等腰三角形一個性質的證明及其應用

周衛國

等腰三角形底邊上任意一點到兩腰的距離之和等于一腰上的高是由等腰三角形定義導出的一個重要性質，它的證明方法包括截長補短法和面積法.本文就這個性質的證明及應用略談淺見.

等腰三角形是一種特殊的三角形，因此它具備一般三角形不具備的特殊性質，譬如等腰三角形最典型的一個特性，就是在這個三角形中有兩條邊相等.我們運用等腰三角形的這個特性可以進一步研究探討，從而得到如下一個性質.

一、性質

等[WTBX]腰三角形底邊上任意一點到兩腰的距離之和等于一腰上的高.

三、性質的兩個推論

推論1：等腰三角形底邊延長線上的一點到兩腰的距離之差等于一腰上的高.

推論2：等邊三角形內任意一點到三邊的距離之和等于一邊上的高.

上述兩結論的證明仍然可以用上面的面積法證明，這里略去證明過程.

四、性質的應用

對于等腰三角形的這個性質和推論，在解決某些填空或選擇題是可以直接應用，在解決某些解答題時需要先進行性質的證明.

分析：根據矩形的性質可知△AOD是等腰三角形，所以本題即求其底邊上任意一點到兩腰的距離之和，結合原始結論知這里的EG+EH就等于Rt△ADC中AC邊上的高，由此可以迅速得到本題的答案是2.4.

應用2：如圖3，在正方形ABCD的對角線BD上取BE=BC，連接CE，P是CE上任意一點，PQ⊥BC，PR⊥BD，Q、R是垂足.求證：PQ+PR=12BD.

分析：本題初次入手感覺很困難，但如果根據BE=BC，可知△BEC是等腰三角形，因為PQ⊥BC，PR⊥BD，則PQ+PR即為底邊上任意一點到兩腰的距離之和，結合性質可以知道PQ+PR=CO，而CO又是等腰直角△BCD斜邊上的高，所以CO=12BD，由此PQ+PR=12BD得證.

五、反思

教者在教學過程中，通過對上述問題的研究，充分挖掘基本圖形的性質，發揮習題功能，深入剖析，引導學生探究發現相關重要結論，為解決其他問題提供思路，找到解決問題的突破口.作為教者要不斷給學生提供創造性因素，開展嘗試和探究，經歷“再發現，再創造”的過程，這樣才能有利于發展和提高學生的解題能力及觸類旁通的能力.

[南京師范大學附屬中學江寧分校（211102） ]