對偶原理在電路教學中的應用

毛先柏 劉素凱 賴旭芝

【摘要】本文分析了電路中所存在的對偶現象，闡述了對偶原理在電路分析時的應用，探討了對偶原理及其在電路課程教學中及早建立對偶概念的必要性，根據電路理論中對偶原理，并運用心理學的觀點，閑述了對偶原理在電路教學中的重要作用及應用時的關鍵點。

【關鍵詞】對偶性原理；對偶元素；電路教學

1.引言

對偶，是客觀世界中存在的一種特殊規律，其實質是指客觀世界中兩類變量的性質和地位完全一致。若對某一變量的定理成立，應用對偶原理，其對偶元素的對偶定理也成立。對偶性原理是認識事物和解決問題的一種簡捷方便且行之有效的分析方法。幾乎所有的學科領域都會涉及到對偶性原理的研究和運用，電路也一樣，許多電路變量、電路元件、電路定律、定理及計算方法等都存在著明顯的對偶關系。在電路的教學過程中，及時給學生建立對偶的概念并引導他們正確運用對偶原理，將能有效提高該課程的教學效率。

2.電路對偶特性的反映形式

電路中存在著“兩類約束”。每一元件上電壓電流之間的關系由元件的伏安關系式來描述，它與元件自身特性有關，稱為“元件約束”；在電路中，由于各元件間的相互聯接，必然又導致各元件的電流之間及電壓之間存在一定的“約束”關系，這類約束關系稱之為“拓撲約束”或“結構約束”，表示這類約束關系的是基爾霍夫定律，它包括基爾霍夫電流定律和基爾霍夫電壓定律。電路中的許多變量、元件、結構及定律都是成對出現的，并且存在相類似的一一對應的特性。這種特性就稱為電路的對偶性。電路的對偶性，存在于電路變量、電路元件、電路定律、電路結構和電路方程之間的一一對應中。

1）電路元件對偶：電阻R—電導G；電感L—電容C；理想電壓源—理想電流源；實際電壓源—實際電流源等；

2）電路結構對偶：串聯與并聯；開路與短路；回路與結點等；

3）電路定律對偶：電路定律是基于電路元件及結構的。前兩者的對偶，必然導致電路定律的對偶。例如歐姆定律：電阻R：u=Ri——電導G：i=Gu；基爾霍夫定律：針對回路的KVL定律（ΣU=0）——針對結點的KCL定律（Σ I=0）；

4）電路方程式對偶：由于電路結構及電路定律的對偶，必然導致電路方程式的對偶，從而方程的解必然對偶；

5）電路分析方法對偶：例如無源二端網絡中，電阻串聯與電導并聯的計算方法對偶；電源的連接中，電壓源串聯與電流源并聯的計算方法對偶；回路電流法與結點電壓法的計算方法對偶等；

6）電路定理對偶：例如互易定理中電壓源與電流源互易位置對偶；等效電源定理中實際電壓源模型與實際電流源模型對偶；戴維寧定理與諾頓定理對偶等。

電路中存在著一系列的對偶關系，且是互為因果的，即對任何電路元件進行兩次對偶變換便得到原來的元件，其他各種對偶關系也是如此。此外，電路的對偶特性及對偶方法只能用于平面電路，對非平面電路不適用；對偶電路僅僅相互對偶，但彼此之間并不等效，但是兩個等效電路的對偶電路彼此也是等效的；當電路與其對偶的電路具有相同的線狀圖時，這種對偶稱為自對偶。

3.對偶在電路教學實踐中的應用

在電路教材中，對偶原理一般都是放在直流電阻電路的最后才提出的。其實，在之對偶現象已比比皆是，若在教學過程中盡早引導學生理解并掌握這一原理，將會增強課堂信息量，提高教學效率，提高學生的學習積極性和對電路探究的興趣；同時，還能吸引學生自覺探索課程內容之間存在的聯系。因此，在電路教學中讓學生及早建立對偶的概念并引導他們正確運用對偶關系至關重要。

（1）對偶概念的建立

電路課程的開始，復習了電壓、電流這兩個基本變量；教學中可基于這兩個基本變量引入對偶的概念，指明電流、電壓是一對對偶變量，使得學生有一個初步的印象；緊接著，在介紹基爾霍夫定律的時候，給出結點——網孔、網孔電流——結點電壓為對偶元素，同時指出KCL、KVL亦是一對對偶的定律；介紹電路連接時，指明串聯——并聯是一對對偶的連接方式，給出對偶的概念并分析其特點，進行總結。至此，學生腦中已意識到電路的基本變量和基本定律都是對偶的，基本建立了對偶的概念。

