填空題的解題策略

唐榕

填空題是一種只要求寫出結果，不要求寫出解答過程的客觀性試題，是高考數學中的三種常考題型之一，填空題類型一般分為：完形填空題、多選填空題、條件與結論開放的填空題，絕大多數數學填空題是計算型（尤其是推理計算型）和概念（性質）判斷型的試題，應答時必須按規則進行切實的計算或合乎邏輯的推演和判斷，求解填空題的基本策略是要在“準”、“巧”“快”上下功夫.

一、填空題的特點

填空題缺少選擇性的信息，故解答題的求解思路可以原封不動地移植到填空題上，但填空題既不用說明理由，又無需書寫過程、因而解選擇題的有關策略、方法有時也適用于填空題，填空題大多能在課本中找到原型和背景，故可以化歸為我們熟悉的題目或基本題型、填空題不需寫過程，不設中間分，更易失分，因而在解答過程中應力求準確無誤，填空題題小、跨度大，覆蓋面廣，形式靈活，可以有目的、和諧地結合一些問題，突出訓練學生的準確、嚴謹、全面、靈活運用知識的能力和基本運算能力，突出以圖助算、列表分析、精確與粗算相結合等計算能力，要想又快又好地答好填空題，除直接推理計算外，還要講究一些解題策略，盡量避開常規解法.

二、填空題的類型

根據填空時所填寫的內容形式，可以將填空題分成兩種類型：

1. 定量型.要求考生填寫數值、數集或數量關系；如，方程的解、不等式的解集、函數的定義域、值域、最大值或最小值、線段的長度、角度的大小等等；由于填空題和選擇題相比，缺少選擇性的信息，所以高考中多數是以定量型問題出現.

2.定性型.要求填寫的是具有某種性質的對象或者填寫給定的數學對象的某種性質.如，給定二次曲線的準線方程、焦點坐標、離心率等等，近幾年出現了定性型的具有多重選擇性的填空題.

三、填空題解題的原則及方法

解答填空題時，由于不反映過程，只要求結果，故對正確性的要求比解答題更高，更嚴格，《考試說明》中對解答填空題提出的基本要求是“正確、合理、迅速”，為此在解填空題時要做到：快——運算要快，力戒小題大作；穩——變形要穩，不可操之過急；全——答案要全，力避殘缺不齊；活——解題要活，不要生搬硬套；細——審題要細，不能粗心大意.

常用的方法有直接法、特殊化法、數形結合法、等價轉化法、構造法、特征分析法、創新型的填空題解法等.

四、范例分析

1 .直接法

這是解填空題的基本方法，它是直接從題設條件出發，利用定義、定理、性質、公式等知識，通過變形、推理、運算等過程，直接得到結果.

2.特殊化法

當填空題已知條件中含有某些不確定的量，但填空題的結論唯一或題設條件中提供的信息暗示答案是一個定值時，可以將題中變化不定量選取一些符合條件的恰當特殊值（或特殊函數、特殊角、特殊數列、特殊點、圖形特殊位置、特殊方程、特殊模型等）進行處理，從而得出探求的結論，這樣可以大大地簡化推理、論證的過程.

對于一些含有幾何背景的填空題，若能根據題目條件的特點，作出符合題意的圖形，做到數中思形，以形助數，并通過對圖形的直觀分析、判斷，則往往可以簡捷地得出正確的結果，數形結合，能使抽象的數學問題轉化成直觀的圖形，使抽象思維和形象思維結合起來，這種思想是近年來高考熱點之一，也是解決數學填空題的一種重要策略.

4.等價轉化法

通過“化復雜為簡單，化陌生為熟悉”，將問題等價轉化成便于解決的問題，從現時得出正確的結果.

例4.如果關于 的方程 的正實數解有且僅有一個，則實數 的取值范圍是________________；

解：方程 可化成 ，令 ，即方程 在 上有且只有一解，因而作出函數 ，使得 與 圖象有且僅有一個交點，由 得 ，可知函數在 為增函數，在 為減函數，作出圖象易得 或

5.構造法

根據題設條件與結論的特殊性，構造出一些新的數學形式，并借助于它認識和解決問題的一種方法.

例5.已知函數 是定義在R上的奇函數， 有 成立， ，則不等式 的解集為_____________；

解：因為 ，構造函數 ，因為 ，所以 在 上為偶函數，

由于 時有 ，即 在 為減函數，所以 在 為增函數，由 得： ，不等式 即是 ，也就是 ，所以所求解集是

6. 特征分析法

根據題設條件的特征進行觀察、分析，從而得出正確的結論.

例6.如果函數 ，

則 =_______；

解：易求 ，分別對 賦值為1，2，3，4即可得結果為 .

7. 幾種創新題型

例7.教師給出一個函數 ，四個學生甲、乙、丙、丁各指出這個函數的性質：甲：對于 ，都有 ；乙：在 為單調減函數；丙：在 為單調增函數；丁： 不是函數的最小值，如果其中恰有三個說得正確，請寫出一個這樣的函數___________；

解：比如 ；

例8.定義一種運算“ ”，對于正整數 滿足以下運算性質： ，則 用 的代數式表示為__________；

解：記 則 ， 即

[江西省樟樹市樟樹中學 （331200）]