隨機變量序列部分和之和的完全收斂性

蘭沖鋒，吳群英

(1.阜陽師范學院 數學與計算科學學院，安徽 阜陽 236041；2.桂林理工大學 理學院，廣西 桂林 541004）

0 引言

Resnick[1]以及Arnold[2]等在研究記錄值之和的極限理論時，發現了有必要研究形如 的極限定理.而在實際問題中，如破產理論、隨機游動以及時間序列分析理論中均有必要研究部分和之和的極限定理.基于此，蘇淳，江濤[3，4]等研究了i.i.d.隨機變量序列部分和之和的大數定律和中心極限定理；蘭沖鋒和吳群英[5]給出了i.i.d.隨機變量序列部分和之和的完全收斂性的等價條件；宇世航[6～8]等將其推廣到NA列，得到了部分和之和Tn的強、弱大數定律的條件，同時給出強平穩NA列部分和之和Tn的中心極限定理存在的條件.而對于更廣泛的一般的隨機變量序列部分和之和Tn的完全收斂性討論,還未見文獻記載。

許寶祿和Robbins[9]在1947年引入完全收斂性的概念以來，在i.i.d.情形下關于部分和Sn的完全收斂性最經典的結果應首推Baum和Katz[10]型定理，本文將在文獻[5]的基礎上，通過引入慢變化函數將i.i.d.隨機變量序列部分和之和Tn的完全收斂性推廣到一般的隨機變量序列，以期隨機變量序列部分和之和的極限定理作一個補充。

1 引理

本文一律以“?”表示通常的大“O”，以C記與n無關的正常數，在不同之處可以取不同的值.本文研究一般的更廣泛的隨機變量，設{Xn;n≥1}滿足如下條件：

存在常數C，對任何單調函數f，若Varf(X1)＜∞,則有

為證明本文的結論，先給出以下引理。

引理 1[11]假設g(a,k)是Xa+1,Xa+2,…,Xa+k的聯合分布的泛函（a≥0,k≥1），滿足

引理2設{Xn;n≥1}是同分布序列且滿足條件（1.1）,對任何單調函數f，若Varf(X1)＜∞,有

證：由條件（1）式得即得證。

引理3[12]設{Xn;n≥1}是同分布序列且滿足條件（1.1）,則對?x≥0,有

對于慢變化函數，有如下性質：如果l(x)＞0為x→+∞時的慢變化函數，則

2 主要結果

定理1設{Xn;n≥1}是同分布隨機變量序列且滿足條件（1.1），αp＞1,p＜2,l(x)＞0為當x→+∞的單調不減慢變化函數，那么下列三式等價：

其中，b=0,若0＜p＜1；b=EX1，若1≤p＜2。

若{Xn;n≥1}是i.i.d.隨機變量序列且取l(x)=1，此時顯然條件（1）式成立，則有如下推論。

推論1：設{Xn;n≥1}是i.i.d.隨機變量序列，αp＞1,p＜2,那么下列三式等價：

其中，b=0,若0＜p＜1；b=EX1，若1≤p＜2。

此推論即類似于著名的i.i.d.隨機變量序列的Baum和Katz型完全收斂性定理。

在文獻[5]中的我們曾經得到如下定理2。

定理2 設0＜p＜2，{Xn;n≥1}是i.i.d.r.v.序列，那么下列條件等價：

其中，b=0,若0＜p＜1；b=EX1，若1≤p＜2。

可見推論1的結論把文獻[5]中定理2的條件由αp=1推廣到了αp＞1的情形。

3 定理的證明

先證(1)?(2).對0≤a≤∞，記 f1(x)=f1(x,a)=(-a)∨(x∧a),x+=0∨x,x-=-(0∧x)，f2(x)=x-f1(x)，則 f1(x),f2(x),x+,x-都是x的單調函數，取q,使(1+1/αp)/2＜q＜1，令

再由條件（1）式得

故I2＜∞。（2）得證。下證（4）成立,為此先證

當α≤1時，由αp＞1得p＞1。并注意EX1=0。由（5）得

當α＞1，p≤1時，與（6）式類似地有

從而（7）式得證。

現取0＜δ＜p,使得2-p+δ＞0,qδ≤(2-p)(1-q),由（7）、引理2及條件（1）得

此即（2）成立。

類比(2)?(3)的方式可以由（3）式推出（2）式成立.故由（2）式和（3）式可知

由上式并注意到αp-2＞-1,可知故（1）成立。證畢。

[1]Resnick S L.Limit Laws for Record Values[J].Stochastic Processes and Their Applications,1973,1(1).

[2]Arnold B C,Villasenor J A.The Asymptotic Distributions of Sums of Records[J].Extremes.，1998,1(3).

[3]江濤,蘇淳,唐啟鶴.I.I.D隨機變量部分和之隨機和的極限定理[J].中國科技大學學報,2001,31(4).

[4]江濤,林日其.I.I.D隨機變量部分和之和的極限定理[J].淮南工業學院學報,2002,22(2).

[5]蘭沖鋒，吳群英.I.I.D.隨機變量部分和之和的完全收斂性[J].吉林大學學報（理學版），2012,50(3).

[6]宇世航.同分布NA序列部分和之和的強大數定律[J].山東大學學報:理學版，2008，43（4）.

[7]宇世航.同分布NA序列部分和之和的弱大數定律[J].哈爾濱師范大學自然科學學報，2004，20（4）.

[8]宇世航,張銳梅.NA序列部分和之和的中心極限定理[J].高師理科學刊，2007，27（3）.

[9]Hsu P L,Robbins H.Complete Convergence and the Law of Large Numbers[J].Proc.Nat.Acad.Sci.USA,1947,（33）.

[10]Baum L E,Katz M.Convergence Rates in the Law of Large Numbers[J].Trars Amer.Math.Soc.,1965,(120).

[11]吳群英.混合序列的概率極限理論[M].北京：科學出版社，2006.

[12]張立新，王江峰.兩兩NQD序列的完全收斂性的一個注記[J].高校應用數學學報A輯，2004，19（2）.