壓縮感知理論在圖像融合中的應用

薛凌云 彭玲

【摘要】壓縮感知理論（CS）由于其壓縮能力和非復雜性，在傳感器方面激發了極大的興趣。在本文中，我們使用一種改進的采樣模式提出了一個新的圖像融合算法。通過不同采樣模式來探索壓縮測量的特性以及它們在圖像融合中的潛在應用。這項研究表明，基于CS的圖像融合和在多分辨率（MR）域中的圖像融合相比有很多感知優勢。仿真結果表明，提出的以CS為基礎的圖像融合算法提供了可喜的成果。

【關鍵詞】壓縮感知;圖像融合;多分辨率分析

引言

研究表明，稀疏或可壓縮信號可通過部分不連貫的投影重建，即壓縮感知或壓縮采樣[1]。通常情況下，重建原始信號所需的采樣次數遠遠小于信號在奈奎斯特頻率采樣次數，由于其顯著的壓縮，從而有降低存儲空間和傳輸帶寬的好處[2]。然而，很少有文獻是關于CS在圖像融合中的應用。圖像融合是將多個圖像融合成一個單一的圖像，以幫助人類的視覺感知或后續的圖像處理任務。一種實現圖像融合的方法是多分辨率分解方案。CS方法的關鍵優勢是，觀測信號時可以不用假定任何初始條件，就可以獲得采樣，從而激勵我們對壓縮圖像融合的研究。

1.壓縮感知理論中的采樣模式

壓縮感知理論能使稀疏或可壓縮的信號通過一些不適應性線性預測重建，從而大大降低了采樣和計算成本。

1.1 壓縮感知理論基礎知識

已知一實值，有限域，一維信號x-RN，X[n]， n-1，2，…N，如果這個信號能寫成：

（1）

的形式，則該信號可以K稀疏表示，當信號X在某個基上僅有K

（2）

，θ是M*N測量矩陣。雖然M

1.2 CS測量中的采樣模式

從1.1節我們知道壓縮測量值y，是在基礎矩陣θ之上信號的非自適應性線性投影獲得的。CS矩陣在二維平面里由星形采樣模式構成[3]，如圖1（a）所示。采樣模式由指示計算壓縮測量值y所需頻率的位置的白線組成。一旦y被測量出來，可以通過重建算法利用測量值y恢復原始信號x。我們根據二維傅立葉變換性質設計了兩個新的采樣模式： “雙星形”模型，如圖1（b）所示;“環星”模型，如圖1（c）所示。通過改變采樣模式中的采樣密度，我們可以得到不同的測量值。

圖1 采樣模型

圖2示出的是三種模式恢復的圖像的信噪比峰值。X軸表示的是CS對原始信號測量值速率 M/N。該圖顯示了可以通過簡單地更多的測量獲得質量更好的圖像，就PSNR值而言，雙星形模型由于在傅里葉域里對低頻率和高頻率有良好的平衡選擇，效果最佳并且重建時間最短。然而，平均實驗結果表明，自然圖像不能導致一個完美的重建。此外，自然的圖像和可見光和紅外圖像還有一個明顯的區別，因為在相同或者更少的CS測試中后兩者會產生更好的PSNR值。因此，自然圖像需要更多的CS測量，以實現一個理想的PSNR閾值。

圖2 重建圖像的PSNR對數值

圖3 實驗圖像

圖4 使用不同的采樣模式Piella值

圖5 使用不同采樣模式Petrovic值

圖6 融合效果（雙星形采樣模式）

2.壓縮圖像融合

2.1 在多分辨率域的圖像融合

多分辨率分解（小波分析）是以多層次的方式捕獲信號，其中每個層次與對應的不斷減小的分辨率近似[4]。因此能夠融合不同尺度分離的圖像特征。在本文我們選擇了一個簡單的最大值（MS）融合計劃來融合輸入的像素級圖像。MR是把源圖像小波系數的最大絕對值作為融合系數。小波圖像融合算法主要包括兩個組成部分。首先，詳細的小波系數使用MS融合規則組成。

