例談直線與半徑已知圓相切圓心坐標確定的“秒殺法”

王震偉

近些年全國各地的中考壓軸題大多數是數形結合題。數形結合是數學解題中常用的思想方法，數形結合的思想可以使某些抽象的數學問題直觀化、生動化，變抽象思維為形象思維，有助于把握數學問題的本質；由于使用了數形結合的方法，很多問題便迎刃而解，且解法簡捷.初中數形結合是將初中所涉及的平面幾何知識和一次函數、反比例函數、二次函數相結合的一種題型.那么坐標系中直線與圓相切問題是各地中考中的熱門考點，下面我就直線與圓相切確定圓心坐標的解題思想談談想法.

一、知識解讀

要快速解決所有直線與圓相切問題的解法，就必須先理清以下問題。

問題1：到已知直線l距離為d的點有幾個？

問題2：與已知直線l相切且半徑為d的圓，這樣的圓心有幾個？

上訴兩個問題其實是一個問題，通過圖像我們可以理解這樣的點有無數個，就是在到已知直線l距離為d的兩條平行線上（如圖1）。考試時不可能讓我們求無數個解的，一定還會有個條件限定它，如在某直線上、雙曲線上、拋物線上、矩形的一邊上等，這樣根據兩個條件就可以確定與已知直線相切的圓的圓心位置.

圖1

二、范例講解

范例：已知：如圖2，直線y=-■x+3交坐標軸與A、B兩點.

（1）在x軸上找一半徑為1的⊙P與直線AB相切，求P點坐標；

（2）在直線y=2x-2上找一半徑為1的⊙P與直線AB相切，求P點坐標；

（3）在矩形AOBC上找一半徑為1的⊙P與直線AB相切，求P點坐標.

圖2 圖3

范例解答思路分析：第1小題比較簡單，但平時學生解答時經常漏解，或者是把半徑畫成了與軸垂直的線段從而錯解，造成這些錯誤的原因都是對直線與圓相切問題的本質理解不透.直線與圓相切問題考點本質是考圓心到直線的距離，我們從知識解讀里可以了解這3個問題的解答思路分兩步：第一步是求到直線AB距離為1的兩條平行線，圓心首先要滿足這個條件，第二步是求這兩條平行線與相關直線（或圖像）的交點坐標.我們帶著這樣的思路可以解答所有在不同圖像上的大小確定的圓與已知直線相切的問題.

范例解答：如圖3，A點坐標（0，3），B點坐標（4，0），AB由勾股定理得是5.半徑為1的⊙P與直線AB相切，其圓心在平行于AB且到AB距離為1的兩條平行線EF和MN上.根據平行線性質，兩直線平行k相同，我們要確定一條平行線的解析式，只要求出一個點坐標即可，一般當既可求軸交點坐標，又可求軸交點坐標時，我們優先考慮求軸交點坐標，因為這樣平行線的解析式可以“秒殺”了.如圖3，由題意可得∠MAG=∠OAB，所以Sin∠MAG=Sin∠OAB？圯■=■？圯■=■？圯MA=■，點M的坐標是（0，■），直線MN的解析式為y=-■x+■；同理可得直線EF的解析式為y=-■x+■.第一步搞定，進入第二步，求這兩條直線與軸交點坐標即解決了第1問，與直線y=2x-2的交點坐標即解決了第2問，與矩形AOBC的交點坐標即解決了第3問.

（1）將y=0代入y=-■x+■得x=■，代入y=-■x+■得x=■，所以P■（■，0），P■（■，0）.

（2）y=-■x+■y=2x-2？圯x=■y=■，所以P■（■，■）；

y=-■x+■y=2x-2？圯x=■y=■，所以P■（■，■）.

（3）由圖像可知在矩形邊上共有四個交點，所以有四解.OA邊上的解P■（0，■），OB邊上的解P■（■，0），BC邊上的解P■（4，■），AC邊上的解P■（■，3）.

三、知識升華

由范例我們了解了具體的直線與圓相切圓心坐標的解法，可以歸納一般的解法思想，解答這一類問題.要求某函數圖像（這里的函數圖像可以是坐標軸所在直線、一次函數、反比例函數、二次函數），或其他幾何圖形邊上是否存在一半徑確定的圓與已知直線相切，圓心坐標的確定分兩步.第一步根據圓心到直線的距離求出與已知直線平行的兩條直線函數解析式，第二步求兩條平行線和相關函數解析式或幾何圖形所在邊的交點即可.