近兩年高考數(shù)學(xué)（廣東卷）數(shù)列題巧解

劉品德

數(shù)列是一類定義在正整數(shù)集或它的有限子集{1，2，3，…，n}上的特殊函數(shù)，可見(jiàn)，任何數(shù)列問(wèn)題都蘊(yùn)含著函數(shù)的本質(zhì)及意義，具有函數(shù)的一些固有特征.新課程下高考（廣東卷）更加突出數(shù)列是特殊函數(shù)的本質(zhì)考查，在解答這類題時(shí)架起函數(shù)與數(shù)列之間的橋梁，揭示它們間的內(nèi)在聯(lián)系，就能輕松作答.本文以近兩年高考（廣東卷）的數(shù)列題為例，先對(duì)試題作出分析，再介紹其巧解方法.

一、高考真題

例1（2013廣東，理19）設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.已知a1=1，=an+1-n2-n-， n∈N？鄢.（1）求a2的值；（2）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（3）證明：對(duì)一切正整數(shù)n，有++…+<.

例2（2014廣東，理19）設(shè)數(shù)列{an}的前項(xiàng)n和為Sn，滿足Sn=2nan+1-3n2-4n，n∈N？鄢，且S3=15.（1）求a1，a2，a3的值；（2）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

二、試題分析

近年廣東高考數(shù)列解答題，常與不等式證明結(jié)合作為壓軸題的形式出現(xiàn)，這類問(wèn)題既需要證明不等式的基本思想和方法，又要結(jié)合數(shù)列本身的結(jié)構(gòu)和特點(diǎn)，有著較強(qiáng)的技巧性，能綜合考查考生的邏輯思維能力以及分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.因此有關(guān)數(shù)列不等式的證明是一個(gè)常考不衰的題型，用“放縮法”證明數(shù)列不等式更是歷年高考命題的熱點(diǎn)，對(duì)“放縮法”的巧妙運(yùn)用往往能體現(xiàn)出創(chuàng)造性，可以化繁為簡(jiǎn)、化難為易，達(dá)到事半功倍的效果.但2014年就一改常態(tài)，不考不等式證明，考?xì)w納推理、數(shù)學(xué)歸納法，這讓很多考生不適應(yīng)，完全在意料之外，整個(gè)題切入似乎比較難，導(dǎo)致廣東今年數(shù)學(xué)高考成績(jī)的平均分比去年低10多分.

兩道題的常見(jiàn)解法：

例題1解答一：

（1） 解：∵ =an+1-n2-n-， n∈N？鄢.

∴當(dāng)n=1時(shí)，2a1=2S1=a2--1-=a2-2

又∵ a1=1

∴ a2=4

（2）解：∵ =an+1-n2-n-， n∈N？鄢.

∴ 2Sn=nan+1-n3-n2-n=nan+1- ①

∴ 當(dāng)n≥2時(shí)，2Sn-1=（n-1）an- ②

由①-②，得2Sn-2Sn-1=nan+1-（n-1）an-n（n+1）

∵ 2an=2Sn-2Sn-1

∴ 2an=nan+1-（n-1）an-n（n+1）

∴ -=1

∴ 數(shù)列是首項(xiàng)為=1，公差為1的等差數(shù)列.

∴ =1+1×（n-1）=n，∴ an=n2（n≥2）

當(dāng)n=1時(shí)，上式顯然成立.

∴ an=n2，n∈N？鄢.

（3）證明：由（2）知，an=n2，n∈N？鄢

① 當(dāng)n=1時(shí)，=1<，原不等式成立.

② 當(dāng)n=2時(shí)， +=1+<，原不等式亦成立.

③ 當(dāng)n≥3時(shí)， ∵ n2>（n-1）·（n+1），∴ <

∴ ++…+=++…+<1+++…++

=1+（-）+（-）+（-）+…+（-）+（-）

=1+（-+-+-+…+-+-）

=1+（+--）=+（--）<

當(dāng)n≥3時(shí)，原不等式亦成立.

綜上所述，對(duì)一切正整數(shù)n，有++…+<.

例題2解答一：

解：⑴由題意得：S2=4a3-20，S3=S2+a3=5a3-20

又S3=15

∴ a3=7，S2=4a3-20=8

又S2=S1+a2=（2a2-7）+a2=3a2-7

∴ a2=5，a1=S1=2a2-7=3

綜上知a1=3，a2=5，a3=7.

（2）由（1）猜想an=2n+1，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明.

① 當(dāng)n=1時(shí)，結(jié)論顯然成立.

