精細結構常數的理論值

劉 云

（駐馬店市公安局，河南 駐馬店 463100）

近百年來，物理學家們對精細結構常數的研究從沒有停止過，人們想從理論上尋找答案，有關的論文發表了一篇又一篇，然而到目前為止，仍然沒有哪一位真正獲得成功。著名的物理學家普朗克和愛因斯坦都曾苦苦思索過這個問題，正如美國物理學家費曼（Richard Phillips Feynman，1918-1998）所說，這個數字自五十多年前發現以來一直是個謎。所有優秀的理論物理學家都將這個數貼在墻上，為它大傷腦筋。它是物理學中最大的謎之一，一個該死的謎，一個魔數來到我們身邊，可是沒人能理解它。你也許會說上帝之手寫下了這個數字，而我們真不知道他是怎樣下的筆。

1 精細結構常數的由來

1891 年，麥克爾遜（Albert Michelson，1852-1931）通過更精確的實驗發現，原子光譜的每一條譜線，實際上是由兩條或多條靠得很近的譜線組成的。這種細微的結構稱為光譜線的精細結構。尼爾斯·玻爾（Niels.Bohr，丹麥，1885-1962）于 1913 年發表了氫原子模型，從而成功地解釋了氫原子光譜線的分布規律。此后，索末斐（Arnold Sommerfeld，德國，1868-1951）發現電子的軌道能級除了跟原來玻爾模型中的軌道主量子數n有關外，還跟另一個角量子數l有關。對于某個主量子數n，可以取n個不同的角量子數，但不同角量子數的軌道之間的能級有微小的差別，能級差正比于某個無量綱常數的平方，這個常數來源于電子的質量隨速度變化的相對論效應。量子電動力學也認為，它就是基態軌道上電子的線速度與光速之比。這個常數被稱為精細結構常數，也被稱作電磁偶合常數。通過精確的實驗測定氫基態電子速度與光速比值為a=1/137.035 999 76（1998年國際科技委員會公布數值）。

目前對a常數最高精確值的測量是應用量子霍爾效應，通過對原子光譜的精細結構裂矩的測量獲得，精確度依賴于光譜分析技術的發展程度。盡管人們能通過實驗把精細結構常數計算得相當精確，但一直不知道電磁偶合強度為什么與常數a分不開。

理論物理學家狄拉克（Paul Adrie Maurice Dirac，1902年～1984年）將量子波動力學與相對論相結合起來，提出了電子的相對論性量子力學方程——狄拉克方程。狄拉克方程不但更好地解釋了光譜的精細結構——認為它是電子的自旋磁矩與電子繞核運行形成的磁場耦合的結果，而且還成功地預言了正電子的存在。而描述光與電磁相互作用最為完善的理論是量子電動力學。量子電動力學認為，兩個帶電粒子（比如兩個電子）是通過互相交換光子而相互作用的。這種交換可以有很多種不同的方式。量子電動力學的計算表明，不同復雜程度的交換方式，對于相互作用的貢獻是不一樣的。它們的貢獻隨著過程中光子的吸收或發射次數呈指數式下降，而這個指數的底，正好就是精細結構常數。或者說，在量子電動力學中，任何電磁現象都可以用精細結構常數的冪級數來表達。這樣，精細結構常數成為電荷與磁場之間耦合強度的一種度量，簡稱電磁常數。

