探究幾種不等式的證明方法在數學中的應用

翟金成

（鄭州幼兒師范高等專科學校，河南 鄭州 450000）

不等式是高等數學研究中的重要工具，證明不等式也是高等數學中的常見題型。針對不等式證明的方法較多，而對不等式證明方法的系統研究較少。本文將對不等式證明的具體方法進行闡述，并就幾種常見的證明方法進行探討，以擴展學生的解題思維，提升學生的創新思維能力。

1 利用微分學方法來解題

在微分學方法的探討與應用中，常用的方法有函數的單調性、函數的極限、函數的凹凸性，以及微分中值定理等，現就其應用及約束條件進行闡述。

1.1 利用函數的單調性來解題

函數的單調性是最常見的證明不等式的方法之一，其方法主要有：在證明不等式 f（x）＞g（x）時，通常需要對之進行變形操作，使之轉變為 f（x）-g（x）＞0 或，或者引入構造函數 F，由此得出F（x）在區間上的單調性。例如：當 x＞0 時，求證。對于該題在證明過程中，首先設定，當 F（0）=0 時，得出 F’（x），再由 F’（x）來判定在相應區間內函數的單調性，進而證明不等式F（x）成立。在對本例題進行歸納時，需要從兩個方面來考慮，一是將不等式進行作差轉化；二是當作差不成立時可以做商處理，并利用函數的單調性來推導出不等式成立。

1.2 利用函數的極限法來求證

當構造函數在給定區間不單調，或是遇到 f（x）≥a或 f（x）≤b（a，b為常數）類型的不等式時，可以利用極限法來求解。例如：當 p＞1，試求證對于任意 x∈[0，1]都有不等式（1-x）p≤1 成立。 從上題可知，對于函數 f（x）=xp+（1-x）p，可以從導數運算中得出在區間[0，1]中的最大值為1，最小值為從而得出不等式成立。

1.3 利用函數的凹凸性來求證

凹凸性是函數性質之一，涉及同一函數在不同點處的函數值時，往往利用函數的凹凸性來證明。例如：對于某三角形ΔABC的 三 個 內 角 A、B、C來 說 ，試 求 證 sinA+sinB+sinC≤在求證該不等式成立時，需要先構造凹函數f（x）=-sinx。 當 f（x）=-sinx，0＜x＜π，則有 f″（x）=sinx＞0。 根據函數的凹凸性，很容易得出不等式成立。

1.4 利用拉格朗日中值定理來求證

對含有增量的不等式進行求證時，可以對函數進行變形。當函數 f（x）在[a，b]區間可以生成增量 f（b）-f（a）或者時，則滿足拉格朗日中值定理。例如：求證當x＞0時，不等式＜ln（1+x）＜x 成立。 在證明過程中，首先借助構造函數得出 f（t）=lnt，當 f（t）滿足[1，1+x]（x＞0）時，利用拉格朗日中值定理得出不等式成立。

2 利用積分學方法來解題

積分學方法主要有定積分和重積分兩種。當證明與自然數n相關的不等式時，多采用定積分方法來求證。例如：當存在某一正常數A＜1時，對于任意的n＞0，都有不等式成立。在求證中，我們利用定積分方法，可以得出A=，從而得出不等式成立。

在利用定積分求證不等式過程中，還可以利用定積分中值定理來消去不等式的積分號，從其他項的大小比較中來求證。例如：當函數 f（x）是連續且單調遞減時，求證當 0＜λ＜1時，存在首先對不等式進行移項，轉變為

當不等式包含兩個定積分之積時，可以利用重積分來進行證明。例如：證明不等式在證明過程中，可以利用則假設 D1：0≤即可以得出成立。

3 利用其他方法來解題

對于不等式的求證方法，比較常見的還有泰勒公式法，此方法適用于有函數的一階、二階及二階以上的導數且最高階導數的大小或上、下界可知的命題。例如且滿足 f″（x）≥0，試求證f（x）≥x。對于該題在求證時，從已知中可以得出，則有 f（x）=f（0）+f′（0）x+代入得到其中 ξ∈（0，x）。 由題設 f″（x）≥0，可知，f（x）≥x。

另外，在不等式的證明過程中，還可以利用概率論方法來求解。如當取值范圍在0和1之間時，可以將不等式轉化為若干獨立的事件概率，以便于求證。例如：當 0＜a＜1，0＜b＜1 時，試求證0≤a+b-ab≤1。對于題設中的a，b來說，可以看作是兩個獨立的事件，當 P（A）=a，P（B）=b 時，很容易得出 0≤a+b-ab≤1。

4 結語

不等式證明的方法在高等數學教學中應用較多，在實際解題中應該根據具體情況來具體分析。掌握必要的不等式解題方法和技巧，可以更好地在高等數學的理論運用中擴散思維，把握問題的本質，有助于不等式的求證。

[1]宮莉.高等數學中證明不等式的方法和技巧[J].高等函授學報（自然科學版），2010（01）.

[2]楊黎霞.微分學中不等式的證明[J].高等數學研究，2011（01）.

[3]馬伊麗.不等式的幾種證明方法[J].宜春學院學報，2012（08）.