奇異非線性二階邊值問題的正解

田淑杰，高 偉，趙冬霞，支 艷

（1.東北石油大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，黑龍江 大慶 163318； 2.大慶師范學(xué)院 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，黑龍江 大慶 163712；

3.中國石油天然氣管道局 北戴河培訓(xùn)中心，河北 秦皇島 066100）

奇異非線性二階邊值問題的正解

田淑杰1，高 偉1，趙冬霞2，支 艷3

（1.東北石油大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，黑龍江 大慶 163318； 2.大慶師范學(xué)院 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，黑龍江 大慶 163712；

3.中國石油天然氣管道局 北戴河培訓(xùn)中心，河北 秦皇島 066100）

利用Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理、截?cái)嗉夹g(shù)，結(jié)合Green函數(shù)性質(zhì)，證明一類奇異非線性二階邊值問題的正解存在性.

二階奇異邊值問題；不動(dòng)點(diǎn)；正解

0 引言

隨著微分方程邊值問題理論的不斷發(fā)展與完善，具有奇異性邊值問題的應(yīng)用前景也逐漸廣泛，如大氣對(duì)流、邊界層流動(dòng)、天體運(yùn)動(dòng)和流體力學(xué)等，因此具有奇異性的微分方程邊值問題的正解存在性的研究成為重要的研究方向之一.近年來，常微分方程邊值問題的正解存在性和惟一性研究已有成果.非奇異的情況下，Yao Q L、胡金燕等給出一類二階非線性周期邊值問題存在正解的條件[1-2]；魏淑惠等討論一類二階非線性邊值問題的正解存在惟一性問題[3]；在具有奇異性的條件下，Jiang D Q、孫經(jīng)先等研究兩類典型的奇異邊值問題的正解存在性問題[4-5]；Khan R A、Liu B M等研究兩種不同類型的多點(diǎn)奇異邊值問題的正解存在性充分條件[6-7]；張國偉研究一類奇異兩點(diǎn)邊值問題的正解存在性條件[8]；Zhang Z X等研究奇異二階非線性微分方程周期邊值問題的多個(gè)正解存在性[9]；劉繼穎等給出偶數(shù)階非線性微分方程邊值問題的正解存在惟一性結(jié)果[10].文獻(xiàn)[3]雖然研究含有兩個(gè)參數(shù)的二階非線性邊值問題，并得出正解存在惟一性結(jié)果，但未考慮具有奇異性的情形，在f（t，u）于t=0和t=1處為奇異的情況下，筆者研究邊值問題的正解存在性問題，證明邊值問題的正解存在性和惟一性.

1 邊值問題與主要定理

二階非線性邊值問題

式中：α，β為參數(shù)，滿足α2＞4β＞0.

假設(shè)：

（H1）對(duì)每個(gè)固定的u∈[0，+∞），f（t，u）在[0，1]上非負(fù)可積，并且

（H2）對(duì)幾乎所有的t∈[0，1]，f（t，u）關(guān)于u≥0單調(diào)非增，并且

在假設(shè)（H1）、（H2）條件下，允許f（t，u）具有適當(dāng)?shù)钠嫘裕Q函數(shù)u（t）為邊值問題（1）的一個(gè)正解，如果它滿足

定理 假設(shè)（H1）、（H2）成立，則邊值問題（1）存在惟一的正解.

2 等價(jià)形式及Green函數(shù)

微分方程

的通解形式為

其中再利用常數(shù)變異法可得

因此有

利用邊值條件u（0）=u（1）=0得

將C3，C4表達(dá)式代入式（2）有

注意到α2＞4β＞0，邊值問題（1）等價(jià)于積分方程：

式中：G（t，s）為 Green函數(shù)，

3 正解存在性及惟一性

最后證明邊值問題（1）的正解惟一性.設(shè)u1（t）、u2（t）是邊值問題（1）的正解，令

則u（t）滿足

特別u（t0）≥0，與u（t0）＜0矛盾，故u（t）=0，即邊值問題（1）的正解是惟一的.

4 結(jié)束語

研究一類含有兩個(gè)參數(shù)的二階非線性邊值問題，通過給出問題的Green函數(shù)，利用Green函數(shù)的性質(zhì)將邊值問題轉(zhuǎn)化為等價(jià)的積分方程形式，利用截?cái)嗉夹g(shù)及Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理，證明正解的存在性和惟一性.

[1] Yao Q L.Positive solutions of nonlinear second order periodic boundary value problem[J].Appl.Math.Letters，2007（20）：583-590.

[2] 胡金燕，孔令彬.二階非線性周期邊值問題的正解[J].大慶石油學(xué)院學(xué)報(bào)，2011，35（5）：97-101.

Hu Jinyan，Kong Lingbin.Positive solutions to a second order periodic boundary value problem[J].Journal of Daqing Petroleum Institute，2011，35（5）：97-101.

[3] 魏淑惠，孔令彬.非線性二階邊值問題正解[J].大慶石油學(xué)院學(xué)報(bào)，2011，35（4）：113-116.

Wei Shuhui，Kong Lingbin.Positive solution to the nonlinear second order boundary value problem[J].Journal of Daqing Petroleum Institute，2011，35（4）：113-116.

[4] Jiang D Q，Chu J，Regan D O'，et al.Multiple positive solutions to superlinear periodic boundary value problems with repulsive singular force[J].J.Math.Anal.Appl.，2003（286）：563-576.

[5] 孫經(jīng)先，張國偉.奇異非線性Sturm-Liouville問題的正解[J].數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2005，48（6）：1095-1104.

Sun Jingxian.Positive solutions of singular nonlinear sturm-liouville problems[J].Acta Mathematica Sinica，2005，48（6）：1095-1104.

[6] Khan R A.Positive solutions of four point singular boundary value problems[J].Appl.Math.Comput.，2008（201）：762-773.

[7] Liu B M，Liu L S，Wu Y H.Positive solutions for a singular second order three point boundary value problem[J].Appl.Math.Comput.，2008（196）：532-541.

[8] 張國偉，孫經(jīng)先.一類奇異兩點(diǎn)邊值問題的正解[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2006，29（2）：297-309.

Zhang Guowei，Sun Jingxian.Positive solutions of a class of singular two-point boundary value problems[J].Acta Mathematicae Applicatae Sinica，2006，29（2）：287-309.

[9] Zhang Z X，Wang J Y.On existence and multiplicity of positive solutions to periodic boundary value problems for singular nonlinear second order differential equations[J].J.Math.Anal.Appl.，2003（281）：99-107.

[10] 劉繼穎，孔令彬.偶數(shù)階非線性奇異值邊值問題正解的存在惟一性[J].大慶石油學(xué)院學(xué)報(bào)，2010，34（2）：113-116.

Liu Jiying，Kong Lingbin.Existence and uniqueness of the positive solution for a even-order nonlinear singular boundary value problems[J].Journal of Daqing Petroleum Institute，2010，34（2）：113-116.

O175.8

A

2095-4107（2014）04-0001-04

2014-03-13；

任志平

黑龍江省教育廳科技項(xiàng)目（12541089）

田淑杰（1979-），女，碩士，講師，主要從事非線性微分方程邊值問題方面的研究.

DOI 10.3969/j.issn.2095-4107.2014.04.001