模糊可變集合及其應用

陳守煜，薛志春，李 敏

（大連理工大學 水利工程學院 水資源與防洪研究所，遼寧 大連 116024）

0 引 言

1999年蔡文研究員在科學通報雜志上發表了題為 《可拓論及其應用》的綜合性論文［1－2］。該文總結了1983年以來可拓學 （物元模型或物元分析）的代表性研究成果［3－5］。2000～2003年又相繼在中國工程科學等雜志上發表了可拓學的工程應用與新進展等文章［6－8］。由此可拓學受到了科學與技術界相關研究人員的關注。

筆者在研究中發現，可拓學論著 ［1－6］給出的以 “距”與 “位值”概念為基礎，實軸上點x的關聯函數公式 （1）是錯誤的，不能在工程領域中應用，因為在工程上的誤用，可能導致嚴重的后果。

式中X0＝ ［a，b］，X＝ ［c，d］，X?X0，且無公共端點。

同時，文獻 ［1－8］中建立給出的可拓學的基礎概念：零界元素及關聯函數，存在一定的問題。由于可拓學是一門以解決事物矛盾問題為研究對象，橫跨哲學、數學與工程學的橫斷學科，這些問題的存在直接影響可拓學基礎的科學性。

為了有助于工程模糊集理論與可拓學的發展，本文首先根據自然辯證法關于運動的矛盾性原理，分析文獻 ［1－8］中可拓集合的零界概念與關聯函數存在的問題，證明關聯函數式 （1）是錯誤的。然后根據工程模糊集相對隸屬函數有關概念與理論［9］，建立模糊可變集合的概念、定義，并給出應用實例。

1 文獻 ［1－8］零界概念與關聯函數存在的問題

文獻 ［1］對零界元素的論述為：“零界元素描述了質變的臨界點，零界元素既有性質?A，又不具有性質?A，如一只腳在門內，一只腳在門外的人，既屬于門內的人的集合，又屬于門外的人的集合”；并在數學上用關聯函數K（u）＝0來描述零界元素u。文獻 ［4］的論述為：“在導電的導體和不導電的絕緣體之間存在既導電、又不能導電的半導體；在酸性物體和堿性物體之間存在中性的鹽；0℃的H2O處于既是液態又是固態的狀態。顯然，在自然界和社會生活中，存在大量這樣的臨界事物……。在可拓集合的框架里，承認了臨界事物的存在，并用K（u）＝0來描述這些臨界元素。”上述零 （臨）界元素概念、關聯函數的數學表達式K（u）＝0，無論在哲學或數學上都存在問題。

恩格斯在 《自然辯證法》一書中明確指出：“一切運動都存在于吸引和排斥的相互作用中。”［10］《自然辯證法原理》［11］一書中對此作了系統的闡述。就物質系統運動形式的內在矛盾及其相互轉化而言，無論是自然界的物理運動、化學運動、宇宙的天體運動，還是生物界的生命運動，無一不反映出吸引和排斥的兩極對立。如物理運動中的 “宏觀熱現象，本質上是大量分子或原子、電子等微觀粒子不規則運動的外在表現。大量分子因分子引力而凝聚，因無規則運動相互排斥而擴散，兩者相互作用的強弱不同，使物體形成不同溫度下的不同熱運動狀態。例如，水在加熱汽化時，分子的動能 （排斥）超過分子引力而自由擴散，排斥占優勢，變成蒸汽；水在冷卻結冰時，分子的動能較小，而吸引占優勢，于是分子有序排列，結晶而成固態。各種宏觀電磁現象，歸根結底都是帶正、負電荷的粒子之間的吸引和排斥相互作用構成的運動。正電荷和負電荷、磁北極和磁南極、導體和磁體之間，都顯示出吸引和排斥的統一。”基于自然辯證法的 《哲理數學基礎》［12］一書中對吸引與排斥作了詳細地論述：“吸引和排斥是人類社會和自然界普遍存在的一對作用：吸引使事物相互接近和聚集；排斥使事物彼此分開和離散。它們相互制約、相互依存、相互補充，并在一定的條件下相互轉化，因而是對稱的，也就是對立統一的。由于吸引和排斥相互依存、相互補充而達到近似的平衡，乃有物體的有規則運動。……吸引和排斥的相互作用之關鍵性作用，不僅在宇宙、星系和恒星的演化中，在化學元素的起源和進化中，在太陽系和地球的演化中，在物質的化學進化中，表現得非常充分，而且在生命體的同化和異化、遺傳和變異，以及新陳代謝和自我復制過程中也表現得非常充分。在自然系統中是如此，在社會系統中也不例外。”由以上論述可知，事物質變點的描述根據自然辯證法應是：事物u具有相當于吸引性質的程度（u）與具有相當于排斥性質的程度（u）達到動態平衡狀態。其數學表達式為（u）＝（u），或（u）＝（u）－當時，事物u以為其主要性質，為次要性質，當時則相反。當事物從轉化為（u），或從轉化為即事物發生質變時，必通過質變點文獻［1］用“一只腳在門內，一只腳在門外的人，既屬于門內的人的集合，又屬于門外的人的集合”來說明“零界元素既有性質，又不具有性質”，這不是現象的本質描述。因為一個人從“門內人”集合，轉化為“門外人”的集合要有一個過程。當他跨向門檻，身體（可用體重或體積特征計）一半在門內，另一半在門外（不妨近似的認為：一只腳在門內，一只腳在門外），顯然，此時他具有門內人、門外人集合的程度各占一半，即處于動態平衡狀態。此種狀態不是“既屬于門內的人的集合，又屬于門外的人的集合”，而是“該人具有門內人集合程度與門外人集合的程度相等”。因此，不是關聯函數K（u）＝0，而應該是文獻［4］以自然界與社會生活中存在臨界事物，諸如0℃的水處于既是液態又是固態等狀態，作為零（臨）界與關聯函數K（u）＝0的數學依據，這也不是事物矛盾運動變化：吸引與排斥的本質描述。