DF=DM ? M= ? ? ? ? ? ? （3）

DF表示復合系數，DM表示輸入小波系數的最大絕對值，I表示源圖像的總數。由于各自不同的物理意義，逼近和細節圖像通常以不同的方式組合算法處理。一種流行構建融合的逼近圖像方式：

（4）

融合圖像是通過逆小波變換得到的。基于對小波圖像融合方法要求操作的詳細系數和近似圖像，而在壓縮域，只考慮壓縮測量。

2.2 壓縮域中的圖像融合

在本節中我們用公式表示了一種通過壓縮測量將多個圖像融合成一個圖像的表示方法。最近的理論研究結果表明如果信號在一定程度是稀疏或近疏，測量有很高概率編碼了信號中的重要信息。因此，我們可以在壓縮域里運用同在小波域里類似的融合方法。表1描述了其基本步驟。

表1 壓縮圖像融合算法

算法：壓縮圖像算法

進行壓縮測量Yi，i=1，2，3...I，對第i個輸入圖像采用雙星形模式

用公式（3）進行壓縮測量

用總變差最優化方法從復合測量值YF中重建融合圖像

3.仿真結果和討論

將三種采樣模式得到的融合結果進行比較。Piella和Petrovic指標是用來衡量融合圖像所傳達的重要信息的相對量[5]。在實驗中所用的圖像在圖3中給出。在圖4和圖5，我們給出了圖像融合的結果。

當使用少量的測量時，雙星形模式和其他兩種模式相比有明確的性能改善。然而，當測量次數增加時，三種模式產生了相似的結果。我們注意到通過使用比重建像素少近50%的壓縮測量，我們可以實現同使用整套的像素時幾乎相同的融合結果。圖6給出了使用25%，75%，和所有的傅立葉系數作為壓縮測量值時融合的結果。原始輸入圖像如圖4（a）（b）所示。它表明，使用傅立葉系數超過50%的測量時，融合圖像之間沒有感知差異。

此外比較圖6中得融合圖像，（c）是在一個復雜的小波域使用一個MS計劃獲得的，我們所提出的融合算法不會在人類感知方面提供一個有比較性的結果。圖像質量差主要是由于壓縮測量用于圖像融合時傅立葉系數有其自身的局限性引起的。較大數量的測量值重建的圖像質量更高，然而CS測量過程中壓縮測量會有空間信息損失[6]。因此，傳統圖像融合規則局部知識不適用于壓縮圖像融合。

4.結論

在本文中，我們在壓縮領域提出了一個新的圖像融合算法，用三種模式對壓縮樣本重建進行研究。這個技術給我們提供了一個最重要的優勢是樣品收集時可以不用假設被觀察的信號任何初始信息。因此，壓縮圖像融合在像素和特征的水平上提出了一個真正意義上的不同于傳統圖像融合的方法。使用壓縮傳感技術除了節約了計算量和存儲空間，基于CS的圖像融合還具有許多在常規圖像融合算法的優點。

參考文獻

[1]M.Akcakaya and V.Tarokh.A frame construction and a universal distortion bound for sparse representations.IEEE Tran.Sign.Process.56（6）：2443-2450，Jun，2008.

[2]W.L.Chan，M.L.Moraverc，R.G.Baraniuk，and D.M. Mittleman.Terahertz imaging with compressed sensing and phase retrieval.Optics Letters，33（9）：974-976，May 2008.

[3]D.L.Donoho.Compressed ?sensing.IEEE Trans.Inform.Theory，52（4）：1289-1306.Apr.2006.

[4]M.Duarte，M.Davenport，D.Takhar，J.Laska，T.Sun，K.Kelly，and R.Baraniuk.Single-pixel imaging via compressive sampling.IEEE Signal Processing Magazine，25（2）：83-91，Mar.2008.

[5]J.Provost and F.Lesage.The application of compressed sensing for photo-acoustic tomography.IEEE Trans.Med.imaging，28（4）：585-594，Apr.2009.

作者簡介：

薛凌云（1989—），陜西安康人，碩士，研究方向：信號處理。

彭玲（1985—），湖南衡陽人，碩士，講師，研究方向：嵌入式技術。