致密油體積壓裂縫網擴展模型建立與應用

程遠方，王光磊，2，李友志，時 賢，徐 鵬

(1.中國石油大學，山東 青島 266580;2.中石化勝利石油管理局，山東 東營 257017;3.中海油研究總院，北京 100027;4.中油勘探開發研究院，北京 100083)

引 言

中國致密油氣等非常規資源儲量豐富[1－3]。水平井和體積壓裂是致密油等非常規能源進行有效開采的關鍵技術[4]。體積壓裂技術是以大排量泵入低黏度壓裂液，在地層中形成以主裂縫為主干，多條分支縫與主縫相通的復雜裂縫網絡系統[5－9]。傳統水力壓裂裂縫幾何尺寸計算模型都是基于雙翼對稱裂縫理論，只適用于計算單一裂縫形態，無法有效模擬復雜縫網的擴展規律及獲得最終幾何形態參數，因此，需要建立專門的縫網擴展模型來模擬體積壓裂縫網擴展規律。

1 縫網擴展數值模型

假設縫網由一條主裂縫及多條不規則分布的次生縫組成。用2簇分別垂直于最大、最小水平主應力方向的平行縫簇表征不規則次生縫，并以水平井筒及主裂縫為中心對稱分布(圖1)。圖1中:a為主裂縫半縫長，m;b為縫網在Y方向的最大延伸半縫長，m;dx、dy分別為垂直于X軸、Y軸的次生縫縫間距，m;σh、σH分別為最小、最大水平地應力，MPa。

圖1 縫網幾何形態示意圖

1.1 主裂縫擬三維擴展模型

通過調研傳統裂縫擴展模型的相關資料[10]，認為主裂縫在地層中滿足擬三維裂縫擴展規律，并作出如下假設:①儲層為連續性彈性體，具有很大的厚度，裂縫只在儲層內擴展;②以恒排量注入壓裂液，壓裂液在裂縫中沿縫長方向一維流動，流動方式為層流;③主裂縫為垂直于井的水平段的橫斷縫，以井筒為軸心對稱分布;④不考慮支撐劑的鋪設及溫度對壓裂液性質的影響。

1.1.1 連續性方程

假設壓裂液不可壓縮，則在體積壓裂過程中，注入地層的壓裂液一部分充填主裂縫，一部分充填次生縫，剩余的濾失到地層中。根據質量守恒原理可知，用于充填主裂縫的壓裂液體積與主裂縫體積相等，即:

式中:qD為充填主裂縫的流量，m3/min;t為施工時間，min;VD主裂縫體積，m3。

1.1.2 壓降方程

主裂縫的橫截面為橢圓形，根據Nolte對平行板縫中的流體流動的壓降方程，引入管道形狀因子Φ(n')，則冪率流體在主裂縫中某一位置處的壓降梯度為:

式中:n'為冪率流體的流態指數;Φ(n')為形狀因子，在本模型中近似取為3π/16;hD為主裂縫縫高，m;K'為冪率流體的稠度系數，Pa·sn＇;wD為主裂縫縫寬，mm。

1.1.3 縫寬方程

將裂縫沿縫長方向分成若干段，則任意裂縫垂直剖面均可依照平面應變問題求解裂縫寬度。假設主裂縫只在儲層內擴展，則對England和Green公式進行簡化可獲得計算主裂縫縫寬的表達式:

式中:v為儲層泊松比;E為儲層彈性模量，MPa;pf為主裂縫流體壓力，MPa;σmin為儲層最小水平主應力，MPa。

因為主裂縫的橫截面是橢圓形，縫寬在縫高及縫長方向上的分布均滿足橢圓公式，為了之后模型計算的方便，用平均縫寬表征主裂縫縫寬，其表達式為:

1.1.4 縫高方程

根據斷裂力學裂紋延伸準則建立計算裂縫高度的控制方程。由線彈性斷裂力學的理論可知，裂縫尖端應力強度因子KI1為:

式中:KI1為應力強度因子，MPa·m1/2;l為半縫高，m。

由斷裂力學可知，當裂縫尖端應力強度因子達到裂縫斷裂韌性時，裂縫開始擴展，即:

式中:KIC1為裂縫的斷裂韌性，MPa·m1/2。

聯立式(4)和式(5)可得主裂縫高度控制方程:

1.2 次生縫幾何形態計算模型

利用擬三維擴展模型獲得主裂縫的半縫長a、縫高hD、縫寬wD等幾何形態參數，參考模擬區塊歷史壓裂設計方案，設定次生縫縫間距dx、dy，橢圓形縱橫比γ和次生縫縫寬與主裂縫縫寬的比值λx、λy。基于主裂縫幾何形態以及設定的次生縫與主裂縫之間的幾何關系，可以獲得次生縫幾何形態的表達式。

利用縫間距與橢圓半軸長的關系可得次生縫條數的表達式，即:

式中:Nx、Ny分別為垂直于X軸、Y軸的次生縫條數;b為橢圓半短軸長，大小為γa，m。

次生縫的總縫長為所有次生縫縫長之和，根據次生縫的位置以及主裂縫縫長，可得:

