淺談轉化思想在高中數學解題中的應用

杜素麗

數學學習不僅要熟練掌握基礎知識，更要重視對數學思想方法的學習，數學思想方法是數學知識在更高層次上的抽象和概括，蘊涵在數學知識發生、發展和應用的過程中，能夠遷移并廣泛應用于相關學科和社會生活中。數學思想方法是數學的精髓，也是將理論知識轉化為實踐技能的橋梁。在眾多的數學思想方法中，轉化思想是我們解決問題時經常采用的一種方法，它也是一種最基本、最重要的思想方法，在中學數學學習中占有很重要的地位。數學學習中的轉化思想，就是要把新的知識轉化成已經學過的知識，把較為復雜的知識轉化為簡單的知識，從而解決問題。高考試題十分重視對于數學思想方法的考查，特別是突出考查能力的試題，其解答過程都蘊涵著重要的數學思想方法，其中“轉化思想”是中學數學思想方法的重要思想之一。

轉化思想的本質特征是知識和方法的遷移，轉化思想可以減化運算、開拓思路，它能給人帶來思維的閃光點，找到解決問題的突破口。新課標下高中數學銜接上呈現“起點高、難度大、容量多、課時緊”的特點，學生學習不適應現象突出，困難重重，師生更應該強化數學思想方法，重視思想方法的教學與應用，只有從思想方法入手，才能教會學生如何學習數學。下面就轉化思想在高中數學教學中的應用淺談幾點做法。

一、圓錐曲線中的轉化思想

圓錐曲線是解析幾何的核心內容，也是學習高等數學的基礎，當然也是高考命題的熱點——高考數學對圓錐曲線的考查比例通常遠遠超過了其他知識板塊。近年來圓錐曲線在高考中比較穩定，解答題往往以中檔題或以押軸題形式出現，主要考查學生邏輯推理能力、運算能力，考查學生綜合運用數學知識解決問題的能力。圓錐曲線主要以下三類題型。

1.求曲線（或軌跡）的方程，對于這類問題，高考常常不給出圖形或不給出坐標系，以考查學生理解解析幾何問題的基本思想方法和能力。

2.與圓錐曲線有關的最值問題、參數范圍問題，這類問題的綜合型較大，解題中需要根據具體問題，靈活運用解析幾何、平面幾何、函數、不等式、三角知識，正確地構造不等式或方程，體現了解析幾何與其他數學知識的聯系。

3.直線與圓錐曲線的綜合例如，在平面直角坐標系xOy中，橢圓的方程為■+y■=1，以O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為2ρcos（θ+■）=3■。求橢圓上點到直線距離的最大值和最小值。

解析：橢圓■+y■=1的參數方程為x=■cosθy=sinθ，（θ為參數），直線的普通方程為x-■y-3■=0，橢圓上點P（■cosθ，sinθ）到直線的距離d=■=■，轉化為三角函數求最值問題，最大值為2■，最小值為■。

圓錐曲線的選擇、填空題思路大多數是應用定義轉化。在拋物線中若條件是點到焦點距離，就要轉化成點到準線距離，而條件是點到準線距離，就要轉化成點到焦點距離；在橢圓或雙曲線中，點到左焦點的距離與點到右焦點的距離可以互化。當遇到橢圓內求最值問題時，也可利用橢圓的參數方程轉化為三角函數求最值問題。

二、導數中的轉化思想

高中數學的函數問題內容多而繁，性質復雜且比較抽象，因而很多學生對函數知識的考查極為畏懼，轉化是解決導數問題的重要策略，特別是對于難度比較大的導數問題，更加彰顯了轉化思想的強大功能。

例如，已知函數f（x）=x■■+alnx，（1）當a=-2時，求函數f（x）的單調區間和極值；（2）若g（x）=f（x）+■在[1，+∞）上是單調增函數，求實數a的取值范圍。解析：（2）導函數的正負決定了原函數的增減，若g（x）=f（x）+■在[1，+∞）上是單調增函數，則g'（x）=2x+■-■≥0在[1，+∞）上恒成立，即a≥■-2x■.通過構造新函數F（x）=■-2x■，求F（x）在x∈[1，+∞）上的最大值來確定實數a的取值范圍。

