矩陣的三個等價關系辨析

蔡鳴晶

摘 要： 矩陣等價，矩陣相似，矩陣合同是矩陣的三個重要的等價關系.本文首先討論了矩陣這三種關系各自的意義，然后分析了這三種關系之間的區別和聯系，并對這些結論作了相應的理論證明.

關鍵詞： 等價關系 等價矩陣 相似矩陣 合同矩陣

在線性代數中，討論了矩陣的三種重要關系，它們分別為矩陣的等價、矩陣的相似和矩陣的合同等關系.從關系的角度來看，這三種關系都屬于等價關系的范疇.初學者常常不能清楚地理解它們之間的聯系和差別，會對這三種關系感到迷惑.本文對矩陣的這三種關系進行討論、分析，辨析它們之間的區別與聯系，為學生學習線性代數提供幫助.

1.等價關系的定義[1]

定義1：設R為定義在集合A上的一個關系，若R是自反的，對稱的和傳遞的，則R稱為等價關系.用符號“～”表示等價.

自反性就是R中的任意元素和自身有該種關系，即A～A；對稱性是若對于R中兩個元素A、B，如果A～B，則有B～A；傳遞性是指對于R中三個元素A、B、C，如果A～B，B～C，則有A～C.

2.矩陣等價、相似、合同的定義[2]

不難證明，矩陣的等價、相似、合同都具有自反性、對稱性、傳遞性，這三者均為等價關系.

3.矩陣等價、相似、合同三者之間的關系

3.1矩陣等價的重要的結論

定理1：矩陣A和B等價的充要條件是它們同型（不要求是方陣）且秩相等[2].

定理2：矩陣A和B等價的充要條件是它們有相同的標準型[2].

定理3：矩陣A和B等價的充要條件是存在可逆矩陣C，D，使得CA=BD.

等價與初等變換有關，秩是矩陣等價關系的不變量，由此可見，兩個同型矩陣等價的本質是秩相等[3].

3.2矩陣相似的重要的結論

通過矩陣相似的定義我們注意到，與矩陣等價不同的是，若矩陣A與矩陣相似，則它們不僅為同型矩陣，而且必須是同階方陣，并且秩相等是矩陣相似的必要條件.

定理4：如果矩陣A和B相似，那么它們有相同的特征值[2].

3.3矩合同的重要的結論

與相似關系相同的是：兩矩陣合同，它們必須是同階方陣.

合同關系與二次型有關，二次型的矩陣必為對稱矩陣之間，即，每個二次型均與一個對稱矩陣有著一一對應的關系.所以我們主要針對實對稱矩陣討論矩陣的合同關系.

由此可以看出：秩相等是矩陣合同的必要條件，兩個同階對稱矩陣合同的本質是秩相等且正慣性指數也相等.

3.3矩陣的等價、合同和相似之間的聯系

定理7：相似矩陣必為等價矩陣，等價矩陣未必為相似矩陣.

顯然，反之不成立，即等價矩陣未必相似.

定理8：合同矩陣必為等價矩陣，等價矩陣未必為合同矩陣.

顯然，反之不成立，即等價矩陣未必合同.

總結：在矩陣的等價、相似、合同這三種等價關系中，等價關系最弱，合同與相似是特殊的等價關系.

矩陣的相似與合同是不能互相推導的，但是如果矩陣具備正交性，則有如下結論.

定理9：正交相似矩陣必為合同矩陣，正交合同矩陣必為相似矩陣.

綜上，等價矩陣、相似矩陣、合同矩陣這三者之間的關系可用下圖表示：

參考文獻：

[1]左孝凌，李為鑑，劉永才編著.離散數學（第1版）[M].上海：上海科學技術文獻出版社，1982：131.

[2]北京大學數學系幾何與代數教研室代數小組.高等代數（第二版）[M].北京：高等教育出版社，1998：188，293，214.

[3]李斐，郭卉.線性代數中的幾個等價關系[J].課程教育研究，2013.8.上旬刊：144.