2 電子旋轉速度

任何基本粒子都由至少兩個相互吸引的粒子旋轉構成，或者等效成兩個粒子，參與旋轉的粒子叫旋子。粒子在改變旋子間距時都會與外界交換能量，同時粒子質量發生變化，這一過程稱為躍遷。以氫原子為例，電子和核都是旋子，設旋子間綜合引力系數為k（不論引力是由電荷或質量引起），電子與核的質量分別為 m1、m2，電子與核旋轉軌道半徑分別為 r1、r2，旋轉速度分別 v1、v2。 為便于表述，令（m1+m2）/m2=g（類似于朗德因子），用 v=v1+v2表示旋子間相對速度，r=r1+r2表示旋子間距，也稱相對半徑，電荷數為 1，因離心力等于引力，由 m1v12/r1=m2v22/r2=k/（r1+r2）2導出r1/r2=v1/v2=m2/m1。現有的量子力學理論認為，基本粒子遵守mvr=nh/2π規則（n取正整數，h為普朗克常數，π為圓周率），即角動量量子化公式，其實是將核心質量視為無窮大時的一種近似，但核心質量并非無窮大，因此應引申為m1v1r1+m2v2r2=hn/2π，即gm1v1r1=nh/2π更為正確。推導如下：若m1v1r1=n1h/2π成立，則m2v2r2=n2h/2π（n1、n2均為正整數）也應成立，且 n1/n2=m2/m1，取 n1=1，則n2=m2/m1，這意味著電子旋轉取基態時，核的旋轉不一定是基態，甚至n1、n2不能同時取整數。在同一個基態粒子中，不可能一個旋子是基態，而另一個不是。從能量守恒推導得，兩旋子的動能之和總是n倍于粒子旋轉半頻率所對應的能量，可導出gm1v1r1=nh/2π。由能量守恒還能導出，粒子電離能w總是兩旋子動能之和，公式為w=gm1v12/2。由以上可得r1=nh/2πgm1v1，旋子間引力系數 k=（m1v1r1+m2v2r2）v，或表示為 k=g2m1v12r1=gnhv1/2π=nhv/2π。 若用核子表示，則 k=gnhv2/2π（g-1），r2=n（g-1）h/2m2v2πg。 若令 m1=m2=me（me為電子靜質量），則 g=2，代入得 k=nhv1/π，r1=nh/4πm1v1，w=m1v12，便是電子偶素的旋轉參量公式。假設電子偶素中電子相對速度總是光速的整分數倍，用c/s（s取正整數，c為光速常數）表示，s=137 時，k=hc/274π，電離能約 6.8eV（電子伏），實驗已經證明這樣的基態電子偶素確實存在，可見電偶素中電子速度就是c/137。

為了方便表述和比較，把基態電子偶素的物理參量都大寫并在下文中作為一個量使用，把n=1、電子間相對速度v1=V=c/137 代入公式 k=nhv1/π，r1=nh/4πm1v1，w=m1v12得基態電子偶素中旋子間力系數K=hV/2π，粒子半徑R=h/2πmeV，電離能W=meV2/4。靜電子群間力系數最早由庫侖實驗測定，約為8.987×109Nm2/C2（牛頓米2/庫侖2），式中 C=6.241 46*1018為庫侖常數，換算成每個電子間的力系數，約為2.31×10-27Nm2/e2（e為電子電量，本文e=1），這一數值與K=hV/2π完全相符。

原子與電子偶素相比，因兩旋子的質量不同而使中心偏向核子，稱為偏轉。若核子電荷數為Z，則由gm1v1r1=nh/2π，m1v12/r1=ZK/r2得 v=ZV/n，r1=nh/2πm1vZ=n2R/Z，w=m1v2/2g， 這些公式適用于所有原子的最內第一個電子。可見，一個電子與核結合后躍遷時總是保持兩旋子相對速度v與定值V為整倍數關系，基態時為Z倍。

3 精細結構常數的理論值

根據現有量子電動力學理論，原子中不同角動量的電子能差與某一常數a平方成正比，這個常數又等于氫基態電子速度與光速比值，但這個觀念是有誤差的，下面看原子中與電子各級能差正比的常數到底是什么。若第一個電子與氦核結合，核心電荷Z=2，n=1態，則電子相對于核的速度v=ZV/n=2V，r1=n2R/Z=R/2，w=m1v2/2g=54.4eV。第二個電子相當于是與一個粒子（電離子）整體對旋，電子相對于離子質心速度仍表示為v=Z1V/n2，Z1為離子綜合電荷，但Z1如何確定呢？大量實驗表明第一個電子只能屏蔽掉氦核大約0.655個正電荷量，并且隨著核電荷數Z增加，屏蔽掉的正電荷數也會變小，這與粒子自旋及電子布局有關。第二個電子的結合能約為 w=13.6eV（Z2-Z-3/16）=24.65eV（實驗值為 24.6eV），則屏后電量 Z1=1.345，令 n2=1則 v=1.345V，電子軌道半徑r1=n2h/2πm1vZ2=0.74R。可見，原子外第二個電子及以后的電子相對于核的速度不一定是定值V的整倍數。

關于運動電子屏蔽掉核心多少電量，量子電動力學也沒能提供精準公式，多電子時薛定諤方程已無法求解，因為要考慮的因素實在太多。如果仍按上面的結合能公式，鋰原子第二個電子電 離 能 w=13.6eV（Z2-Z-3/16-8/36）=76.02eV（實 驗 值 為75.6eV），同理碳的第二電子電離能為w=13.6eV[Z2-Z-3/16-8/36-15/64-24/100]=396eV（實驗數據為392eV）。總之大致符合w=13.6eV[Z2-Z-3/16-8/36-…-（j2-1）/4j2]，式中 j=Z-1。 從（j2-1）/4j2項看，電子在不同層次軌道上的自旋速度是不同的。另外還有學者從大量的實驗數據中直接類推出粗略公式，也能粗略推導出較高離子的綜合電荷[4]。