在導數習題中，“恒成立問題”與“存在問題”是兩類常見題型。a≥f（x）在定義域上恒成立，即a≥f（x）的最大值；a≤f（x）在定義域上恒成立，即a≤f（x）的最小值。若存在x0屬于定義域，a≥f（x0）成立，即a≥f（x）的最小值；若存在x0屬于定義域，a≤f（x0）成立，即a≤f（x）的最大值。將導數中的“恒成立問題”與“存在問題”轉化為求最值問題，避免對含參不等式的討論，簡化運算，是一種很實用的解題方法。

又如，已知f（x）是定義（-∞，+∞）在上的函數，導函數f'（x）滿足f'（x）

A.f（2）>e2f（0），f（2012）>e2012f（0）

B.f（2）e2012f（0）

C.f（2）>e2f（0），f（2012）

D.f（2）

解析：因為不等式f'（x）-f（x）<0，構造新函數F（x）=■。通過新函數在定義域上為減函數來比較大小。

當題目中出現與有關的式子且又無法判斷的正負時，需要變換條件形式構造新函數，讓新函數的導數符合題目中所給條件，通過新函數的單調性來解不等式或比較大小。

三、解三角形中的轉化思想

解三角形一直是高考數學中的熱點內容之一，對它的考查也是靈活多樣，但在近幾年的高考試題中，幾乎都可以運用正、余弦定理進行邊角互換，這不僅是高考的一個重點也是一個難點，更是轉化思想的靈活運用。

例如，ΔABC的三個內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，asinAsinB+bcos2A=■a，則■=

解析：利用正弦定理■=■=■=2R進行邊角互化，sinAsinAsinB+sinBcos■A=■sinA。

在解三角形的問題中，若條件出現邊a、b、c（或sinA、sinB、sinC）的關系時，只要等式兩邊a、b、c（或sinA、sinB、sinC）的次數相同，就可以通過正弦定理直接把a、b、c（或sinA、sinB、sinC）替換成sinA、sinB、sinC（或a、b、c）。若條件出現sinA、sinB、sinC時，可以通過余弦定理替換成邊a、b、c的關系。

俗話說：“授之以魚，不如授之以漁?！敝袑W數學思想方法就是釣魚的桿，捕魚的網。在高中數學教學中，教師要引導學生將復雜的知識轉化為簡單的知識，將未知的知識轉化為已知的知識，不斷培養和訓練學生自覺的轉化意識，強化轉化思想在解題中的應用，提高學生在解決數學問題中的獨立思考能力、應變能力、思維能力和解題的技能、技巧。

（責編 田彩霞）

數學學習不僅要熟練掌握基礎知識，更要重視對數學思想方法的學習，數學思想方法是數學知識在更高層次上的抽象和概括，蘊涵在數學知識發生、發展和應用的過程中，能夠遷移并廣泛應用于相關學科和社會生活中。數學思想方法是數學的精髓，也是將理論知識轉化為實踐技能的橋梁。在眾多的數學思想方法中，轉化思想是我們解決問題時經常采用的一種方法，它也是一種最基本、最重要的思想方法，在中學數學學習中占有很重要的地位。數學學習中的轉化思想，就是要把新的知識轉化成已經學過的知識，把較為復雜的知識轉化為簡單的知識，從而解決問題。高考試題十分重視對于數學思想方法的考查，特別是突出考查能力的試題，其解答過程都蘊涵著重要的數學思想方法，其中“轉化思想”是中學數學思想方法的重要思想之一。

轉化思想的本質特征是知識和方法的遷移，轉化思想可以減化運算、開拓思路，它能給人帶來思維的閃光點，找到解決問題的突破口。新課標下高中數學銜接上呈現“起點高、難度大、容量多、課時緊”的特點，學生學習不適應現象突出，困難重重，師生更應該強化數學思想方法，重視思想方法的教學與應用，只有從思想方法入手，才能教會學生如何學習數學。下面就轉化思想在高中數學教學中的應用淺談幾點做法。

