本文所述問題是可行和準確的。由圖中結果可知:SH波低頻入射且=2.0，θ=0°時動應力集中系數達到最大值=6.09，數值大小是全空間單孔的3倍多，與均勻介質(=1.0)時圓孔θ=0°處相比，也增加了9%左右，說明覆蓋層的存在的確影響了的大小;另外，隨 k1R 增大，孔邊動應力集中系數減小。

圖3 孔邊動應力集中系數的分布Fig.3 Distribution of DSCF around circular cavity edge

2)圖4給出了 ，h1=3.0，h2=5.0 ，K3R=0.5，=0.25，l=2.5，SH 波入射角 α0=90°，波數 k1R、及不同時，動應力集中系數沿圓孔周邊的變化情況。

圖4 孔邊動應力集中系數的分布Fig.4 Distribution of DSCF around circular cavity edge

當k1R=0.1即SH波低頻入射情況且取值較大時，覆蓋層剛度的增加并沒有明顯改變孔邊的動應力集中系數的大小;只有當取值較小時，覆蓋層剛度的改變才明顯影響到孔邊動應力集中系數的取值;當k1R=0.5即入射波數較大時，相對于低頻情況隨覆蓋層剛度的增加圓孔周邊的動應力集中系數呈現逐漸減小的趨勢。

3)圖4(a)、圖5 給出了h1=3.0，h2=5.0，k1R=0.1，K3R= 0.5= 2.0= 0.25，SH 波入射角α0=90°，孔心距及不同時，動應力集中系數沿圓孔周邊變化情況。由圖4(a)可知:θ=0°處與θ=180°處相比圓孔的增加了 30%;由圖 5(a)可知:處與處相比圓孔的增加了2.5%。由圖5(b)可知:當l/R=10.0時，圓孔周邊的動應力集中系數幾乎不受夾雜存在的影響，此時問題可近似按單孔處理。可見水平孔心距越大孔邊動應力的集中受夾雜的影響越小，這樣的規律完全符合SH波散射的衰減特性。

圖5 孔邊動應力集中系數的分布Fig.5 Distribution of DSCF around circular cavity edge

4)圖6 給出了h1/R=1.5，k1R=0.5=2.0，SH波入射角α=90°、及覆蓋層厚度h2/R不同時，圓孔動應力集中系數在θ=0°處的變化情況。

圖6 孔邊動應力集中系數的分布Fig.6 Distribution of DSCF around circular cavity edge

由圖6(a)可知:隨覆蓋層厚度的增加動應力集中系數的變化呈現出“周期”性，的逐漸變大引起動應力集中系數的變化幅度逐漸減小，變化頻率逐漸增大，但的最大值沒有明顯變化;由圖6(b)可知:夾雜在=5.0即剛性較大時，的最大值與圖6(a)對比明顯減小，縮減了50%多，但變化頻率并沒有被改變。

3 結論

利用復變函數法、波函數展開法及大圓弧假定法給出了平面SH波對圓形孔洞的散射的近似解析解。結果表明:

1)半無限空間中地表覆蓋層、夾雜與淺埋孔洞之間存在強烈的相互作用，地表覆蓋層剛度和厚度、夾雜的剛度及圓孔與夾雜孔心距的變化可顯著改變淺埋圓孔周邊動應力集中的分布。由此在工程實踐中，必須對地表覆蓋層及其他異物質的存在給予高度的重視。

2)本文只計算了地表覆蓋層及夾雜的存在對圓孔周邊動應力集中的影響，也可根據實際需要計算地表覆蓋層及圓孔的存在對夾雜周邊動應力集中的影響。還可以進一步探討地面位移幅值的變化趨勢和規律。

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