我們一起用過的建系的考題

許兵

我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾說：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形無數(shù)時(shí)難入微.”向量集數(shù)與形于一身，既有代數(shù)的抽象性，又有幾何的直觀性，用它研究問題可以實(shí)現(xiàn)形象和思維的有機(jī)結(jié)合.而有一些問題是需要學(xué)生首先合理建立直角坐標(biāo)系，再確定坐標(biāo)，從而巧妙地將其轉(zhuǎn)化為從向量或坐標(biāo)的角度解題，最終達(dá)到簡化問題的效果.下面筆者通過幾個(gè)典型的高考題分享建系這一重要思想，希望能給讀者有所幫助.

例1（2013年全國新課標(biāo)Ⅱ卷第13題）：已知正方形ABCD邊長為2，E為CD的中點(diǎn)，則■·■=？搖？搖 ？搖？搖.

分析：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則A（0，0），B（2，0），D（0，2），E（1，2），■=（1，2），■=（-2，2），

∴■·■=-2+4=2.

例2（2013年山東卷第15題）：已知向量■與■的夾角為120°，且|■|=3，|■|=2.若■=λ■+■，且■⊥■，則實(shí)數(shù)λ的值為？搖？搖 ？搖？搖.

分析：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（x，y），則A（0，0），B（3，0），C（-1，■），■=（x，y），■=（3，0），■=（-1，■），■=（-4，■），由■=λ■+■，■⊥■得：x=3λ-1y=■-4x+■y=0，解得λ=■.

例3（2013年天津卷第12題）：在平行四邊形中ABCD中，AD=1，∠BAD=60°，E為CD的中點(diǎn).若■·■=1，則AB的長為？搖？搖 ？搖？搖.

分析：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，設(shè)AB的長為x，則A（0，0），B（x，0），D（■，■），C（■+x，■），E（■+■，■），■=（■+x，■），■=（■-■，■），

∴■·■=-■+■+1=1，解得x=■.

例4（2012年江蘇卷第9題）：如圖，在矩形ABCD中，AB=■，BC=2，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在CD邊上，若■·■=■，則■·■的值是？搖？搖 ？搖？搖.

分析：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則A（0，0），B（■，0），C（■，2），E（■，1），設(shè)點(diǎn)F（x■，2），∴■·■=（■，0）·（x■，2）=■x■，解得x■=1，即點(diǎn)F坐標(biāo)為（1，2），∴■·■=（■，1）·（1-■，2）=■.

例5（2012年上海卷第12題）：在平行四邊形ABCD中，∠A=■，邊AB、AD的長分別為2、1，若M、N分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且滿足■=■，則■·■的取值范圍是？搖？搖？搖 ？搖.

分析：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則A（0，0），B（2，0），C（■，■），D（■，■），設(shè)BC邊上的點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x■，■x■-2■）（其中x■∈[2，■]），

∴BM=■=2x■-4，

∴■=■，∴|■|=2|■|=4x■-8，得點(diǎn)N的坐標(biāo)為（-4x■+■，■），

∴■·■=（x■，■x■-2■）·（-4x■+■，■）=-4x■■+12x■-3，x■∈[2，■]，

∴■·■的取值范圍為 [2，5].

例6（2011年天津卷第14題）：已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=2，BC=1，P是腰DC上的動(dòng)點(diǎn)，則|■+3■|的最小值為？搖？搖 ？搖？搖.

分析：如圖建立直角坐標(biāo)系，則A、D兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（2，0），D（0，0），設(shè)B、P坐標(biāo)分別為B（1，t），P（0，y■），設(shè)B、P坐標(biāo)分別為B（1，t），P（0，y■）（其中y■∈[0，t]），∴■=（2，-y■），■=（1，t-y■），

■+3■=（5，3t-4y■），∴|■+3■|=■，

因此當(dāng)y■=■時(shí)，|■+3■|的最小值為5.

例7（2010年江西卷第7題）：E，F(xiàn)是等腰直角△ABC斜邊AB上的三等分點(diǎn)，則tan∠ECF=？搖 ？搖？搖？搖.

A.■ B.■ C.■ D.■

分析：以C為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（0，3），（3，0），則

■=（1，2），■=（2，1），|■|=|■|=■，由■·■=|■||■|cos∠ECF得cos∠ECF=■，因此sin∠ECF=■，得tan∠ECF=■.所以選D.

變式訓(xùn)練：在△ABC中，AB=2，AC=■BC，求△ABC面積的最大值.

分析：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（x，y），△ABC面積最大值問題轉(zhuǎn)化為|y|的最大值問題，則由題意得■=■■，

整理得y■=-x■+8x-8，所以|y|■=2■，

即得S■的最大值為2■.

小結(jié)：這類問題的突破口在于能否合理建系，從而將問題簡單化，主要體現(xiàn)的是建系思想.嫻熟掌握建系這一方法，在解決一些問題時(shí)會(huì)達(dá)到事半功倍的效果.