式中:Lxs、Lys分別為垂直于X軸、Y軸次生縫的總縫長，m;Lxis為垂直于X軸第i條次生縫的長度，m;Lyjs為垂直于Y軸第j條次生縫的長度，m。

根據設定的次生縫縫寬與主裂縫縫寬的關系，在已知主裂縫縫寬的前提下，可獲得次生縫縫寬的表達式，即:

式中:wxs、wys分別為垂直于X軸、Y軸的次生縫縫寬，mm;λx、λy分別為垂直于 X 軸、Y 軸的次生縫縫寬與主裂縫縫寬的比值。

本模型所模擬的縫網的壓裂改造體積為橢球體，次生縫縫高的分布與主裂縫縫高之間滿足橢圓關系公式，即:

式中:hsxi為垂直于X軸第i條次生縫的縫高，m;hsyj為垂直于Y軸第j條次生縫的縫高，m。

用具有相同a、b的橢柱體體積等效所述橢球體體積，可獲得縫網的平均縫高為:

則次生縫網的裂縫壁面面積及體積的表達式為:

式中:As為次生縫壁面面積，m2;Vs為次生縫體積，m3。

1.3 縫網內壓裂液濾失計算模型

假設在縫網主裂縫及次生裂縫的壁面均有壓裂液的濾失，且兩者濾失系數相同。利用壓裂液濾失計算經典理論獲得針對于縫網的壓裂液濾失計算公式:

式中:Vl為縫網壓裂液濾失體積，m3;A為縫網總面積，大小為主裂縫壁面面積與次生縫壁面面積之和，m2;C為壓裂液濾失系數，m·min－1/2;t為壓裂施工時間，min;τ為壓裂液開始濾失時間，min;Vsp為主裂縫中壓裂液初濾失體積，m3;Sp為初濾失系數，m3/m2。

利用主裂縫擬三維擴展模型獲得主裂縫壁面面積，利用次生縫幾何形態計算模型獲得次生縫壁面面積，在給定濾失系數及初濾失系數的前提下，利用式(15)即可求得體積壓裂過程中壓裂液在縫網中的濾失總量。

2 縫網擴展數值模型的求解

主裂縫擴展模型、次生縫幾何形態計算模型和壓裂液濾失計算模型之間是相互聯系的，并可用質量守恒方程進行最終約束，即:

獲取壓裂液在主裂縫和次生縫中的分配關系是求解縫網擴展模型的關鍵。因此，首先假設注入主裂縫中的壓裂液排量為qD，以時間間隔Δt對壓裂施工時間離散，并利用四階龍格－庫塔方法迭代求解出主裂縫幾何形態參數、壓力及流量分布;其次，基于次生縫幾何形態與主裂縫幾何形態的關系，求得次生縫幾何形態參數;然后利用式(15)求得壓裂液在縫網中的濾失體積;最后用式(16)質量守恒方程驗證所假設qD的準確性，并獲得縫網擴展規律及最終幾何形態參數。

3 縫網擴展數值模型的應用

以長慶油田某水平井A井為例。A井是陜北區塊長7段水平開發井，水平段垂深為2054 m，水平段長934 m。地層滲透率約為0.21×10－3μm2，孔隙度為10.1%，巖石彈性模量為23.5 GPa，泊松比為0.22，最小水平地應力為32 MPa，最大水平地應力為39 MPa，水平應力差為7 MPa。

對A井共進行了10級壓裂，在此以第5段壓裂為例，利用縫網擴展模型計算壓裂后縫網幾何形態參數。設計以8 m3/min的排量泵入567.8 m3清潔壓裂液及65.9 m340～70目陶粒。參考該區塊歷史壓裂設計方案及天然裂縫發育程度，設定次生縫縫間距dx為10 m，dy為10 m，橢圓形縱橫比為0.3，次生縫縫寬與主裂縫縫寬的比值 λx為0.8，λy為 0.8。

利用縫網擴展模型計算，A井第5段壓裂后所獲壓裂改造體積延伸長度為511.8 m，延伸寬度為153.5 m，縫網中所含裂縫的平均縫寬為1.70 mm，總縫網平均縫高為41.8 m(表1)。通過微地震監測獲得的縫網形態參數與模擬計算結果進行對比，表明模型模擬結果與實際微地震監測結果具有良好的一致性(表2)。

表1 縫網幾何形態參數

表2 縫網幾何形態參數對比

4 結論

(1)引入無規則裂縫的有序化表征方法，基于傳統擬三維裂縫擴展模型建立了一套用于模擬縫網擴展的數學模型，并利用Visual Basic語言編制了模型計算軟件。

(2)現場實踐結果表明，利用縫網擴展模型可以有效獲得縫網幾何形態參數，模擬數據與實際微地震監測數據具有良好的一致性。

(3)縫網擴展模型能夠為壓裂后產能計算、經濟評價提供基礎數據，對老區塊新井的體積壓裂優化設計具有重要的現實意義。

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