工科“積分變換”課程教學改革探索

陳曉紅+唐月紅+劉萍+王麗平

一課程簡介

“積分變換”是對工科專業本科生開設的一門數學基礎課[1-2]。作為重點工科院校的南京航空航天大學有許多專業都與之密切相關，比如工程力學、電工技術、電磁學、無線電技術、信號系統與自動控制等。對這些專業來說，積分變換既是理論基礎課程，又是解決實際問題的有力工具。通過“積分變換”這門課程的學習，使學生掌握積分變換的基本理論和方法，增強對課程內容的本質理解和實際工程應用，并為后續專業課程的學習和解決實際問題奠定必要的數學基礎，進而引導學生從純數學的學習轉變到數學與實際問題的緊密結合，提高學生數學認知能力和應用數學知識解決實際問題的能力。

“積分變換”具有概念晦澀難懂、知識點多、抽象度高、邏輯推理嚴密等特點。學過該課程的同學普遍認為該課枯燥無趣、難學難記。在實際教學過程中，由于學時有限，教師只能把基本積分變換的概念、性質與常用函數的變換傳授給學生，沒有時間介紹每種變換產生的原理與應用的場景，這影響了學生的學習興趣，更談不上進一步深入研究。如何將學生們的工科專業知識融入“積分變換”，如何讓學生對其產生興趣并在有限的時間內高效地學好這門課程，正是我們對“積分變換”進行教學改革探索的內容和目標。

二問題與剖析

目前的“積分變換”教學存在以下三個方面的問題：

1理論與實踐相脫節

“積分變換”的理論性強，嚴密的數學推導過多，教學中難免出現從公式到公式、從數字到數字的傳授方式，而枯燥的理論推導恰是學生在學習過程中的攔路虎。教學內容偏重理論推導，忽視實踐應用，整個教學過程缺少實際應用的背景。教材雖幾經變化，但沒有質的區別，大部分院校還在采用西安交大的教材，我們學校也不例外?，F行教材的一個最大缺陷就是過分強調理論的科學性、嚴謹性、系統性，卻忽視基本概念的物理背景和理論在實際中的應用。教學內容離實際越來越遠，學過的用不上，要用的又沒學，給學生造成一種積分變換用處不大的錯覺，因而學生的學習積極性不高，教學效果較差。

2教學內容與專業課程相脫節

積分變換是一門應用性很強的數學基礎課，它和我們學校開設的許多工科專業息息相關：比如對自動化學院的學生可介紹積分變換在電工技術和電磁學中的應用，對電子信息學院的學生則要結合無線電技術、信號系統與自動控制來講解積分變換的用途等。而實際上，教師在授課過程中往往只是介紹積分變換的基本概念和常用函數的變換，根本做不到針對不同專業的學生一一介紹積分變換在其專業課程中的應用，造成積分變換的教學內容與學生的專業課程相脫節，影響了學生對積分變換知識體系的理解，從而使教學效果大打折扣。

3多媒體教學與數學軟件的實時演示相脫節

盡管現在已有越來越多的教師注意到上述兩個問題，并在課堂教學中加以改進，比如穿插一些應用實例，但這通常是教師在課前做好功課，課堂上只是展示給學生看，學生只是在形式上感知，沒有親自動手演算的機會，無法體會積分變換的強大功能。

三探索與改革

針對上述“積分變換”教學中存在的“三脫節”現象，通過剖析問題實質，提出以下具體教學改革思路：

1課程內容兼顧理論與應用，培養學生扎實的數學基本功和應用數學知識解決實際問題的能力

“積分變換”比先前所學數學課程比如復變函數有其更廣泛的專業背景。積分變換主要介紹傅立葉變換和拉普拉斯變換，其中傅立葉變換多應用于信號分析，拉普拉斯變換則常見于分析系統。教學時緊緊抓住這一特點并結合應用背景，就會使教學變得生動，真正讓學生看到學以致用的魅力。比如講授傅立葉變換時，可介紹其在信號消噪過程的工作原理（先對信號進行傅里葉變換，分離出高低頻信息，根據需要找到最佳消噪方法進行去噪），而不是孤立地、支離破碎地講授一些抽象的數學概念和公式。許多科技前沿諸如語音識別、虹膜識別等技術的實現都是類似的道理。這種與實際應用相結合的教學方法，切實解決理論與實踐相脫節的問題，可幫助學生建立明確的學習目標，從而提高學生學習數學的積極性，全面系統培養他們的實際應用能力，為后續課程的學習打下扎實的數學基礎，達到事半功倍的教學效果。

在“積分變換”教學中采用類比建構的方法介紹傅立葉變換和拉普拉斯變換的區別與相似之處。傅立葉變換是在函數絕對可積的條件下定義的，拉普拉斯變換是在更寬泛的前提下給出的，拉普拉斯變換是傅立葉變換的拓展，傅立葉變換是拉普拉斯變換的一種特例，但兩種變換的實質都是映射，它們將信號從時間域映射到頻率域，然后研究信號的特征，逆變換則相反。如此一來，復雜的數學定義及公式就被簡單地提煉出實質，有利于學生透過現象看到事物的本質，幫助學生建立看問題的數學角度，培養學生數學的思維，實現知識從厚到薄的轉換。