② 假設(shè)當(dāng)n=k（k≥1）時(shí)，ak=2k+1

則Sk=3+5+7+（2k+1）=×k=k（k+2）

又Sk=2kak+1-3k2-4k

∴ k（k+2）=2kak+1-3k2-4k，解得2ak+1=4k+6

∴ ak+1=2（k+1）+1

即當(dāng)n=k+1時(shí)，結(jié)論成立.

由①②知，？坌n∈N？鄢，an=2n+1.

三、試題評(píng)價(jià)

從試題的設(shè)計(jì)來(lái)看，第一道數(shù)列試題充分體現(xiàn)了考基礎(chǔ)、考能力、考素質(zhì)、考潛能和以考生發(fā)展為本的考試目標(biāo).試題的第（1）問(wèn)比較常規(guī)，屬于送分題，學(xué)生比較容易上手，以增加學(xué)生解決綜合題和戰(zhàn)勝困難的信心；第（2）問(wèn)利用遞推關(guān)系求數(shù)列通項(xiàng)公式，這應(yīng)該是學(xué)生比較熟悉的，這樣可以讓他們能夠心平氣和地思考問(wèn)題，但在思維的層次上和運(yùn)算能力上作了一個(gè)適當(dāng)?shù)奶嵘?，?duì)中等偏下的學(xué)生設(shè)置了障礙；第（3）問(wèn)是為一些優(yōu)秀學(xué)生提供了充分展示自己智力的平臺(tái)，讓這些學(xué)生能夠脫穎而出.這樣，逐步增加試題思維的難度，達(dá)到通過(guò)數(shù)列壓軸題增加試卷區(qū)分度的目的，對(duì)今后中學(xué)數(shù)學(xué)教育改革有良好的推動(dòng)與導(dǎo)向作用.第二道數(shù)列題，第（1）問(wèn)求數(shù)列的前三項(xiàng)，通過(guò)解方程組可以求出；第（2）問(wèn)不少考生還是試圖通過(guò)公式an=Sn-Sn-1（n≥2）去求，也是平時(shí)備考復(fù)習(xí)做得比較多的題型，發(fā)現(xiàn)做不下去，很少考生能發(fā)現(xiàn)第（1）問(wèn)的提示作用，利用歸納推理，先猜后證，再用數(shù)學(xué)歸納法證明，這也與平時(shí)教學(xué)有關(guān). 從評(píng)卷情況來(lái)看，數(shù)列解答題雖然一看題目似乎是可以用“通性通法”求解，但很多考生的思維定勢(shì)比較明顯，不能做到靈活變通，導(dǎo)致對(duì)數(shù)列題的解答“會(huì)而不對(duì)”.

四、試題巧解

筆者深入分析這兩道題發(fā)現(xiàn)：事實(shí)上都是考查數(shù)列是特殊函數(shù)的本質(zhì)，也就說(shuō)可以從函數(shù)的角度來(lái)分析作答，如果能夠先求出函數(shù)Sn = f（n）（n∈N？鄢）的表達(dá)式，再由公式an=Sn-Sn-1（n≥2）去求an就是水到渠成的事了.

下面根據(jù)題目條件的特點(diǎn)，用待定系數(shù)先求Sn再求an.

例題1解答二：

（1）解略.

（2）解：由題意可設(shè)Sn=an3+bn2+cn+d（a≠0）

則an+1=Sn+1-Sn=[a（n+1）3+b（n+1）2+c（n+1）+d]-（an3+bn2+cn+d）

=3an2+（3a+2b）n+a+b+c

由條件=an+1-n2-n-，即2Sn=nan+1-n3-n2-n

可得：2an3+2bn2+2cn+2d=（3a-）n3+（3a+2b-1）n2+（a+b+c-）n對(duì)？坌n∈N？鄢成立.

∴ 2a=3a-，2b=3a+2b-1，2c=a+b+c-，d=0.又a1=S1=a+b+c+d=1，解得a=，b=，c=，d=0.

∴ Sn=n3+n2+n，n∈N？鄢

當(dāng)n≥2時(shí)

an=Sn-Sn-1=（n3+n2+n）-[（n-1）3+（n-1）2+（n-1）]=n2

∴ an=n2，n∈N？鄢.

（3）解略.

例題2解答二：

（1）解略

（2）解：由題意可設(shè)Sn=an2+bn+c（a≠0）

則an+1=Sn+1-Sn=[a（n+1）2+b（n+1）+c]-（an2+bn+c）=2an+a+b

由條件Sn=2nan+1-3n2-4n，可得an2+bn+c=（4a-3）n2+2（a+b-2）n對(duì)？坌n∈N？鄢成立

∴ 4a-3=a，2a+2b-4=b，c=0，解得 a=1，b=2，c=0，

∴ Sn=n2+2n，n∈N？鄢

當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=（n2+2n）-[（n-1）2-2（n-1）]=2n-1

當(dāng)n=1時(shí)，上式顯然成立.

