淺談平面向量數量積的應用

劉景森

摘 要：在新課改的推動下，數學知識逐漸注重實際運用。作為高考數學中出現頻率極高的知識點，平面向量數量積的難度系數并不高，但是學生必須熟練掌握的數學基本知識能力。通過資料整合結合教學實踐的方法，對如何進行平面向量數量積的重難點學習、方法突破及其知識運用等進行簡單闡述。

關鍵詞：平面向量；最小值；幾何

平面向量的數量積問題是數學平面解析幾何中比較難的，也是具有一定的實際問題解決能力的數學工具。在平面向量數量積的應用中，按其主要的表達形式，坐標表達式和幾何表達形式，按照其主要的應用，對其進行數學中的應用介紹。由于平面向量數量積的學習是空間幾何學習的基礎，鑒于此夯實基礎知識是必要的。

一、平面向量數量積的基本知識

平面向量數量積的基本知識是教學中必須熟練掌握的，主要包括對定義的理解、對運算律的熟識、對公式的記憶及數量運用、以及對特殊規律的熟練掌握。首先是對兩向量數量積的表達式 a·b=a·bcosθ的熟練運用，對其幾何含義進行深刻理解。其次是對其投影含義a·b=aPrjab的理解。最后是對特殊規律的掌握，例如a·a=a2，該公式是在實際解題中運用極其有效的公式，可以不需要坐標直接進行模的計算，進而求長度。再如，“兩個非零向量的數量積為零即表示該向量互相垂直。”的基本知識的數量應用。

二、平面向量數量積的應用

1.向量模的最小值求法

所謂向量模的最小值計算，主要是對向量的基本運算進行數量掌握后，進行與函數合并考查的出題形式。主要是對a·a=a2的掌握及其坐標表達法中模的計算公式a=ax2+ay2的掌握，再結合一元二次函數最值的求解方法進行求解。例如，已知向量a=1，1，b=2，2，c=a+tb（t∈R），求c的模的最小值。該種題型是對平面向量的基礎知識的審核，難度不大但須學生提高解題效率。

2.證明兩向量垂直關系

證明兩向量的垂直關系是平面向量數量積在考試中最常考查的知識點，同時也是在高考數學習題中出現頻率較高的知識點。鑒于此，對數量積的定義推出的定律必須記得，主要有“兩個非零向量積為零，其必垂直；相反，若兩向量垂直，則該向量的數量積必為零。”“零向量是與任何向量垂直的。”等重要知識點。例如，該題：若已知兩個向量a=-1，-1，b=-2，-2，且c=2a+tb（t∈R），d=-2a+4tb （t∈R），求當c-d與a垂直時，t的值是多少？這類題型是對垂直定義最直接、最基本的考查，但是也是考試中出現頻率最高的題型。

3.向量夾角的運算求解

在進行兩向量夾角的計算時，是在平面向量兩種表示方式的時候清晰合理地進行計算，尤其是在有坐標形式表達向量的時候。其基本計算的形式是將公式a·b=a·bcosθ進行合理的左右變換，將公式轉換為cosθ=a·ba·b或者cosθ=axbx+aybyax2+ay2·bx2+by2的形式對題目進行的解答，并且在cosθ中θ的取值范圍進行留意，其取值范圍是在0到π之間，對公式的意義要有良好的把握。在考試中常見的題型會將平面向量的基本計算以及基本規律混合其中，進行綜合性較高的考核，例如已知兩個向量，且知道兩個向量在某種關系下是相互垂直的，通過計算得知兩個向量之間的數量關系，再根據另一個垂直的關系，得到兩個向量的另一個關系，通過兩個式子聯立進行兩個向量模及乘積的求解，然后進一步考查學生對夾角公式的理解，提問兩個向量的夾角是多少。該種問題主要是要求對知識點清晰地把握，通過比較多的練習，對解題的邏輯進行培養，最后進行耐心細致的解題。

4.對平面圖形形狀的判斷

所謂對平面圖形的形狀判斷，就是指直接給出或間接給出平面圖形的幾個端點，令考生根據向量的加減關系，求得每個邊的方向向量，然后根據平行及垂直的關系進行進一步論證是否具有該種關系，然后根據向量的模進行對邊長的確定，最終對圖形進行一定的判斷。該種題型的難度系數不高，考題中出現的頻率不大。

5.證明等式成立

在平面向量數量積的應用中，對等式的證明是該知識點的重點及難點。所謂證明題，既是對知識的理解能力考查，又是對學生熟練運用和知識邏輯的考核。因此在利用平面向量的數量積進行等式左右成立的證明時，需要對數量積的運算定律進行一定的熟識，包括其交換律、結合律、分配律以及模的運算。其中對a·a=a2知識點的運用是十分常見的。例如，對三角形余弦定理的證明或推倒的題目。再如，對某個式子的證明，例題a+b2+a+c2+b+c2=a2+b2+c2+a+b+c2等這種在練習題中出現頻率極高并且極其需要耐性解題的題目。因此在證明等式成立時一定要夯實好基礎知識。

綜上所述，對平面向量數量積的定義、幾何含義、運算方法等的全面理解及掌握，突出掌握平面向量的重點，對其難點進行深度的學習，是對平面向量數量積知識全面學習的基礎。作為高考數學考試中時常出現或者說出現頻率比較高的知識點來說，對其進行深刻掌握是必要的，重點是對學生進行解題方式上的提升與突破，對基本運算中的定義、模、夾角等公式必須進行熟練性訓練。

參考文獻：

尹光輝.由平面向量的數量積判斷三角形形狀[J].中學生數理化：學研版，2011（8）：14.

編輯 李建軍