文獻［1－6］建立給出實軸上點x的公式（1）來表述可拓集合中的關聯函數，試圖把“具有性質”的事物從定性描述擴展到“具有性質的程度”的定量描述。根據筆者的研究，關聯函數式（1）是錯誤的，現證明如下。

證明可分為（1）遞增系列，c＜a＜b＜d；（2）遞減系列，c＞a＞b＞d兩種不同的實際情況。下面首先給出遞增系列c＜a＜b＜d的證明。

當x?X0，按照文獻［1－6］建立給出的“距”與“位值”有關概念的規定，參照圖1箭頭方向的遞增情況，應有：

圖1 可拓集合中“距”與“位置”變化示意圖Fig．1 The changing schematic of“form”and“value”in the extension set

實軸上點x落入區間［c，a］或［b，d］是一個不相容事件，當x?X0時，存在4種約束條件：式（1）可表為：

顯然，上式只有當ρ（x，X）與ρ（x，X0）在相同的區間約束條件下，才是正確的。由式（2）、式（3）與式（4）、式（5）可見，關聯函數式（1），只有在約束條件①、③下才有意義。即：

約束條件②、④關聯函數式（1）有誤。

當x∈X0，設M 為圖1實軸上［a，b］區間上關聯函數的最大點值。當x∈X0，且x∈［a，M］，即x點落在M 點的左側時，建立區間［a，M］上的關聯函數才有意義。此時要求滿足則：

又當x∈X0，且x∈［M，b］時，有意義的是建立［M，b］區間上的關聯函數。此時，要求滿足約束條件則：

同樣，當x∈X0實軸上點x落入［a，M］或［M，b］是不相容事件，當x∈X0又有4種情況：⑤x∈顯然，當出現⑥、⑧關聯函數式（1）有誤。

應該指出，只有當點M 在區間［a，b］的中點時，約束條件⑤至⑧才能夠全部滿足，但事實上，在實際工程問題中，M 點不一定在［a，b］區間的中點。

在可拓學的一些論著［4－5］中，當x∈X0，對關聯函數式（1）作了歸一化處理，把ρ（x，X0）除以區間［a，b］的長度，即：

上式也有誤，正確的應是：

應該強調指出，當x?X0時，點x落入區間［c，a］或［b，d］是一個不相容事件。當x∈X0時，點x落入區間［a，M］或［M，b］是又一個不相容事件。在實際工程領域中，將有點群xi很多次出現落入區間［c，a］或［b，d］以及［a，M］或［M，b］的約束條件①至⑧，當出現約束條件②、④、⑥與⑧，應用關聯函數公式（1）就有誤。因而總體來講，只要有一個點x遇到 ②、④、⑥、⑧中的任何一種情況，就使得工程計算結果失去科學性，甚至導致最后成果有誤。因此，可拓學論著［1－8］建立給出的以“距”與“位值”概念為基礎的關聯函數式（1）難以在實際工程領域中應用。