∴ an=2n-1，n∈N？鄢.

以上介紹的待定系數(shù)法求Sn，揭示數(shù)列是特殊函數(shù)的本質(zhì)，思路清晰，真正體現(xiàn)“數(shù)學(xué)是自然的”，達(dá)到化繁為簡(jiǎn)、化難為易的效果.

五、教學(xué)啟示

今年高考數(shù)學(xué)（廣東卷），考生普遍反映后幾道大題難度有些大.從閱卷反饋情況來(lái)看：無(wú)法動(dòng)筆的空白卷很少，但得分卻不夠理想.也就是說(shuō)，人人都能動(dòng)筆解答，卻很少考生全做對(duì)，大多是只做了第一問(wèn)，第二問(wèn)就空白了，不知道循著題意“搶分”，這也給我們的教學(xué)帶來(lái)一些啟示.

（1）構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，基于知識(shí)形成過(guò)程理解知識(shí)

這兩道題涉及的知識(shí)點(diǎn)比較基礎(chǔ)，考查函數(shù)方程、不等式、歸納推理、數(shù)學(xué)歸納法、待定系數(shù)法、放縮法等，涉及函數(shù)與方程思想，轉(zhuǎn)化與化歸思想，數(shù)形結(jié)合思想等，無(wú)論是知識(shí)點(diǎn)還是數(shù)學(xué)思想方法都是課標(biāo)中要求的最基本和應(yīng)該掌握的重要內(nèi)容.但測(cè)試效果并不如意，這說(shuō)明平時(shí)的教學(xué)光死記硬背是不行的，應(yīng)該讓學(xué)生構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，把握知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，講清知識(shí)的來(lái)龍去脈，讓學(xué)生基于知識(shí)形成過(guò)程去理解知識(shí)，這樣學(xué)生才能學(xué)得“活”.

（2）注重教材例習(xí)題的再創(chuàng)造，回歸課本探源

課程改革非常反對(duì)題海戰(zhàn)術(shù)，而強(qiáng)調(diào)對(duì)教材資源的開(kāi)發(fā)和利用.教材中的例習(xí)題都是經(jīng)典題目，能反映本節(jié)重點(diǎn)知識(shí)及知識(shí)的運(yùn)用過(guò)程，這也是高考題的主要素材來(lái)源.如果教師平時(shí)注重對(duì)教材的發(fā)掘和再創(chuàng)造，不僅對(duì)高考題目命制的出發(fā)點(diǎn)有所了解，自身的教學(xué)教研能力也會(huì)得到很大的提升.如前文例題2，應(yīng)用待定系數(shù)法解答會(huì)顯得比較容易，簡(jiǎn)直不敢相信高考題竟會(huì)如此常規(guī)，但幾乎沒(méi)有考生這樣去解答.

（3）注重?cái)?shù)學(xué)本質(zhì)的理解，培養(yǎng)靈活變通能力

在高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)備考中，教師注重方法、題型、規(guī)律的總結(jié)，讓學(xué)生記題型、背套路，類似于英語(yǔ)作文中的“模版”，缺乏對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的提示，題目稍作變式學(xué)生就不適應(yīng).因此，教師在總結(jié)解題方法時(shí)，不應(yīng)該流于題目的形式，更應(yīng)該針對(duì)題目的內(nèi)涵，從考察的知識(shí)點(diǎn)、隱含的數(shù)學(xué)思想等方面加以拓展，才能讓學(xué)生對(duì)問(wèn)題的本質(zhì)有所了解，從而對(duì)不同的題目采用切實(shí)高效的解答策略.如本文的兩道數(shù)例題，只記公式an=Sn-Sn-1（n≥2）的慣性思維，而在平時(shí)不注意歸納、猜想思維的培養(yǎng)，學(xué)生就不會(huì)想到用數(shù)學(xué)歸納法去解答. 如果在學(xué)習(xí)等差數(shù)列前n和時(shí)理解待定系數(shù)法，學(xué)生就能夠想到求出函數(shù)Sn = f（n）（n∈N？鄢）的表達(dá)式，再求an，就有助于對(duì)數(shù)列本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，進(jìn)而克服思維定勢(shì)的負(fù)面影響.

責(zé)任編輯 羅 峰