能力譜法在鋼框架結構抗震性能評估中的應用

張宇亮

摘 要：本文基于能力譜法，結合我國地震烈度設防規定給出了適合我國地震烈度設防的計算步驟，并結合sap2000有限元程序利用能力譜法對一個9層鋼抗彎框架結構的抗震性能進行了評估，表明能力譜法是結構抗震性能評估的有效方法。

關鍵詞：靜力彈塑性分析，能力譜法，需求譜

Application of Capacity Spetrum Methods for Estimating Seismic Performance of Steel Frame Structure

Na Yang1， Fan Bai1

（1.School of Civil Engineering， Beijing Jiaotong University， Beijing 100124， China）

Abstract：： This paper elaborates the basic principal and method of capacity spetrum method.Its main calculation procedures for China seismic design are summarized. It also make a evaluation to the seismic performance of a 9-story steel frame structure by the finite element program sap2000. By this case， we can know the Capacity-Demand-Diagram method is an efficient way to estimate the structure.

Key words：Nonlinear Static Procedure；Capacity-Demand-Diagram Methods； Demand Diagram

能力譜法是靜力彈塑性抗震設計方法中應用比較普遍的一種方法。1975年由Freeman[1]提出，1987年由Fajfa[2]以N2法的形式發表，到1996年被美國ATC-40[3]規范采用，也是日本建筑基準法BSL2000采用的方法[4]，到2005年，美國應急管理署FEMA440[5]對能力譜法做了完善的改進后，被美國聯邦公路協會采用在橋梁抗震設計規范中。

本文利用能力譜法對美國鋼結構SAC工程中設計建造的9層鋼抗彎框架結構標準模型[6]，在中國地震烈度設防水準下的抗震性能進行了分析。

1 能力譜法

1.1 基本假定

能力譜法基于以下兩個基本假定[7]：

（1）、實際結構的地震反應與某一等效單自由度體系的反應相關，也就是結構的地震相應僅由第一振型控制；

（2）、在地震過程中，不論結構變形大小，分析所假定的結構沿高度方向的形狀向量都保持不變。

1.2 基本原理

基于以上兩個假定，能力譜法將多自由度體系轉化為非彈性的等效單自由度體系，將原結構體系通過靜力推覆得到的基地剪力-頂點位移曲線轉化為等效單自由度體系的譜位移-譜加速度格式的能力譜，并且按照此非線性單自由度體系的阻尼比對設計規范反應譜進行折減，得到針對該等效單自由度體系在給定地震水準下的彈塑性反應譜，并轉化為譜位移-譜加速度格式，將能力譜和需求譜結合在一起，求出在給定地震作用下，等效單自由度體系的性能點，通過性能點反推到多自由度體系結構中的頂點和基底剪力，再根據基本假定，求出原結構各層的層間位移，屈服機制等結構性能，來評估原結構是否滿足在指定地震水準下的性能目標。

2 能力譜法的技術路線

2.1能力譜的建立

能力譜：對結構模型施加逐步施加某種形式的水平荷載，進行靜力推覆分析，得到結構的頂點位移和基底剪力的關系曲線，這一關系曲線反應了結構抵抗側移的能力，描述了結構力-非彈性變形的行為，將其轉化為結構等效單自由度體系的譜加速度-譜位移關系曲線，即為結構的能力譜曲線。

2.1.1 側向荷載的施加模式

結構靜力推腹時，側向力的施加方式：

一般地將側向荷載定義為下面一個或多個的比例組合：（1）、自定義的靜荷載工況或組合，比如定義均勻或倒三角形分布的靜力荷載工況，然后使用此靜力荷載工況作為側向荷載的分布；（2）、加速度荷載，作用于任意的整體X、Y、Z方向的均勻加速度。在每一節點的力與分配給節點的質量成比例，且作用在指定的方向。（3）、振型荷載，選取任意一個振型，在每一節點的力與振型位移，振型角頻率平方及分配給節點的質量成比例。力作用于振型位移方向。通常情況下，加速度荷載相當于均勻分布側向荷載，振型荷載相當于倒三角形分布側向荷載。

