一類解析函數鄰域的性質

李霞

摘 要： 本文利用Salagean算子定義了一類在單位圓盤上解析的缺項負系數的函數族T（j）的兩個子族：T■（n，m，a）與L■（n，α，β，γ），研究了這兩個子族的鄰域的性質，在一定程度上推廣和優化了之前學者的相關結論.

關鍵詞： 解析函數 鄰域 Salagean算子

1.引言

設A為在單位圓盤△={z：z∈C，|z|<1}內解析的解析函數族，記

T（j）={f∈A：f（z）=z-■a■z■；a■≥0，j∈N}，

對于T（j）中的函數f（z），定義f（z）的（j，δ）鄰域：

N■（f）={g∈T（j）：g（z）=z-■b■z■，{■k|a■-b■|■}■≤δ，p≥1，j∈N}，

特別地，對于e（z）=z∈T（j），

N■（e）={g∈T（j）：g（z）=z-■b■z■，{■k|b■|■}■≤δ，p≥1，j∈N}，

對于f（z）∈T（j），Salagean[1]定義了Salagean算子：D■（z）= f（z），D1（z）=zf′（z），...，D■f（z）=D（D■（f（z））），（n∈N）由此可得：D■f（z）=z-■k■a■z■，（n∈N∪{0}）.

S■（α）表示α（0≤α<1）階星型函數作成的類，f∈S■（α）當且僅當Re{■}>α；

K（α）表示a（0≤α<1）階凸函數作成的類，f∈K（α）當且僅當Re{1+■}>α.

S■■（α）={f：f∈S■（α）且f∈T（j）}；K■（α）={f：f∈K（α）且f∈T（j）}.

本文將主要研究函數族T（j）的兩個子族：T■（n，m，α）與L■（n，α，β，γ）及其鄰域間的關系，在一定程度上推廣和優化了之前學者的相關結論.

2.T■（n，m，α）的鄰域

定義T■（n，m，α）={f∈T（j）：Re■>α，n，m∈N∪{0}，0≤α<1，z∈△}

注意到T■（0，1，α）=S■■（α），T■（1，1，α）=K■（α）；T■（0，1，α）=S■（α），T■（1，1，α）=K（α）.

對于函數族T■（n，m，α），我們需要由Sekine給出下列引理：

引理2.1[2] f（z）∈T■（n，m，α）當且僅當■k■（k■-α）α■≤1-α，其中n，m∈N∪{0}，0≤α<1，結果是精確的.

定理2.2 設j∈N，n，m∈N∪{0}，0≤α<1，則T■（n，m，α）？奐N■（e），其中δ={■}■，（p≥1）.

證明：若f（z）∈T■（n，m，α），且f（z）=z-■a■z■（a■≥0），

則由引理2.1得■k■a■≤1-α，

所以（j+1）■[（j+1）■-α]■a■≤1-α且（j+1）■[（j+1）■-α]■ka■≤1-α，

于是■a■≤■<1且■ka■≤■，

又因為p≥1，且注意到0≤a■<1，所以■ka■■≤■ka■≤■，

所以{■ka■■}■≤{■}■=δ，從而f（z）∈N■（e），

所以T■（n，m，α）？奐N■（e）.

在定理2.2中取p=1，即得Aouf■研究所得結論；在定理2.2中取j=1，即得下面推論.

推論2.3 設n，m∈N∪{0}，0≤α<1，則T■（n，m，α）？奐N■（e），其中

δ={■}■，（p≥1）.

當p=1，n=0，m=1時，定理2.2與推論2.3即為Alt intas與Owa[4]研究所得結果.

當p=1，n=1，m=1時，定理2.2與推論2.3即為Alt intas與Owa[4]研究所得結果.

在定理中取n=0，m=1，即得下面推論2.4.

推論2.4 設0≤α<1，則S■■（α）？奐N■（e），其中δ={■}■，（p≥1）.

在定理中取n=1，m=1，即得下面推論2.5.

推論2.5 設0≤α<1，則K■（α）？奐N■（e），其中δ={■}■，（p≥1）.

3.L■（n，α，β，γ）的鄰域

定義L■（n，α，β，γ）

{f∈T（j）∶|■|<β，n∈N∪{0}，z∈Δ，0≤α≤1，0<β≤1，0≤γ<1}.

定理3.1 設j∈N，n∈N∪{0}，0≤α≤1，0<β≤1，0≤γ<1，則f（z）∈L■（n，α，β，γ）當且僅當（1+αβ）■k■a■≤β（1+α-γ）.

證明：（必要性）若f（z）∈L■（n，α，β，γ），且f（z）=z-■a■z■（a■≥0），則

|■|=|■|<β，（z∈Δ）（3.1）

當z為實數時，■為實數；當z從實軸上趨于1■時，得

■k■a■≤β（1+α-γ）-α■k■a■，即（1+αβ）■k■a■≤β（1+α-γ）.

