淺談《數學分析》教學中的證偽

李寶德

摘 要： 在《數學分析》的教學中應以培養學生證實的思維訓練為主，但培養學生證偽的思維訓練也是有益的補充.通過反例證偽，可以使學生澄清對某些概念和性質的模糊認識，加深對命題成立條件的認識，克服對數學知識理解的偏差和負遷移.在引導學生證偽的過程中，在合理創設問題情境中自由發揮想象，構造反例證偽，可以很好地培養學生思維的縝密性、發散性、靈活性、深刻性和創新性，從而激發起他們學習數學的興趣和刻苦鉆研數學問題的熱情和毅力.

關鍵詞： 數學分析教學 極限 證偽

引言

生活中的實際問題需要人們通過判斷真假然后做出選擇.同樣的，一個問題建立數學模型時，也需要我們不斷地證實與證偽，去偽存真，然后得出正確的結論.《數學分析》作為教材，陳述概念的背景、內容，并進一步給出它的性質、定理和例題，以論述正確結論為主，即以證實為主.從形式上看，學生會以為數學就是不斷地證實的過程.實則不然，一個數學問題的解決過程是被分解為許多真假未知的命題，即需要證實確認真命題，也需要證偽否定假命題，最終才能得出正確的結論.在教學過程中，引導學生發現問題，分析問題，大膽假設，小心求證，或嚴格地證明一個真命題，或舉出一個反例推翻一個偽命題.

1.注重證偽，揭示概念的本質

《數學分析》中的概念都是用抽象的語言給予形式化的描述，學生在初學這些概念時常常不能抓住它的本質屬性，只是機械地記憶概念名稱及定義，容易造成理解上的混亂.所以在教學過程中，不僅要從正面引導學生準確把握這些概念的外延和內涵，概念與概念之間的聯系，以及概念的正確應用，而且為了準確地把握概念，彌補正面教學的不足，對概念中容易引出的錯誤命題也可以通過證偽加以否定.

例如：在介紹無窮大量時，學生容易把它和無界量混淆在一起，盡管老師正面強調了兩者在定義上的不同，即對無窮大量■f（x）要求對任意的正數M，都存在領域U（a，δ），使得對任意的x∈U（a，δ），都有|f（x）|>M.而對U（a，δ）上的無界量f（x），是指對任意的正數M，都存在x■∈U（a，δ），使得|f（x■）|>M[1].但學生對這兩個概念的理解還是比較淺顯，直覺上認為無界量就是無窮大量.那就不妨對命題“無界量是無窮大量”引導學生構造出一個反例來證偽.從簡單的無窮大量開始探索：如f（x）=1/x在x→0時是最典型的無窮大量，f（x）=1/x也是U（0，δ）內的無界量，而根據無界量的定義，對任意M>0，在U（0，δ）中只需存在某個點，使得|f（x）|在此點處的值大于M即可，所以在f（x）=1/x的旁邊可以乘一個隨x→0時函數值在0與非0值之間不斷發生周期變化的函數，使得1/x乘以一個這樣的輔助函數后在U（0，δ）中仍為無界變量，但在0點任意鄰域中的函數值都有0點而成為非無窮大量.通過這樣的啟發，學生自然會想到有周期性及有界性的三角函數sin1/x是最符合要求的輔助函數，從而構造出函數1/xsin1/x即是我們要找的U（0，δ）中的無界量，卻不是x→0時的無窮大量.在證偽的過程中，引導學生從簡化的問題入手，針對無界量與無窮大量中關于定義中自變量的存在性與任意性的差別及三角函數的周期性，分析構造出所需的反例，不僅讓學生深刻地理解了概念“無窮大量”與“無界量”的區別，而且讓學生體會到了分析中邏輯的力量和創新的快樂.

2.注重證偽，防止知識負遷移

《數學分析》中的很多知識點的理念是相通的，通過知識的正遷移會讓學生的學習過程事半功倍，觸類旁通.但某些知識容易使學生產生知識的負遷移，導出錯誤的認識.我們可以通過證偽糾正一些感性認識上容易產生知識負遷移的錯誤理解.

例如：函數f在閉區間[a，b]上連續，則f在[a，b]上一定有界.對于這個定理，學生容易產生知識的負遷移：若函數f在（a，b）上連續，則f在（a，b）上也一定有界.即定理的條件中去掉了函數在點a的右連續條件和在點b的左連續性，結論似乎仍然成立.那么，教師就可以引導學生舉出反例推翻這個偽命題.首先注意到函數失去了端點的連續性，那反例就應該從尋找端點不連續且無界的函數中尋找突破口，從而啟發學生想到端點為無窮間斷點的函數，即f（x）=1/x，x∈（0，1）或f（x）=lnx，x∈（0，1）等函數在（0，1）上連續卻是無界的.這樣在證偽的過程中，不僅幫助學生加深對閉區間上函數的有界性定理和函數間斷點概念的深入理解，而且啟發學生用科學的思維方式判斷命題的真偽，防止感性認識造成知識的負遷移.

3.注重證偽，培養學生思維的靈活性和深刻性

《數學分析》中要做好數學思維的邏輯演繹訓練，大量的數學命題的證明是必不可少的.在講授習題的過程中，引導學生大膽靈活假設各種求證方法，培養學生思維的靈活性.如著名的康托爾定理：若函數f在閉區間[a，b]上連續，則它在[a，b]上一致連續.為了強調定理中一些條件的重要性，也為了培養學生思維的靈活性，可以讓學生通過舉反例證一下偽命題：若函數f在開區間（a，b）上連續，則它在（a，b）上一致連續.通過提示此時f在開區間（a，b）的兩個端點處連續性遭到破壞.那么，為了構造反例，學生就會想到尋找在（a，b）上連續，卻在一個端點處不連續的函數，或在端點為無窮間斷點的函數，會進一步想到函數f（x）=1/x，x∈（0，1）.再進一步通過定義驗證出此函數的確為此偽命題的反例.為了培養學生思維的深刻性，那可以再追問學生一個問題：此偽命題再附加什么條件后就能成為真命題嗎？此時，學生受剛才老師的啟發，會發現能構造出反例，主要是依賴于函數在開區間的兩個端點處的不連續性，那將此命題修正為真命題的方法自然是增加函數f在左端點的右連續性及在右端點的左連續性，從而進一步得到函數f在（a，b）上的一致連續性.這樣的練習可以使學生加深對康托定理的理解，也培養學生思維的靈活性和深刻性.讓學生知道某些命題的證偽卻能為下一步改正此命題提供突破口和思路.

結語

在《數學分析》的教學中通過反例證偽，可以使學生澄清對某些概念和性質的模糊認識，加深對命題成立條件的認識，克服對數學知識理解的偏差及負遷移.在引導學生證偽的過程中，通過合理創設問題情境，也可以很好地培養學生思維的縝密性、發散性、靈活性和深刻性[2].另外，也應注意到，《數學分析》的教學仍以證實為主，以基本概念、基本方法和基本定理為主線，嚴格地證實為主，證偽教學只是一種輔助手段.教師應該精心挑選，掌握好偽命題的難度，切忌讓學生構造技術難度較大的反例，以免浪費不必要的教學時間和精力，讓學生產生挫敗感.

參考文獻：

[1]沈春芳.淺談《數學分析》教學中的反例[J].合肥師范學院學報，2010，28（3）：21-22.

[2]陳思.運用反例教學培養學生創新思維[J].青海師專學報（教育科學），2005（5-6）：136-137.

基金號：國家自然科學基金（No.11161044）。endprint