由以上知，電子繞任何一個正電荷為Z、質量為me/（g-1）的粒子旋轉時，電子相對于該粒子的速度為v=ZV/n=Zc/137n，則代入電離能公式得相應電離能為：

式中n1與n2取不同正整數，原子中核心的電荷與原子序數相同，而核心再結合電子后的綜合電荷數不一定為整數。從輻射公式（3-2）看，g無法消除掉，說明輻射能總是與兩個旋子質量比有關。那么原子中各態電子能差也肯定與g有關，只不過g往往很小，比如第十號氖原子g=1.000 027。如果考慮電子自旋影響到核心的電量值為dZ，在氫基態中不同的電子自旋方向的電荷量分別為 Z1=1+dZ，Z2=1-dZ，根據式（3-1），不同自旋時能差dw=4dZmeV2/2g仍與g有關，這就是氫原子超精細分裂的能差，也是造成氫光譜21厘米線的原因，式中dZ、me均為恒定值，這一能差顯然只與a2=1/1372g正比。

式（3-2）中V恒為c/137，則各級能差應正比于a2=1/1372g，而認為能差正比于某一固定常數，本身就有誤差。用不同的原子去測定a將會得出不同的數值，比如，氫原子中g=1.000 544，a=1/137.037 26，氫基態電子速度為c/137.075；氘原子中a=1/137.018，氘基態電子速度為c/137.037 26；氦原子中a=1/137.009 3；氦原子最內層電子基態速度為c/68.509，而第二個電子的基態速度為c/

盡管是在多電子原子中，式中Z也與g無關，則原子外電子的能量輻射公式為：102。由此看來電磁常數是隨旋子質量不同而變動的。有人從宇宙射線中測定出更小數值的a常數，那么射線一定是從某更大原子核中發射的，而不是以前的電磁常數值更小。由此可以看出，狄拉克關于電磁常數是變化的猜測是正確的，但這種變化是旋子不同質量比引起，而真正的電荷間力系數并不變化。

電磁場論和量子電動力學都是在電磁常數基礎上建立起來的，而這些理論都是把電子看作一個點來研究的，因此不得不對能量的負無限大做出重正化處理，也正如費曼所說：“把能量定域在場中的觀念與點電荷的觀念是完全不相容的，電荷本并不是一個點，在十分微小的距離上，電學理論已經有點錯誤，局域內能量守恒的觀念也有點不對頭，這些觀念都存在困難，這些困難從未得到解決，直到現在（詳見《費曼物理學講義》第二卷第97頁“點電荷能量”）。”這說明，量子電動力學也并非十分嚴密完美，如果說a=1/137.035 999 76是正確的，那么氫基態電離能應為13.596eV，即使是氘基態電離能也不超過13.599eV，而理論上氫基態的電離能達13.603 066eV，氘基態電離能為13.606 898 9eV，用高精度實驗可以驗證這一點。無論如何，a常數只是很接近氫基態電子速度與光速比值，如果直接表述為這一常數就是氫基態電子速度與光速的比值，是不嚴密的。這也說明之前對這一常數測定時，并沒有真正考慮到電子與核心的質量比，計算方法值得考量。

4 結論與展望

上文的論證都充分說明基態電子偶素中電子相對核心速度總是為c/137，而電子在繞另一個質量為me/（g-1）、電荷為Z的粒子旋轉時，基態時相對于該粒子速度恒為Zc/137，電子在軌道上平移速度恒為Zc/137g。無論是主量子下的電子能差，還是考慮到電子自旋后的能差，總是與a2=1/1372g成正比，因此精細結構常數a十分接近氫基態中電子的速度與光速之比，但二者并不嚴格相等。已經證實電子存在c/68.5和c/274這樣的基態旋轉，進一步研究表明，核內重子的自旋速度更高。如果不考慮電荷，設想粒子的力系數只與自旋速度有關，則重子所遵守的引力規則與電子引力規則竟然是相同的，電荷的概念只不過是與磁自旋存在某種等效，中性電粒子的磁自旋是嚴格對稱自閉的。這一發現有望將電磁力與核內強力從規則上統一起來，甚至是萬有引力作用下的天體旋轉系統，也能找到用量子力學表達的方法，并最終也統一到電磁力上來。

[1]王明美.對精細結構常數和研究與綜述[J].中國科技信息，2005，（15）：84-85.

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