一、圓錐曲線中的轉化思想

圓錐曲線是解析幾何的核心內容，也是學習高等數學的基礎，當然也是高考命題的熱點——高考數學對圓錐曲線的考查比例通常遠遠超過了其他知識板塊。近年來圓錐曲線在高考中比較穩定，解答題往往以中檔題或以押軸題形式出現，主要考查學生邏輯推理能力、運算能力，考查學生綜合運用數學知識解決問題的能力。圓錐曲線主要以下三類題型。

1.求曲線（或軌跡）的方程，對于這類問題，高考常常不給出圖形或不給出坐標系，以考查學生理解解析幾何問題的基本思想方法和能力。

2.與圓錐曲線有關的最值問題、參數范圍問題，這類問題的綜合型較大，解題中需要根據具體問題，靈活運用解析幾何、平面幾何、函數、不等式、三角知識，正確地構造不等式或方程，體現了解析幾何與其他數學知識的聯系。

3.直線與圓錐曲線的綜合例如，在平面直角坐標系xOy中，橢圓的方程為■+y■=1，以O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為2ρcos（θ+■）=3■。求橢圓上點到直線距離的最大值和最小值。

解析：橢圓■+y■=1的參數方程為x=■cosθy=sinθ，（θ為參數），直線的普通方程為x-■y-3■=0，橢圓上點P（■cosθ，sinθ）到直線的距離d=■=■，轉化為三角函數求最值問題，最大值為2■，最小值為■。

圓錐曲線的選擇、填空題思路大多數是應用定義轉化。在拋物線中若條件是點到焦點距離，就要轉化成點到準線距離，而條件是點到準線距離，就要轉化成點到焦點距離；在橢圓或雙曲線中，點到左焦點的距離與點到右焦點的距離可以互化。當遇到橢圓內求最值問題時，也可利用橢圓的參數方程轉化為三角函數求最值問題。

二、導數中的轉化思想

高中數學的函數問題內容多而繁，性質復雜且比較抽象，因而很多學生對函數知識的考查極為畏懼，轉化是解決導數問題的重要策略，特別是對于難度比較大的導數問題，更加彰顯了轉化思想的強大功能。

例如，已知函數f（x）=x■■+alnx，（1）當a=-2時，求函數f（x）的單調區間和極值；（2）若g（x）=f（x）+■在[1，+∞）上是單調增函數，求實數a的取值范圍。解析：（2）導函數的正負決定了原函數的增減，若g（x）=f（x）+■在[1，+∞）上是單調增函數，則g'（x）=2x+■-■≥0在[1，+∞）上恒成立，即a≥■-2x■.通過構造新函數F（x）=■-2x■，求F（x）在x∈[1，+∞）上的最大值來確定實數a的取值范圍。

在導數習題中，“恒成立問題”與“存在問題”是兩類常見題型。a≥f（x）在定義域上恒成立，即a≥f（x）的最大值；a≤f（x）在定義域上恒成立，即a≤f（x）的最小值。若存在x0屬于定義域，a≥f（x0）成立，即a≥f（x）的最小值；若存在x0屬于定義域，a≤f（x0）成立，即a≤f（x）的最大值。將導數中的“恒成立問題”與“存在問題”轉化為求最值問題，避免對含參不等式的討論，簡化運算，是一種很實用的解題方法。

又如，已知f（x）是定義（-∞，+∞）在上的函數，導函數f'（x）滿足f'（x）

A.f（2）>e2f（0），f（2012）>e2012f（0）

B.f（2）e2012f（0）

C.f（2）>e2f（0），f（2012）

D.f（2）

解析：因為不等式f'（x）-f（x）<0，構造新函數F（x）=■。通過新函數在定義域上為減函數來比較大小。

當題目中出現與有關的式子且又無法判斷的正負時，需要變換條件形式構造新函數，讓新函數的導數符合題目中所給條件，通過新函數的單調性來解不等式或比較大小。

三、解三角形中的轉化思想

解三角形一直是高考數學中的熱點內容之一，對它的考查也是靈活多樣，但在近幾年的高考試題中，幾乎都可以運用正、余弦定理進行邊角互換，這不僅是高考的一個重點也是一個難點，更是轉化思想的靈活運用。

