自然且合理：高中數學課堂追求

王慕華

數學課程《標準》中指出：“人人學有價值的數學；人人都能獲得必需的數學；不同的人在數學上得到不同的發展。”高中數學教科書出現的數學概念、數學方法證明，許多概念的形成過程均為水到渠成、合情合理。這就要求教師在課堂教學中必須順應數學的發展，追求課堂教學的“自然且合理”。

范題解讀

師：在初中我們學習了銳角三角函數，它是怎樣定義的？

生1：是在直角三角形中定義的，=，=，=。

師：為什么要這樣定義？（目的是要揭示概念的本質。）當銳角 是一個定角時，這三個比值如何？

生2：是定值吧！（很多學生猶豫，不敢確定。）

師：當銳角α是定值時，以角α的兩邊為邊，能構造多少個直角三角形？

生3：無數個！

師：這無數個三角形有什么關系？

生4：都是相似三角形。

生5：這些直角三角形都相似，從而在每個直角三角形中的類似上面的對應比值都是相等的。也就是說這三個比值是定值，不隨邊長的變化而變化。

師：對！（教師動畫演示，驗證生2所說的數學事實。）由于有“比值不變”這樣的規律，我們才定義了“銳角三角函數”的概念。進而再問：已經把角推廣到了任意角，能否定義任意角的三角函數？

生6：可以把任意角的三角函數轉化到直角三角形中去定義。無論角α的終邊落在哪兒，都能構造一個直角三角形，可以仿照銳角三角函數的定義方法，定義任意角α的三角函數。（根據學生的描述，教師畫圖演示。）

師：如果角α的終邊與始邊垂直呢？

生6：這個無法定義tanα了。

師：我們是怎樣研究“任意角”的？

生7：在平面直角坐標系中，可以借助平面直角坐標系來定義吧。（學生思考討論）在平面直角坐標系中借助點的坐標來定義，只要在角的終邊OB上任取一點P（x，y），類似于銳角三角函數，可以定義=，=，=。

師：為什么要這樣定義？（學生討論。）

生8：因為無論點P在OB的什么位置，由相似三角形的性質可知比值、、總為三個定值，因此可以用這三個比值定義任意角α的三個三角函數。

師：很不錯！（動畫演示。）能否把問題變得更為簡單呢？

生8：在坐標系上作單位圓，此時比值中的OP的長度為1，三個比值變為y，x，。

最后老師點題，指出引入單位圓使得這種對應更加明顯，同時為學習三角函數線做出準備。本堂課教學過程自然流暢，每一步提問合符情理，設計的數學活動目標較為明確，達到了引導學生感悟和揭示數學本質的目的。

提出問題應自然且合理

數學的核心是不斷地解決問題，而提出問題是解決問題的前提。由于提出問題在思維的主動性與深刻性、在對知識本質和結構的理解與把握等方面比解決問題有著更高的要求，怎樣才能自然且合理地提出問題？第一，搞清楚數學問題來自哪里；第二，要搞清楚數學問題該由誰提出，通常情況下，理想的做法是教師創設問題產生的情境，由學生提出問題；或教師提出一個初始問題、元問題，再由學生提出要解決的具體問題；第三，搞清楚問題產生與形成的思維合理性在哪里，如學了“橢圓的定義”后，教師上課時自然地提出這樣的問題：能不能由定義建立橢圓方程？應該如何建立？或者讓學生自己提出其他合理的問題。

解決問題應自然且合理

問題解決一貫是高中數學教師課堂教學中最為重視、也是做得較好的一個環節。實施新課程后，教師課堂教學的過程意識、探究意識明顯加強。但從更高的要求看，有些教師平時的課堂教學還存在一些問題：較重視傳授解決問題的方法而輕分析為什么要用這種方法、怎樣想到用這種方法；在有效地圍繞著問題的本質展開討論和探究上做得還有待改進；解決問題的方法有時不太自然且合理。新課程課堂教學則要求：一要抓住問題本質，搞清楚知識形成與發展的背景及其與其他知識的聯系；二要順應知識形成與發展的軌跡，順應學生的認知基礎和認知特點，突出思維主線；三要揭示思維策略與方法的合理性與必然性。比如，任意角的三角函數的本質是以角為自變量的函數，其概念建立的難點是轉換思考問題的角度，突破用直角三角形定義三角函數的思維局限，把原來銳角三角函數定義中的三角形邊的長度比，轉換為適用于任意角三角函數的坐標比。又如，“函數”的概念比較抽象難理解，在課堂中可把函數類比為“豆漿機”，一端送入大豆（自變量），從另一端出來豆漿（函數值），只不過在一般情況下，函數輸入的是“數”，輸出的也是“數”。這樣學生對函數的理解也就具體直觀了。

拓展問題應自然且合理

一個問題解決之后，如何引導學生自然且合理地拓展問題？問題引領教學，不僅應體現在課堂教學之初，也應體現和貫穿于整個課堂教學。只有在適當的時候用恰當的問題來不斷地引導課堂教學，才能增加數學教學的思維含量。除了自然地合理地提出問題、解決問題外，高中數學課堂教學還應要讓數學思維在教學中自然且合理地流淌，正如人教A版《普通高中課程標準實驗教科書·數學》主編寄語中所說的“數學概念、數學方法與數學思想的起源與發展都是自然的。如果有人感到某個概念不自然，是強加于人的，那么只要想一下它的背景，它的形成過程，它的應用，以及它與其他概念的聯系，你就會發現它實際上是水到渠成、渾然天成的產物，不僅合情合理，甚至很有人情味”，高中數學課堂必然要努力創造自然、合理、高效的教學。

（作者單位：福建省龍巖市第二中學）