（充分性）若（1+αβ）■k■a■≤β（1+α-γ），則|■| =|■|≤■<■<β（|z|<1）

因此f（z）∈L■（n，α，β，γ）.

取f（z）=z-■z■∈T（j）（k≥j+1），則在（3.1）式中等號成立，由此可知結果是精確的.

定理3.2 設j∈N，n∈N∪{0}，0≤α≤1，0<β≤1，0≤γ<1，則

L■（n，α，β，γ）？奐N■（e），其中δ={■}■，（0≥1）.

證明：若f（z）∈L■（n，α，β，γ），且f（z）=z-■a■z■（a■≥0），則由定理3.1得

（1+αβ）■k■a■≤β（1+α-γ），所以（1+αβ）（j+1）■■a■≤β（1+α-γ）且endprint

（1+αβ）（j+1）■■ka■≤β（1+α-γ），即

■a■≤■<1且■ka■≤■，又因為p≥1，0≤a■<1，所以

■ka■■≤■ka■≤■，故（■ka■）■≤（■）■=δ，從而f（z）∈N■（e），所以L■（n，α，β，γ）？奐N■（e）.

在定理3.2中取j=1，即得下面推論.

推論3.3 設n∈N∪{0}，0≤α≤1，0<β≤1，0≤γ<1，則

L■（n，α，β，γ）？奐N■（e），其中δ={■}■，（p≥1）.

參考文獻：

[1]G.S.， Subclass of univalent functions，Complexity and starlikeness for certain classes of analytic functions with negative coefficients.I，Atti della Accademia Nazionale dei Lincei 65（1978），no.1-2， 38-42（1979）.

[2]T.Sekine， Generalization of certain subclasses of analytic functions， International Journel of Mathematics and Mathematical Sciences 10（1987）， no.4， 725-732.

[3]M.K.Aouf，Neighbourhoods of certain classes of analytic functions with negative coefficients，International Journel of Mathematics and Mathematical Sciences 10（2006），1-6.

[4]O.Altintas and S.Owa，Neighborhoods of certain analytic functions with negative coefficients，International Journel of Mathematical Sciences 19 （1996），no.4，797-800.endprint

（1+αβ）（j+1）■■ka■≤β（1+α-γ），即

■a■≤■<1且■ka■≤■，又因為p≥1，0≤a■<1，所以

■ka■■≤■ka■≤■，故（■ka■）■≤（■）■=δ，從而f（z）∈N■（e），所以L■（n，α，β，γ）？奐N■（e）.

在定理3.2中取j=1，即得下面推論.

推論3.3 設n∈N∪{0}，0≤α≤1，0<β≤1，0≤γ<1，則

L■（n，α，β，γ）？奐N■（e），其中δ={■}■，（p≥1）.

參考文獻：

[1]G.S.， Subclass of univalent functions，Complexity and starlikeness for certain classes of analytic functions with negative coefficients.I，Atti della Accademia Nazionale dei Lincei 65（1978），no.1-2， 38-42（1979）.

[2]T.Sekine， Generalization of certain subclasses of analytic functions， International Journel of Mathematics and Mathematical Sciences 10（1987）， no.4， 725-732.

[3]M.K.Aouf，Neighbourhoods of certain classes of analytic functions with negative coefficients，International Journel of Mathematics and Mathematical Sciences 10（2006），1-6.

[4]O.Altintas and S.Owa，Neighborhoods of certain analytic functions with negative coefficients，International Journel of Mathematical Sciences 19 （1996），no.4，797-800.endprint

（1+αβ）（j+1）■■ka■≤β（1+α-γ），即

■a■≤■<1且■ka■≤■，又因為p≥1，0≤a■<1，所以

■ka■■≤■ka■≤■，故（■ka■）■≤（■）■=δ，從而f（z）∈N■（e），所以L■（n，α，β，γ）？奐N■（e）.

在定理3.2中取j=1，即得下面推論.

推論3.3 設n∈N∪{0}，0≤α≤1，0<β≤1，0≤γ<1，則

L■（n，α，β，γ）？奐N■（e），其中δ={■}■，（p≥1）.

參考文獻：

[1]G.S.， Subclass of univalent functions，Complexity and starlikeness for certain classes of analytic functions with negative coefficients.I，Atti della Accademia Nazionale dei Lincei 65（1978），no.1-2， 38-42（1979）.

[2]T.Sekine， Generalization of certain subclasses of analytic functions， International Journel of Mathematics and Mathematical Sciences 10（1987）， no.4， 725-732.

[3]M.K.Aouf，Neighbourhoods of certain classes of analytic functions with negative coefficients，International Journel of Mathematics and Mathematical Sciences 10（2006），1-6.

[4]O.Altintas and S.Owa，Neighborhoods of certain analytic functions with negative coefficients，International Journel of Mathematical Sciences 19 （1996），no.4，797-800.endprint