（2）對偶概念的應用

及早建立起來的對偶的概念將會給后面的教學帶來很多益處。例如，在電路課程中，節點電壓法和網孔電流法是一對對偶的分析法方法，其中節點——網孔、節點電壓——網孔電流、KCL方程——KVL方程等都是對偶的元素。在講課時，先介紹了網孔電流法，再講節點電壓法，推導其節點電壓方程通式時，只講清推導思路，指出將支路電流用節點電壓表示后帶入KCL方程，整理后即可得到與網孔電流方程相對偶的一組節點電壓方程。經此一點，學生必恍然大悟，較好的理解該方程建立的本質。

在電路課程中，戴維寧定理——諾頓定理、動態電路部分的RC串聯電路——GL并聯電路、RLC串聯電路——GCL并聯電路、正弦交流電路部分的串聯諧振-并聯諧振等內容均呈對偶關系。因此，在對偶的概念建立起之后，授課時即可運用這種對偶關系促進教學。

（3）對偶概念的借鑒

電路中有些內容嚴格意義上說并不具有對偶性質，但也可以借鑒對偶的思想，按照對偶的性質方法來記憶，更容易將知識記牢固。例如三相電路中星形負載與三角形負載連接時相電壓與線電壓、相電流與線電流的關系：

星形負載連接：

三角形負載連接：

上述表達式中，可將兩組公式看成對偶公式，每組公式中，可講電壓和電流又看成對偶量，加深記憶。

4.幾點運用對偶原理的體會

（1）利用對偶原理可增強知識的記憶

電路作為一門技術基礎課，其目的就是讓學員理解并記住電路的基本概念、基本原理，學會運用它們分析具體的電路，通過對具體電路的分析，掌握不同類型電路的工作特點及其分析方法。在教學中，充分運用電路的對偶關系，將會使學員對基本概念、基本原理、基本分析方法及電路工作特點理解的更加深刻、記憶更加牢固

（2）利用對偶原理可促進知識的正向遷移

學習的遷移是指一種學習對另一種學習的影響。凡是一種學習對另一種學習起促進作用的，都是正向遷移，而一種學習對另一種學習起干擾或阻礙作用的，則是負向遷移。

對偶關系，由于二者之間的相似性，在教與學的過程中可以形成學習的遷徙。在電路課程教學中，應充分利用這種遷移效果來促進教學，但由于具體電路的工作條件及我們分析電路的習慣等因素的作用，使得電路中對偶的一些關系的表現形式也略有不同；由于思維定式的影響，對偶關系之間亦會產生負向遷移效果。作為教員，應及時準確的引導學員避免負向遷移，恰當的利用已有的知識，促進知識的正向遷移。

（3）利用對偶原理可以促進知識的融會貫通

隨著教學的進行，不同分析域之間的對偶性也日漸增強，作為老師，此時及時引導學生注意這種對偶關系的總結，最后得出結論：無論時域、頻域、復頻域，電路的工作都是受到基爾霍夫定律和元器件伏安關系所約束的，這是電路理論的根本所在。至此，學生對電路理論的認識有了質的飛躍，真正抓住了電路理論的實質。

在電路課程教學中，要隨時注意發掘并指明對偶現象和對偶規律，利用對偶啟發學生作對比分析，啟發學生積極思考，幫助學生深入的掌握教學內容，一箭雙雕，觸類旁通。

5.結束語

綜上所述，在電路教學中利用對偶原理，可以使得電路的分析方法變的簡單，因為我們掌握了一些電路的分析方法之后，就可以根據對偶原理直接得出另外一些與之對應的電路的分析方法。這對于電路課程的掌握、理解、記憶都將提供很大的方便，也使得對電路的學習變得更為靈活。

參考文獻

[1]邱關源.電路（第四版）[M].高等教育出版社，1999.

[2]周守昌.電路原理（第四版）[M].北京：高等教育出版社，1998.

[3]張景瑩.大學心理學[M].清華大學出版社，1986.

[4]R.E.斯科特[美]鄭翔等譯.線性電路[M].高等教育出版社，1965.