2.1.2 建立pushover曲線

按照上述側向力施加模式對多自由度結構進行靜力推覆，得到原結構體系的頂點位移-基底剪力的曲線。

圖1 Pushover曲線[9]

Fig.1 Pushover Curve [9]

圖中Vb 為基底剪力，UN 為頂點位移。

2.1.3 建立等效單自由度體系能力譜

在得到原結構體系的頂點位移-基地剪力曲線后，按照下述公式建立等效單自由度體系的能力譜曲線。

（2.1-1）

（2.1-2）

式中 Sa —譜加速度

Sd —譜位移

M1 —第一階振型的有效模態質量

（2.1-3）

Γ1 —第一階振型的振型參與系數

（2.1-4）

ΦN1—第一階振型頂點的振幅

Φj1 —第一階振型在第j層的振幅

圖2 能力譜曲線的建立[8]

Fig.2 Capacity Diagram [8]

2.2 需求譜的建立

結構抗震性能需求譜是在給定地震作用下，不同周期結構的承載力和位移響應的需求值。對于彈性系統，彈性譜加速度需求可以采用常用的地震彈性反應譜或設計用彈性反應譜得到，彈性反應譜Sd與彈性譜加速度Sa可以采用下式相互轉換 （2.2-1）

圖3 需求譜曲線的轉換[8]

Fig.3 Demand diagram[8]

結構進入塑性后的抗震性能評價需要能夠反映結構彈塑性地震響應的彈塑性需求譜。

建立地震彈塑性需求譜有兩種方法：

（1）通過對某一場地的地震動記錄直接計算等效單自由度結構的彈塑性譜加速度和譜位移值。該方法需要某一場地的大量地震動記錄，并需要能反映結構彈塑性特征的滯回模型，故而使用不多。

（2）通過將結構的彈塑性耗能等效為阻尼耗能后，采用等效阻尼折減線彈性反應譜。

現在抗震設計中，大多采用第二種方法，將其能力譜曲線按照能量相等的原理，近似為一個雙線型彈塑性結構在往復受力滯回中保持穩定，那么它在一個往復周期里的彈塑性好能為ED。如果有一個彈性單自由度體系，它的剛度和彈塑性結構的割線剛度Keq相同，它一個周期振動的阻尼耗能和彈塑性體系一個往復阻尼耗能ED相同，那么由下圖可以得到等效阻尼比為

（2.2-2）

圖4 等效雙線性能力譜線

Fig.4 Equivalent bilinear capacity spetrum

圖中，α為屈服后切線剛度與初始剛度的壁紙，即屈服后剛度系數；Ke為彈性剛度，Keq為割線剛度，Sdy為屈服譜位移，Sdu為最譜大位移，μ為延性系數；ED為彈塑性滯回耗能；ES為最大應變能。

計算上述雙線型能力譜線時，等效阻尼比ξeq并非是彈塑性結構的全部阻尼，只是根據結構自身彈塑性滯回耗能等效出來的阻尼比，結構系統本身還有初始的阻尼比，需要將這兩部分的阻尼比疊加得到結構的阻尼等效阻尼比。考慮到將結構非彈性變形性能轉化為與速度有關的等效阻尼可能帶來的誤差，以及彈塑性結構指揮模型的差異，ATC-40[2]中通過等效阻尼調整系數κ進行修正后直接與結構的初始阻尼比ξn相加得到彈塑性結構的綜合等效阻尼比

（2.2-3）

等效阻尼調整系數κ取值如下圖所示

圖5 等效雙線性能力譜線

Fig.5 Variation of damping modification

factor with equivalent viscous damping

其中，TpyeA為完全理想彈塑性滯回模型；TypeC為剛度和強度退化現象明顯且既有捏攏現象的彈塑性滯回模型；TypeB為介于兩者之間的彈塑性滯回模型。

2.3 在設防水準下性能點的求取

性能點的求取是一個迭代的過程，迭代步驟如下：

（1）、將結構推腹能力譜曲線轉化為二折線的能力譜曲線，并確定能力譜曲線上相應的初始嘗試點（Sai，Sdi）；

（2）、計算等效高阻尼彈性單自由體系的周期Teq和阻尼比ξeq。

（3）、根據地面運動記錄或者規范反應譜，計算對應于等效阻尼比ξeq的等效單自由度結構的彈性反應譜，得到對應于周期Teq的單自由度體系譜加速度和譜位移需求（Sdeq Saeq），