我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾說：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形無數(shù)時(shí)難入微.”向量集數(shù)與形于一身，既有代數(shù)的抽象性，又有幾何的直觀性，用它研究問題可以實(shí)現(xiàn)形象和思維的有機(jī)結(jié)合.而有一些問題是需要學(xué)生首先合理建立直角坐標(biāo)系，再確定坐標(biāo)，從而巧妙地將其轉(zhuǎn)化為從向量或坐標(biāo)的角度解題，最終達(dá)到簡化問題的效果.下面筆者通過幾個(gè)典型的高考題分享建系這一重要思想，希望能給讀者有所幫助.

例1（2013年全國新課標(biāo)Ⅱ卷第13題）：已知正方形ABCD邊長為2，E為CD的中點(diǎn)，則■·■=？搖？搖 ？搖？搖.

分析：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則A（0，0），B（2，0），D（0，2），E（1，2），■=（1，2），■=（-2，2），

∴■·■=-2+4=2.

例2（2013年山東卷第15題）：已知向量■與■的夾角為120°，且|■|=3，|■|=2.若■=λ■+■，且■⊥■，則實(shí)數(shù)λ的值為？搖？搖 ？搖？搖.

分析：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（x，y），則A（0，0），B（3，0），C（-1，■），■=（x，y），■=（3，0），■=（-1，■），■=（-4，■），由■=λ■+■，■⊥■得：x=3λ-1y=■-4x+■y=0，解得λ=■.

例3（2013年天津卷第12題）：在平行四邊形中ABCD中，AD=1，∠BAD=60°，E為CD的中點(diǎn).若■·■=1，則AB的長為？搖？搖 ？搖？搖.

分析：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，設(shè)AB的長為x，則A（0，0），B（x，0），D（■，■），C（■+x，■），E（■+■，■），■=（■+x，■），■=（■-■，■），

∴■·■=-■+■+1=1，解得x=■.

例4（2012年江蘇卷第9題）：如圖，在矩形ABCD中，AB=■，BC=2，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在CD邊上，若■·■=■，則■·■的值是？搖？搖 ？搖？搖.

分析：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則A（0，0），B（■，0），C（■，2），E（■，1），設(shè)點(diǎn)F（x■，2），∴■·■=（■，0）·（x■，2）=■x■，解得x■=1，即點(diǎn)F坐標(biāo)為（1，2），∴■·■=（■，1）·（1-■，2）=■.

例5（2012年上海卷第12題）：在平行四邊形ABCD中，∠A=■，邊AB、AD的長分別為2、1，若M、N分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且滿足■=■，則■·■的取值范圍是？搖？搖？搖 ？搖.

分析：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則A（0，0），B（2，0），C（■，■），D（■，■），設(shè)BC邊上的點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x■，■x■-2■）（其中x■∈[2，■]），

∴BM=■=2x■-4，

∴■=■，∴|■|=2|■|=4x■-8，得點(diǎn)N的坐標(biāo)為（-4x■+■，■），

∴■·■=（x■，■x■-2■）·（-4x■+■，■）=-4x■■+12x■-3，x■∈[2，■]，

∴■·■的取值范圍為 [2，5].

例6（2011年天津卷第14題）：已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=2，BC=1，P是腰DC上的動(dòng)點(diǎn)，則|■+3■|的最小值為？搖？搖 ？搖？搖.

分析：如圖建立直角坐標(biāo)系，則A、D兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（2，0），D（0，0），設(shè)B、P坐標(biāo)分別為B（1，t），P（0，y■），設(shè)B、P坐標(biāo)分別為B（1，t），P（0，y■）（其中y■∈[0，t]），∴■=（2，-y■），■=（1，t-y■），

■+3■=（5，3t-4y■），∴|■+3■|=■，

因此當(dāng)y■=■時(shí)，|■+3■|的最小值為5.

例7（2010年江西卷第7題）：E，F(xiàn)是等腰直角△ABC斜邊AB上的三等分點(diǎn)，則tan∠ECF=？搖 ？搖？搖？搖.

A.■ B.■ C.■ D.■

分析：以C為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（0，3），（3，0），則

■=（1，2），■=（2，1），|■|=|■|=■，由■·■=|■||■|cos∠ECF得cos∠ECF=■，因此sin∠ECF=■，得tan∠ECF=■.所以選D.

變式訓(xùn)練：在△ABC中，AB=2，AC=■BC，求△ABC面積的最大值.

分析：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（x，y），△ABC面積最大值問題轉(zhuǎn)化為|y|的最大值問題，則由題意得■=■■，

整理得y■=-x■+8x-8，所以|y|■=2■，

即得S■的最大值為2■.

小結(jié)：這類問題的突破口在于能否合理建系，從而將問題簡單化，主要體現(xiàn)的是建系思想.嫻熟掌握建系這一方法，在解決一些問題時(shí)會(huì)達(dá)到事半功倍的效果.

