高階齊次線性遞歸數(shù)列特征方程的由來

王婷

一、問題提出

高階齊次線性遞歸數(shù)列是一種十分重要的數(shù)列，它不僅在高考中占有一席之地，在各類數(shù)學(xué)競賽中也是常客，大多是將高階齊次線性遞歸數(shù)列與特征方程聯(lián)系起來，利用特征根法求得其通項(xiàng)公式，但是特征方程是如何“從天而降”，遞歸數(shù)列如何與特征方程聯(lián)系起來是許多讀者困惑的問題.教學(xué)，不僅要知其然更要知其所以然，才能深刻理解知識的“來龍去脈”，才能稱得上掌握知識.本文就針對高階齊次線性遞歸數(shù)列，還原其特征方程的由來過程.

先來回顧文[1]中二階線性遞歸數(shù)列：x■=p■x■+p■x■①

采用分配降階得：x■=（α+β）x■-αβx■②

比較①式與②式，得p■=α+β，p■=-αβ，由韋達(dá)定理可知：α，β是方程x■-p■x-p■=0的根，此方程就稱為二階齊次線性遞歸數(shù)列①的特征方程.

把這種分配的思想運(yùn)用到三階、四階，甚至階齊次線性遞歸數(shù)列中，即可得到相應(yīng)的特征方程.

二、預(yù)備知識

先介紹一元次方程根與系數(shù)的關(guān)系[2].

設(shè)n次多項(xiàng)式f（x）=x■+a■x■+…a■x+a■的n個根為α■，α■，…α■，那么f（x）就可以分解成：f（x）=（x-α■）（x-α■）…（x-α■）

即：x■+α■x■+…+α■x+α■=（x-α■）（x-α■）…（x-α■）

將上式右端展開、整理，并比較等式兩邊同次項(xiàng)系數(shù)得

α■+α■+…+α■=-α■α■α■+α■α■+…+α■α■=α■α■α■α■+α■α■α■+…+α■α■α■=-α■……α■α■…α■=（-1）■α■

這就是n次多項(xiàng)式的根與系數(shù)的關(guān)系定理，也稱為韋達(dá)定理.

三、高階齊次線性遞歸數(shù)列特征方程的由來

要說明特征方程的由來，只需說明根與系數(shù)具有上述關(guān)系，從而構(gòu)造高階齊次線性遞歸數(shù)列的特征方程.

用數(shù)學(xué)歸納法推導(dǎo)高階齊次線性遞歸數(shù)列x■=p■x■+p■x■+…+p■x■（r≥3）的特征方程.

當(dāng)r=3時x■p■x■+p■x■+p■x■③

x■-αx■=β（x■-αx■）+γ（x■-αx■）④

比較③式、④式得

α+β=p■γ-αβ=p■γα=-p■⑤

令A(yù)■=x■-αx■，則A■=x■-αx■，那么④式就變形為A■=βA■+γA■.

由二階齊次線性遞歸數(shù)列可知：

b■+b■=βb■b■=-γ⑥

將⑥式代入⑤式得：

α+b■+b■=p■αb■+αb■+b■b■=-p■αb■b■=p■

表明α，b■，b■是特征方程x■-p■x■-p■x-p■=0的根.

現(xiàn)假設(shè)當(dāng)r=m-1時，x■=p■x■+p■x■+…+p■x■的特征方程根與系數(shù)的關(guān)系滿足：

b■+b■+…+b■=p■■b■b■=-p■■b■b■b■=p■b■b■…b■=（-1）■p■

其中b■，b■，…，b■是m-1階特征方程的根.

那么，當(dāng)r=m時，有x■=p■x■+p■x■+…+p■x■⑦

利用分配降階的思想，將⑦式變形為：

x■-c■x■=c■（x■-c■x■）+c■（x■-c■x■）+…+c■（x■-c■x■） ⑧

令A(yù)■=x■-c■x■，則A■=x■-c■x■，⑧式就變形為A■=c■A■=c■A■+c■A■+…+c■A■.

由假設(shè)可知，此m-1階特征方程根與系數(shù)的關(guān)系滿足：

b■+b■+…+b■=c■■b■b■=-c■■b■b■b■=c■b■b■…b■=（-1）■c■⑨

比較⑦、⑧式得：

c■+c■=p■c■-c■c■=p■…c■c■=-p■⑩

將⑨式代入⑩式得：

c■+b■+b■+…+b■=p■■b■b■+c■■b■=-p■c■b■b■…b■=（-1）■p■

上式表明c■，b■，…，b■是方程x■=p■x■+p■x■+…+p■x+p■的根，

亦即x■=p■x■+p■x■+…+p■x■的特征方程.

四、結(jié)語

在教學(xué)過程中，教師需要傳授的不僅僅是知識本身，更重要的是給學(xué)生創(chuàng)造探索其來源的機(jī)會，讓他們在不斷探索的過程中感受隱藏在知識背后的數(shù)學(xué)魅力.

參考文獻(xiàn)：

[1]沈恒.再談2008年廣東高考數(shù)學(xué)壓軸題[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊（教師版），2009（7）.

[2]王萼芳，石生明.高等代數(shù)（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2013.