例如，ΔABC的三個內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，asinAsinB+bcos2A=■a，則■=

解析：利用正弦定理■=■=■=2R進行邊角互化，sinAsinAsinB+sinBcos■A=■sinA。

在解三角形的問題中，若條件出現邊a、b、c（或sinA、sinB、sinC）的關系時，只要等式兩邊a、b、c（或sinA、sinB、sinC）的次數相同，就可以通過正弦定理直接把a、b、c（或sinA、sinB、sinC）替換成sinA、sinB、sinC（或a、b、c）。若條件出現sinA、sinB、sinC時，可以通過余弦定理替換成邊a、b、c的關系。

俗話說：“授之以魚，不如授之以漁。”中學數學思想方法就是釣魚的桿，捕魚的網。在高中數學教學中，教師要引導學生將復雜的知識轉化為簡單的知識，將未知的知識轉化為已知的知識，不斷培養和訓練學生自覺的轉化意識，強化轉化思想在解題中的應用，提高學生在解決數學問題中的獨立思考能力、應變能力、思維能力和解題的技能、技巧。

（責編 田彩霞）

數學學習不僅要熟練掌握基礎知識，更要重視對數學思想方法的學習，數學思想方法是數學知識在更高層次上的抽象和概括，蘊涵在數學知識發生、發展和應用的過程中，能夠遷移并廣泛應用于相關學科和社會生活中。數學思想方法是數學的精髓，也是將理論知識轉化為實踐技能的橋梁。在眾多的數學思想方法中，轉化思想是我們解決問題時經常采用的一種方法，它也是一種最基本、最重要的思想方法，在中學數學學習中占有很重要的地位。數學學習中的轉化思想，就是要把新的知識轉化成已經學過的知識，把較為復雜的知識轉化為簡單的知識，從而解決問題。高考試題十分重視對于數學思想方法的考查，特別是突出考查能力的試題，其解答過程都蘊涵著重要的數學思想方法，其中“轉化思想”是中學數學思想方法的重要思想之一。

轉化思想的本質特征是知識和方法的遷移，轉化思想可以減化運算、開拓思路，它能給人帶來思維的閃光點，找到解決問題的突破口。新課標下高中數學銜接上呈現“起點高、難度大、容量多、課時緊”的特點，學生學習不適應現象突出，困難重重，師生更應該強化數學思想方法，重視思想方法的教學與應用，只有從思想方法入手，才能教會學生如何學習數學。下面就轉化思想在高中數學教學中的應用淺談幾點做法。

一、圓錐曲線中的轉化思想

圓錐曲線是解析幾何的核心內容，也是學習高等數學的基礎，當然也是高考命題的熱點——高考數學對圓錐曲線的考查比例通常遠遠超過了其他知識板塊。近年來圓錐曲線在高考中比較穩定，解答題往往以中檔題或以押軸題形式出現，主要考查學生邏輯推理能力、運算能力，考查學生綜合運用數學知識解決問題的能力。圓錐曲線主要以下三類題型。

1.求曲線（或軌跡）的方程，對于這類問題，高考常常不給出圖形或不給出坐標系，以考查學生理解解析幾何問題的基本思想方法和能力。

2.與圓錐曲線有關的最值問題、參數范圍問題，這類問題的綜合型較大，解題中需要根據具體問題，靈活運用解析幾何、平面幾何、函數、不等式、三角知識，正確地構造不等式或方程，體現了解析幾何與其他數學知識的聯系。

3.直線與圓錐曲線的綜合例如，在平面直角坐標系xOy中，橢圓的方程為■+y■=1，以O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為2ρcos（θ+■）=3■。求橢圓上點到直線距離的最大值和最小值。