（4）、如果初始嘗試點（Sai，Sdi）和（Sdeq Saeq）相同，或者相差在一定精度范圍內滿足要求，則說明等效彈性自由度體系參數合適，否則，需要調整（Sai，Sdi），重復（2）、（3）步直至（Sai，Sdi）和（Sdeq Saeq）相同，此時該點即為結構抗震性能的特征反應點，可以分析對應于該點結構的損傷和破壞情況。

3 計算實例

3.1 結構描述

本文選用依照美國加利福尼亞規范為SAC工程設計的9層鋼結構，該結構結構主要依靠周邊的鋼抗彎框架結構抵抗地震作用，所以本文只對承受主要地震作用的一榀鋼抗彎框架進行分析。

本抗彎框架結構寬45.73m，高37.19m，共有5跨，每跨跨距為9.15m。該結構有一個地下室，高度為3.65m，地上首層高度為5.49m，其余為標準層，高度為3.96m。框架梁采用強度為248Mpa的寬翼緣鋼，框架柱采用強度為345Mpa的寬翼緣鋼，柱轉換節點分別在第二、四、六、八層，高于梁柱節點1.83m處，柱底鉸接于地面上，周邊土層限制著結構。結構的地震質量由鋼框架結構的構件，樓板，設備層等構成，結構第一層分擔的地震質量為5.05×105 kg，第二到八層的質量為4.945×105 kg，第九層的質量為5.35×105 kg，地面以上結構的質量為4.5×106 kg.。

圖7 9層鋼抗彎框架結構圖

Fig.7 Nine-story benchmark building moment-resistant frame

為分析此框架結構抗震性能，本結構按照GB50011-2010建筑抗震設計規范中規定的抗震設防標準進行設防，設防地震烈度為8度（0.2g），設計地震分組為第二組，II類場地，框架抗震等級為三級，場地地震周期在多遇地震下為0.4s，在罕遇地震下為0.45s，考慮幾何非線性P-△效應影響。

本算例FEMA356報告中對鋼梁鋼柱塑性鉸模型的定義，對梁單元，在梁的兩端施加僅考慮彎矩屈服的塑性鉸（M3），將塑性鉸賦予梁的兩端，對柱單元，考慮由軸力和雙向彎矩相關作用產生的的塑性鉸（PMM），將塑性鉸賦予柱的兩端。

2.2 有限元模型驗證

利用有限元軟件sap2000建立9層鋼框架結構的模型，并對模型進行模態分析，采用集中質量法，將每層的質量施加到對應的每層梁柱接點上，并考慮梁柱質量折減后得到結果前三階頻率，與美國ASCE結構控制委員會用MATLAB仿真計算的結果進行比較，計算結果誤差在5%以內，驗證了模型的正確性。

2.3 pushover分析結果

對結構采用振型荷載，均布荷載，施加方式施加側向力，得到相應的pushover曲線，并利用上文所述的性能點求解方法，確定出在結構在8度多遇地震以及8度罕遇地震下的性能點，并得出在性能點狀態下各層層間相對位移曲線，以及層間位移角，與GB5002-2010建筑設計規范中規范條文進行比較。

對上述結構進行八度罕遇地震水準進行計算。

在罕遇地震時，結構阻尼比取為0.05.

3 結論

1）本結構能滿足在8度多遇地震下彈性變形，8度罕遇地震下彈塑性變形。

2）作為一種重要的靜力彈塑性分析方法，能力譜法能夠有效評估結構在給定地震水準下的結構性能。

參考文獻：

[1] S. A. Freeman， J.P. Nicoletti and J.V. Tyrell， Evaluations of existing buildings for seismic risk- A case study of Puget

Sound Naval Shipyard， Bremerton， Washington， Proc. 1st ；.S. National Conf. Earthquake Engng.， EERI， Berkeley，1975.

[2]Fajfar， P.， Fischinger， M. Non-linear seismic analysis of RC buildings： Implications of a case study[J]. European Earthquake Engineering， Vol. 1， pp. 31-43， 1987.