類似地，可以證明當為遞減系列c＞a＞b＞d時，可拓學論著［1－6］中關聯函數式（1）的錯誤，限于篇幅，證明從略。

2 以相對隸屬函數為基礎的模糊可變集合概念與原理

為了探討研究解決上述可拓集合的零界元素與關聯函數存在的問題，筆者以工程模糊集理論［9］為基礎，建立以相對隸屬函數為基礎的模糊可變集合概念、理論與方法。

定義2．1 設U 為論域，u為U 中的任意元素，u∈U。（u）與（u）分別為事物u所具有的表征吸引性與排斥性程度的相對隸屬函數［13－14］。令：

則D（u）是U到區間［－1，1］的一個映射，稱為論域U關于元素u的相對差異度或相對差異函數，簡稱差異度或差異函數。

定義2．2 設U 為論域，u為U 中的任意元素，令：

CA為模型可變集，CB為模型參數可變集，CC為除模型及其參數外，可變其他因素集。令：

模糊可變集包括筆者在工程模糊集理論中提出的模糊優選模型［15］、模糊模式識別模型［16］、模糊聚類循環迭代模型［17］，以及模糊決策、識別與聚類的統一模型［18］等。模型的參數可變集包括模型的指標權重、指標標準值等重要模型參數。有關模型與模型參數的可變性，將在模糊水文學應用實例中給出相應的說明［19－21］。

3 相對隸屬函數公式

設X0＝［a，b］為實軸上模糊可變集合的吸引（為主）域，即u（p）＞u（pc）區間，X＝［c，d］為包含X0的x的范圍域或x的范圍區間X0?X（圖2）。

根據模糊可變集合定義可知［c，a］與［b，d］均為其排斥（為主）域，即u（p）＜u（pc）區間。設M為吸引（為主）域區間［a，b］中u（p）＝1的點值，在通常情況下M為區間［a，b］的中點值。設x為X區間內任意點的量值，則x落入M 點左側時的相對隸屬函數公式為：

x落入M 點右側時，其相對隸屬函數公式為：

4 應用實例

為了比較模糊可變集合與可拓集合在應用中計算結果的科學性，引用文獻［5］中列舉的一個算例：已知某一人類化石數據

試應用模糊可變原理識別該化石屬于人的程度。根據資料確定3項識別指標相關數據為：①顱蓋高指數；②前囪角；③額角。已知有關數據為：

應用模糊可變原理計算如下。

應用筆者在文獻［9］中提出的模糊優選可變模型：

式中

其中u為綜合相對隸屬度；α為模型優化準則參數，α＝1為最小一乘方準則，α＝2為最小二乘方準則；p為距離參數，p＝1為海明距離，p＝2為歐氏距離；m為識別指標數。

當α＝1，p＝1即為線性模型u＝0．515；當α＝1，p＝2時，u＝0．515；當α＝2，p＝1時，u＝0．530；當α＝2，p＝2時，u＝0．530。由于模型的改變，綜合相對隸屬度0．515變為0．530。綜合以上情況，可以組成一個模糊可變集合u＝｛0．515，0．515，0．530，0．530｝。可見模型的改變，u的綜合相對隸屬度仍處在u的吸引（為主）域中，從工程應用的角度而言，增加了成果的可信性。可取集合u的均值0．523，作為識別的最后成果，即該化石隸屬于人的相對隸屬度為0．523。已經由猿通過質變點0．5轉化為人，但隸屬于人的相對隸屬度還很低，或隸屬于人類的初級階段。

類似的，可改變模型的參數，如固定模型改變模型中的指標權重，綜合隸屬度就會有相應的變化，例如把等權重變為w＝（w1，w2，w3）＝（0．4，0．3，0．3），采用α＝1，p＝1的線性模型，u＝0．510。當然可以既改變模型又改變模型中的參數，本例不再詳述。

文獻［5］可拓集合對指標（1）進行關聯函數計算時，由于本例x1＝50，a1＝51，c1＝35，d1＝59，屬于本文第1節中所述的情況②，不能應用式（1）計算指標（1）的關聯函數，故文獻［5］指標（1）關聯函數計算值有誤，使得文獻［5］最后計算結果失去科學性。此外，文獻［5］中可拓集合方法的最后計算結果未體現出可拓變化的初衷。

5 結 論

根據本文研究，可以得出以下的結論：①文獻［1－8］關聯函數公式（1）有誤，不能在實際工程領域中應用；②可拓學的基礎概念；零（臨）界元素、關聯函數只是描述客觀事物運動發展變化、量變、質變及其轉化等自然辯證法概念的表象，而非本質描述。作為研究矛盾問題為主要對象的哲學、數學與工程學相結合的橫斷新學科，似應加以改進；③差異函數概念是對客觀事物運動發展變化、量變與質變，及其轉化的本質——吸引與排斥的一種描述，

符合自然辯證法原理；④模糊可變集合概念、理論與方法，是工程模糊集相對隸屬度可變理論的發展，提出的模糊可變概念、理論、模型與方法，是筆者在長期水利水電與水文水資源工程實踐中提出的理論與工程方法，其基本原理與方法，將繼續在實際應用中檢驗、提高與發展。

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