解析：橢圓■+y■=1的參數方程為x=■cosθy=sinθ，（θ為參數），直線的普通方程為x-■y-3■=0，橢圓上點P（■cosθ，sinθ）到直線的距離d=■=■，轉化為三角函數求最值問題，最大值為2■，最小值為■。

圓錐曲線的選擇、填空題思路大多數是應用定義轉化。在拋物線中若條件是點到焦點距離，就要轉化成點到準線距離，而條件是點到準線距離，就要轉化成點到焦點距離；在橢圓或雙曲線中，點到左焦點的距離與點到右焦點的距離可以互化。當遇到橢圓內求最值問題時，也可利用橢圓的參數方程轉化為三角函數求最值問題。

二、導數中的轉化思想

高中數學的函數問題內容多而繁，性質復雜且比較抽象，因而很多學生對函數知識的考查極為畏懼，轉化是解決導數問題的重要策略，特別是對于難度比較大的導數問題，更加彰顯了轉化思想的強大功能。

例如，已知函數f（x）=x■■+alnx，（1）當a=-2時，求函數f（x）的單調區間和極值；（2）若g（x）=f（x）+■在[1，+∞）上是單調增函數，求實數a的取值范圍。解析：（2）導函數的正負決定了原函數的增減，若g（x）=f（x）+■在[1，+∞）上是單調增函數，則g'（x）=2x+■-■≥0在[1，+∞）上恒成立，即a≥■-2x■.通過構造新函數F（x）=■-2x■，求F（x）在x∈[1，+∞）上的最大值來確定實數a的取值范圍。

在導數習題中，“恒成立問題”與“存在問題”是兩類常見題型。a≥f（x）在定義域上恒成立，即a≥f（x）的最大值；a≤f（x）在定義域上恒成立，即a≤f（x）的最小值。若存在x0屬于定義域，a≥f（x0）成立，即a≥f（x）的最小值；若存在x0屬于定義域，a≤f（x0）成立，即a≤f（x）的最大值。將導數中的“恒成立問題”與“存在問題”轉化為求最值問題，避免對含參不等式的討論，簡化運算，是一種很實用的解題方法。

又如，已知f（x）是定義（-∞，+∞）在上的函數，導函數f'（x）滿足f'（x）

A.f（2）>e2f（0），f（2012）>e2012f（0）

B.f（2）e2012f（0）

C.f（2）>e2f（0），f（2012）

D.f（2）

解析：因為不等式f'（x）-f（x）<0，構造新函數F（x）=■。通過新函數在定義域上為減函數來比較大小。

當題目中出現與有關的式子且又無法判斷的正負時，需要變換條件形式構造新函數，讓新函數的導數符合題目中所給條件，通過新函數的單調性來解不等式或比較大小。

三、解三角形中的轉化思想

解三角形一直是高考數學中的熱點內容之一，對它的考查也是靈活多樣，但在近幾年的高考試題中，幾乎都可以運用正、余弦定理進行邊角互換，這不僅是高考的一個重點也是一個難點，更是轉化思想的靈活運用。

例如，ΔABC的三個內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，asinAsinB+bcos2A=■a，則■=

解析：利用正弦定理■=■=■=2R進行邊角互化，sinAsinAsinB+sinBcos■A=■sinA。

在解三角形的問題中，若條件出現邊a、b、c（或sinA、sinB、sinC）的關系時，只要等式兩邊a、b、c（或sinA、sinB、sinC）的次數相同，就可以通過正弦定理直接把a、b、c（或sinA、sinB、sinC）替換成sinA、sinB、sinC（或a、b、c）。若條件出現sinA、sinB、sinC時，可以通過余弦定理替換成邊a、b、c的關系。

俗話說：“授之以魚，不如授之以漁。”中學數學思想方法就是釣魚的桿，捕魚的網。在高中數學教學中，教師要引導學生將復雜的知識轉化為簡單的知識，將未知的知識轉化為已知的知識，不斷培養和訓練學生自覺的轉化意識，強化轉化思想在解題中的應用，提高學生在解決數學問題中的獨立思考能力、應變能力、思維能力和解題的技能、技巧。

（責編 田彩霞）