[3] ATC 40， Seismic Evaluation and Retrofit of Concrete buildings， [R]Vol.1， Applied Technology Council， Redwood City， CA，1996

[4]BSL2000，Building Standard Law，2000[S]

[5]FEMA 440，Improvement of Static Nonlinear Analysis Procedures[R]， Federal Emergency Management Agency， Washington， DC.2005

[6]Ohtori， Y.， Christenson， R. E.， Spencer， B. F.， Jr.， and Dyke， S. J. Benchmark control problems for seismically excited nonlinear buildings[J]， Notre Dame University， Indiana， 2000

[7]Helmut Krawinkler， Pros and cons of a pushover analysis of seismic performance evaluation， [J]. Engineering Structured，1988

[8] FEMA 356，Prestantard and Commentary for the Seismic Rehabilitation of Buildings[R]，Federal Emergency Management Agency，Washington，D.C. 2000

[9]Chopra A K， Goel R K， Capacity-Demand-Diagram methods for estimating seismic deformation of inelastic structures： SDF Systems[R]， Reprot No. PEER-1999/02， Pacific Earthquake Engeering Research Center， University of Califonia， Berkely，1999

張宇亮

【摘要】本文基于能力譜法，結合我國地震烈度設防規定給出了適合我國地震烈度設防的計算步驟，并結合sap2000有限元程序利用能力譜法對一個9層鋼抗彎框架結構的抗震性能進行了評估，表明能力譜法是結構抗震性能評估的有效方法。

【關鍵詞】靜力彈塑性分析，能力譜法，需求譜

能力譜法是靜力彈塑性抗震設計方法中應用比較普遍的一種方法。1975年由Freeman[1]提出，1987年由Fajfa[2]以N2法的形式發表，到1996年被美國ATC-40[3]規范采用，也是日本建筑基準法BSL2000采用的方法[4]，到2005年，美國應急管理署FEMA440[5]對能力譜法做了完善的改進后，被美國聯邦公路協會采用在橋梁抗震設計規范中。

本文利用能力譜法對美國鋼結構SAC工程中設計建造的9層鋼抗彎框架結構標準模型[6]，在中國地震烈度設防水準下的抗震性能進行了分析。

1 能力譜法

1.1 基本假定

能力譜法基于以下兩個基本假定[7]：

（1）、實際結構的地震反應與某一等效單自由度體系的反應相關，也就是結構的地震相應僅由第一振型控制；

（2）、在地震過程中，不論結構變形大小，分析所假定的結構沿高度方向的形狀向量都保持不變。

1.2 基本原理

基于以上兩個假定，能力譜法將多自由度體系轉化為非彈性的等效單自由度體系，將原結構體系通過靜力推覆得到的基地剪力-頂點位移曲線轉化為等效單自由度體系的譜位移-譜加速度格式的能力譜，并且按照此非線性單自由度體系的阻尼比對設計規范反應譜進行折減，得到針對該等效單自由度體系在給定地震水準下的彈塑性反應譜，并轉化為譜位移-譜加速度格式，將能力譜和需求譜結合在一起，求出在給定地震作用下，等效單自由度體系的性能點，通過性能點反推到多自由度體系結構中的頂點和基底剪力，再根據基本假定，求出原結構各層的層間位移，屈服機制等結構性能，來評估原結構是否滿足在指定地震水準下的性能目標。

2 能力譜法的技術路線

2.1能力譜的建立

能力譜：對結構模型施加逐步施加某種形式的水平荷載，進行靜力推覆分析，得到結構的頂點位移和基底剪力的關系曲線，這一關系曲線反應了結構抵抗側移的能力，描述了結構力-非彈性變形的行為，將其轉化為結構等效單自由度體系的譜加速度-譜位移關系曲線，即為結構的能力譜曲線。

2.1.1 側向荷載的施加模式

結構靜力推腹時，側向力的施加方式：

一般地將側向荷載定義為下面一個或多個的比例組合：（1）、自定義的靜荷載工況或組合，比如定義均勻或倒三角形分布的靜力荷載工況，然后使用此靜力荷載工況作為側向荷載的分布；（2）、加速度荷載，作用于任意的整體X、Y、Z方向的均勻加速度。在每一節點的力與分配給節點的質量成比例，且作用在指定的方向。（3）、振型荷載，選取任意一個振型，在每一節點的力與振型位移，振型角頻率平方及分配給節點的質量成比例。力作用于振型位移方向。通常情況下，加速度荷載相當于均勻分布側向荷載，振型荷載相當于倒三角形分布側向荷載。