我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾說：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形無數(shù)時(shí)難入微.”向量集數(shù)與形于一身，既有代數(shù)的抽象性，又有幾何的直觀性，用它研究問題可以實(shí)現(xiàn)形象和思維的有機(jī)結(jié)合.而有一些問題是需要學(xué)生首先合理建立直角坐標(biāo)系，再確定坐標(biāo)，從而巧妙地將其轉(zhuǎn)化為從向量或坐標(biāo)的角度解題，最終達(dá)到簡化問題的效果.下面筆者通過幾個(gè)典型的高考題分享建系這一重要思想，希望能給讀者有所幫助.

例1（2013年全國新課標(biāo)Ⅱ卷第13題）：已知正方形ABCD邊長為2，E為CD的中點(diǎn)，則■·■=？搖？搖 ？搖？搖.

分析：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則A（0，0），B（2，0），D（0，2），E（1，2），■=（1，2），■=（-2，2），

∴■·■=-2+4=2.

例2（2013年山東卷第15題）：已知向量■與■的夾角為120°，且|■|=3，|■|=2.若■=λ■+■，且■⊥■，則實(shí)數(shù)λ的值為？搖？搖 ？搖？搖.

分析：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（x，y），則A（0，0），B（3，0），C（-1，■），■=（x，y），■=（3，0），■=（-1，■），■=（-4，■），由■=λ■+■，■⊥■得：x=3λ-1y=■-4x+■y=0，解得λ=■.

例3（2013年天津卷第12題）：在平行四邊形中ABCD中，AD=1，∠BAD=60°，E為CD的中點(diǎn).若■·■=1，則AB的長為？搖？搖 ？搖？搖.

分析：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，設(shè)AB的長為x，則A（0，0），B（x，0），D（■，■），C（■+x，■），E（■+■，■），■=（■+x，■），■=（■-■，■），

∴■·■=-■+■+1=1，解得x=■.

例4（2012年江蘇卷第9題）：如圖，在矩形ABCD中，AB=■，BC=2，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在CD邊上，若■·■=■，則■·■的值是？搖？搖 ？搖？搖.

分析：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則A（0，0），B（■，0），C（■，2），E（■，1），設(shè)點(diǎn)F（x■，2），∴■·■=（■，0）·（x■，2）=■x■，解得x■=1，即點(diǎn)F坐標(biāo)為（1，2），∴■·■=（■，1）·（1-■，2）=■.

例5（2012年上海卷第12題）：在平行四邊形ABCD中，∠A=■，邊AB、AD的長分別為2、1，若M、N分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且滿足■=■，則■·■的取值范圍是？搖？搖？搖 ？搖.

分析：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則A（0，0），B（2，0），C（■，■），D（■，■），設(shè)BC邊上的點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x■，■x■-2■）（其中x■∈[2，■]），

∴BM=■=2x■-4，

∴■=■，∴|■|=2|■|=4x■-8，得點(diǎn)N的坐標(biāo)為（-4x■+■，■），

∴■·■=（x■，■x■-2■）·（-4x■+■，■）=-4x■■+12x■-3，x■∈[2，■]，

∴■·■的取值范圍為 [2，5].

例6（2011年天津卷第14題）：已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=2，BC=1，P是腰DC上的動(dòng)點(diǎn)，則|■+3■|的最小值為？搖？搖 ？搖？搖.

分析：如圖建立直角坐標(biāo)系，則A、D兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（2，0），D（0，0），設(shè)B、P坐標(biāo)分別為B（1，t），P（0，y■），設(shè)B、P坐標(biāo)分別為B（1，t），P（0，y■）（其中y■∈[0，t]），∴■=（2，-y■），■=（1，t-y■），

■+3■=（5，3t-4y■），∴|■+3■|=■，

因此當(dāng)y■=■時(shí)，|■+3■|的最小值為5.

例7（2010年江西卷第7題）：E，F(xiàn)是等腰直角△ABC斜邊AB上的三等分點(diǎn)，則tan∠ECF=？搖 ？搖？搖？搖.

A.■ B.■ C.■ D.■

分析：以C為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（0，3），（3，0），則

■=（1，2），■=（2，1），|■|=|■|=■，由■·■=|■||■|cos∠ECF得cos∠ECF=■，因此sin∠ECF=■，得tan∠ECF=■.所以選D.

變式訓(xùn)練：在△ABC中，AB=2，AC=■BC，求△ABC面積的最大值.

分析：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（x，y），△ABC面積最大值問題轉(zhuǎn)化為|y|的最大值問題，則由題意得■=■■，

整理得y■=-x■+8x-8，所以|y|■=2■，

即得S■的最大值為2■.

小結(jié)：這類問題的突破口在于能否合理建系，從而將問題簡單化，主要體現(xiàn)的是建系思想.嫻熟掌握建系這一方法，在解決一些問題時(shí)會(huì)達(dá)到事半功倍的效果.