整個授課過程按照如下方式展開：背景問題———產生、建立概念———發現定律———建立體系———發展理論———應用理論，強調概念的產生過程所蘊含的思想方法。在完成了概念的產生到理論體系的建立之后，又以回到實際問題的解決來收尾，從而培養學生對數學是怎樣經過抽象、簡化和假設等方法來描述問題、分析問題和解決問題的全過程有一個綜合了解，使學生在掌握知識的基礎上學會數學思維，并用之解決實際問題，從而讓學生感覺到數學并非多么抽象，它就在現實之中。

2“積分變換”教學與后續專業課程的緊密結合

由于“積分變換”的授課對象是全校不同專業的工科學生，所以必須從專業需求出發，修訂教學內容。學生來自不同的專業，他們對積分變換的要求必然有所不同，所以教學內容必須進行改革。為此，可嘗試在所選教材的基礎上，適當地做些“增”和“減”的調整，精簡一些傳統的教學內容，增加與各專業背景有關的應用實例，以滿足各專業學生的不同需求。通過這些實例，使學生認識到積分變換在相應專業課中的作用，進而深入了解積分變換應用的方法和技巧。

“積分變換”教學改革的第二項措施就是從教學效果出發，增加實踐教學。在教學過程中將現實的實際問題引入課堂，把積分變換和后續專業課程融合起來，解決二者脫節的問題，使積分變換不再晦澀難懂，提高學生的學習興趣，進而讓學生嘗試通過自己動手和觀察實驗結果去發現和總結其中的規律，并進一步學習新的數學知識，滲透現代的數學思想[3]。例如，為了讓學生能從實踐中深切地感受到傅里葉變換理論的意義和應用價值，我們設計頻譜分析這一實驗內容，通過實踐，一方面讓學生了解到傅里葉變換是信號頻譜分析的一種極有力的工具，另一方面也讓學生了解到傅里葉變換不具有時頻局域化的特點，激勵學生勇于探索，科學無止境。對于來自信號處理專業的學生，引導其利用傅里葉變換進行圖像處理，實現圖像去噪和壓縮，體會傅里葉變換的效果，鼓勵學生進一步分析實驗結果并提出改進形式。

3傳統教學方式與多媒體教學相結合，將實踐教學引入課堂

在課堂教學中把傳統教學模式難以表現的教學內容通過多媒體技術形象化地、可交互性地展現出來，呈現出知識建立的過程。課前專門創設若干問題，利用學生的好奇心，引導他們多方位、多角度地思考，加深他們對知識的理解，增強其思維能力和創新精神。實驗與實踐環節既是教學實驗中的關鍵所在，也是課程建設的重要內容。在課程建設中，實踐教學的設計思想就是使學生能更加深刻地理解、掌握該門課程的理論和方法；引導學生對一些概念、公式和結論所含物理意義有形象直觀的認識，并為后繼專業課程打下良好的基礎。為此，我們進行以下工作：

利用計算機及數學軟件（如Maple、Matlab、Mathematica）的數值功能和圖形功能展示課程的基本概念和結論，使學生能直觀地了解課程內容，加強對基本概念和結論的認識與理解。比如利用Matlab實現函數的傅里葉變換、傅里葉逆變換、拉普拉斯變換和拉普拉斯逆變換等。要求學生自己總結規律，親自體驗解決問題的過程，激發學習興趣，提高應用能力，增強學習效果。

采用開放式的課后作業機制，讓學生親身體驗初級科研的全過程，達到學以致用的效果。每章內容結束時給出應用案例，將問題交給學生，自行查閱文獻、選擇積分變換，借助數學軟件將學到的數學知識應用到實際問題的解決中，并完成案例分析報告，體會積分變換的實用性和數學軟件的操作性，從而加深學生對基本概念的理解，掌握現代計算工具的應用，了解所學知識的多樣性和應用性，逐步提高學生學習該課程的興趣。

四教改實施

目前，我校將“積分變換”作為公選課對全校理工科生開放，面對來自不同專業的學生，我們根據“積分變換”課程特點與工科學生不同專業的需求，按照上述改革思路，嘗試在教學過程中改進教學方式方法，加強實踐教學與理論教學的結合、加強教學內容與專業課程結合、加強多媒體教學與數學軟件的實時演示的結合，提高了學生學習興趣，得到了專業教師的認可，達到了預期的教學效果。

參考文獻

[1]高宗升，騰巖梅.復變函數與積分變換[M].北京：北京航空航天大學出版社，2006.

[2]張元林.工程數學-積分變換[M].江蘇：高等教育出版社，2012.

[3]朱敏慧，崔艷.工科復變函數與積分變換課程教學改革的探索[J]. 2013， 27（1）： 82-84.