2.1.2 建立pushover曲線

按照上述側向力施加模式對多自由度結構進行靜力推覆，得到原結構體系的頂點位移-基底剪力的曲線。

圖1 Pushover曲線[9]

Fig.1 Pushover Curve [9]

圖中Vb 為基底剪力，UN 為頂點位移。

2.1.3 建立等效單自由度體系能力譜

在得到原結構體系的頂點位移-基地剪力曲線后，按照下述公式建立等效單自由度體系的能力譜曲線。

（2.1-1）

（2.1-2）

式中 Sa —譜加速度

Sd —譜位移

M1 —第一階振型的有效模態質量

（2.1-3）

Γ1 —第一階振型的振型參與系數

（2.1-4）

ΦN1—第一階振型頂點的振幅

Φj1 —第一階振型在第j層的振幅

圖2 能力譜曲線的建立[8]

Fig.2 Capacity Diagram [8]

2.2 需求譜的建立

結構抗震性能需求譜是在給定地震作用下，不同周期結構的承載力和位移響應的需求值。對于彈性系統，彈性譜加速度需求可以采用常用的地震彈性反應譜或設計用彈性反應譜得到，彈性反應譜Sd與彈性譜加速度Sa可以采用下式相互轉換 （2.2-1）

圖3 需求譜曲線的轉換[8]

Fig.3 Demand diagram[8]

結構進入塑性后的抗震性能評價需要能夠反映結構彈塑性地震響應的彈塑性需求譜。

建立地震彈塑性需求譜有兩種方法：

（1）通過對某一場地的地震動記錄直接計算等效單自由度結構的彈塑性譜加速度和譜位移值。該方法需要某一場地的大量地震動記錄，并需要能反映結構彈塑性特征的滯回模型，故而使用不多。

（2）通過將結構的彈塑性耗能等效為阻尼耗能后，采用等效阻尼折減線彈性反應譜。

現在抗震設計中，大多采用第二種方法，將其能力譜曲線按照能量相等的原理，近似為一個雙線型彈塑性結構在往復受力滯回中保持穩定，那么它在一個往復周期里的彈塑性好能為ED。如果有一個彈性單自由度體系，它的剛度和彈塑性結構的割線剛度Keq相同，它一個周期振動的阻尼耗能和彈塑性體系一個往復阻尼耗能ED相同，那么由下圖可以得到等效阻尼比為

（2.2-2）

圖4 等效雙線性能力譜線

Fig.4 Equivalent bilinear capacity spetrum

圖中，α為屈服后切線剛度與初始剛度的壁紙，即屈服后剛度系數；Ke為彈性剛度，Keq為割線剛度，Sdy為屈服譜位移，Sdu為最譜大位移，μ為延性系數；ED為彈塑性滯回耗能；ES為最大應變能。

計算上述雙線型能力譜線時，等效阻尼比ξeq并非是彈塑性結構的全部阻尼，只是根據結構自身彈塑性滯回耗能等效出來的阻尼比，結構系統本身還有初始的阻尼比，需要將這兩部分的阻尼比疊加得到結構的阻尼等效阻尼比。考慮到將結構非彈性變形性能轉化為與速度有關的等效阻尼可能帶來的誤差，以及彈塑性結構指揮模型的差異，ATC-40[2]中通過等效阻尼調整系數κ進行修正后直接與結構的初始阻尼比ξn相加得到彈塑性結構的綜合等效阻尼比

（2.2-3）

等效阻尼調整系數κ取值如下圖所示

圖5 等效雙線性能力譜線

Fig.5 Variation of damping modification

factor with equivalent viscous damping

其中，TpyeA為完全理想彈塑性滯回模型；TypeC為剛度和強度退化現象明顯且既有捏攏現象的彈塑性滯回模型；TypeB為介于兩者之間的彈塑性滯回模型。

2.3 在設防水準下性能點的求取

性能點的求取是一個迭代的過程，迭代步驟如下：

（1）、將結構推腹能力譜曲線轉化為二折線的能力譜曲線，并確定能力譜曲線上相應的初始嘗試點（Sai，Sdi）；

（2）、計算等效高阻尼彈性單自由體系的周期Teq和阻尼比ξeq。

（3）、根據地面運動記錄或者規范反應譜，計算對應于等效阻尼比ξeq的等效單自由度結構的彈性反應譜，得到對應于周期Teq的單自由度體系譜加速度和譜位移需求（Sdeq Saeq），

（4）、如果初始嘗試點（Sai，Sdi）和（Sdeq Saeq）相同，或者相差在一定精度范圍內滿足要求，則說明等效彈性自由度體系參數合適，否則，需要調整（Sai，Sdi），重復（2）、（3）步直至（Sai，Sdi）和（Sdeq Saeq）相同，此時該點即為結構抗震性能的特征反應點，可以分析對應于該點結構的損傷和破壞情況。

3 計算實例

3.1 結構描述

本文選用依照美國加利福尼亞規范為SAC工程設計的9層鋼結構，該結構結構主要依靠周邊的鋼抗彎框架結構抵抗地震作用，所以本文只對承受主要地震作用的一榀鋼抗彎框架進行分析。

本抗彎框架結構寬45.73m，高37.19m，共有5跨，每跨跨距為9.15m。該結構有一個地下室，高度為3.65m，地上首層高度為5.49m，其余為標準層，高度為3.96m。框架梁采用強度為248Mpa的寬翼緣鋼，框架柱采用強度為345Mpa的寬翼緣鋼，柱轉換節點分別在第二、四、六、八層，高于梁柱節點1.83m處，柱底鉸接于地面上，周邊土層限制著結構。結構的地震質量由鋼框架結構的構件，樓板，設備層等構成，結構第一層分擔的地震質量為5.05×105 kg，第二到八層的質量為4.945×105 kg，第九層的質量為5.35×105 kg，地面以上結構的質量為4.5×106 kg.。

圖7 9層鋼抗彎框架結構圖

Fig.7 Nine-story benchmark building moment-resistant frame

為分析此框架結構抗震性能，本結構按照GB50011-2010建筑抗震設計規范中規定的抗震設防標準進行設防，設防地震烈度為8度（0.2g），設計地震分組為第二組，II類場地，框架抗震等級為三級，場地地震周期在多遇地震下為0.4s，在罕遇地震下為0.45s，考慮幾何非線性P-△效應影響。

本算例FEMA356報告中對鋼梁鋼柱塑性鉸模型的定義，對梁單元，在梁的兩端施加僅考慮彎矩屈服的塑性鉸（M3），將塑性鉸賦予梁的兩端，對柱單元，考慮由軸力和雙向彎矩相關作用產生的的塑性鉸（PMM），將塑性鉸賦予柱的兩端。

圖8 FEMA356報告中的塑性鉸模型

Fig.8 The plastic hinges in FEMA356 report

2.2 有限元模型驗證

利用有限元軟件sap2000建立9層鋼框架結構的模型，并對模型進行模態分析，采用集中質量法，將每層的質量施加到對應的每層梁柱接點上，并考慮梁柱質量折減后得到結果前三階頻率，與美國ASCE結構控制委員會用MATLAB仿真計算的結果進行比較，計算結果誤差在5%以內，驗證了模型的正確性。

2.3 pushover分析結果

對結構采用振型荷載，均布荷載，施加方式施加側向力，得到相應的pushover曲線，并利用上文所述的性能點求解方法，確定出在結構在8度多遇地震以及8度罕遇地震下的性能點，并得出在性能點狀態下各層層間相對位移曲線，以及層間位移角，與GB5002-2010建筑設計規范中規范條文進行比較。

對上述結構進行八度罕遇地震水準進行計算。

在罕遇地震時，結構阻尼比取為0.05.

3 結論

1）本結構能滿足在8度多遇地震下彈性變形，8度罕遇地震下彈塑性變形。

2）作為一種重要的靜力彈塑性分析方法，能力譜法能夠有效評估結構在給定地震水準下的結構性能。