力的分解與求作三角形

王子洲

眾所周知，力的合成與分解遵循平行四邊形定則，并由此衍生出三角形法則。即：

1力的三角形法則

兩個分力及其合力組成三角形的三條邊。兩個分力首尾相接。從起點直接到終點的有向線段表示合力的大小和方向。如圖示：

既然兩個分力與合力恰好組成三角形，那么我們可以把力的分解問題看成是求作三角形的問題。

2 幾何中確定三角形的條件

至少知道三個量，且三個量中至少有一個是邊。我們在初中幾何中學過，三角形有六個要素，即三個角和三條邊。要作一個三角形，至少要知道三個要素，且三個要素中至少有一個是邊。 例如：已知三角形的兩邊及其夾角，我們就可以根據“邊角邊判定定理”判定能且僅能作一個三角形。又如：已知三角形的一條邊及兩個角，我們就可以根據“角邊角判定定理” 判定能且僅能作一個三角形。

3 力的矢量三角形與幾何中三角形邊和角的對應關系

我們先明白兩個基本知識：①力的大小對應三角形的邊長，即知道一個力的大小就知道三角形的一條邊。②兩個力的方向確定三角形的一個角。即：在兩個分力及其合力三個量中，知道任兩個力的方向就相當于知道了該兩個力的夾角。

4 求分力的解法

由于兩個分力及其合力組成三角形，所以在求一個力的分力時,一般地，能作幾個三角形就有幾種分解方法。下面我們舉例來說明一下。

例1：已知一個力F及其一個分力F1求另一個分力F2。問有幾種分解方法（有幾個解）？分析：題中給的條件是知道合力F及F1就相當于知道了F、F1的大小和方向。即知道了三角形的兩條邊F、F1，同時由于也知道他們的方向。故又給出了三角形該兩邊的夾角。根據“邊角邊全等定理〈SAS〉”知由題中所給的條件可得到一個固定的三角形。故分解方法僅有一種即F2僅有一解。如圖一。

例2：已知力F及其兩個分力的方向。求兩個分力。分析：已知力F就同時知其大小和方向。不難看出本題設給出了的矢量三角形的一條邊和三個角。由全等定理ASA或推論AAS可知能且僅能作出一個三角形。故本題僅有一種分解方法。如圖二。

圖一 圖二

例3：已知力F及兩個分力的大小，求兩個分力。分析：從題設可以看出本題給了三角形的三條邊。由SSS知，能且僅能作出一個三角形。但考慮到三角形的矢量性，我們將兩個分力F1、F2的方向交換一下便又得一個三角形。在幾何上兩個三角形全等。但考慮到矢量性，我們知道是兩種解法。故本題有兩解。如圖：

從上面的例子我們可以看出，把力的分解轉化成求作三角形的問題，可以把一些問題簡單化、明了化。使問題的思路清晰可見，起到化繁為簡，化抽象為具體，化難為易的作用。我們再看下面的例子：

例4 已知力F及一個分力F1的方向和另一個分力F2大小，問有幾種分解方法。分析：本題等于給了三角形的兩邊和其中一條邊的對角。不滿足“角角邊”所以能作幾個三角形并不固定。我們先畫出力F和力F1的夾角，設它們的夾角為θ如圖示：由幾何知，

（1）若 F2=F·Sinθ時，恰能作一個三角形。故只有一解。如圖示：

（2）若F>F2≥F·Sinθ時，可作兩個三角形，故有兩個解。如圖示：

（3）若 F2≥F時，只能作一個三角形。故只有一解。如圖示

（4）若 F2≤F·Sinθ時，不能作三角形。故無解。圖略

小結：綜上所述，由于兩個分力與合力恰好組成三角形，我們可以把力的分解問題轉變為初中幾何中的三角形問題，使問題更簡單化。力的分解問題其實就是作三角形和解三角形的問題。一般地，根據題中條件，能作幾個三角形就能有幾種分解方法。但我們還要根據幾何中的純線段三角形與力的矢量三角形的不同而具體情況具體區別。

注意：本節所講的規律只適用于不在一條直線上的力的分解。同一條直線上的力的分解由于不能組成三角形故不適用于本規律。

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眾所周知，力的合成與分解遵循平行四邊形定則，并由此衍生出三角形法則。即：

1力的三角形法則

兩個分力及其合力組成三角形的三條邊。兩個分力首尾相接。從起點直接到終點的有向線段表示合力的大小和方向。如圖示：

既然兩個分力與合力恰好組成三角形，那么我們可以把力的分解問題看成是求作三角形的問題。

2 幾何中確定三角形的條件

至少知道三個量，且三個量中至少有一個是邊。我們在初中幾何中學過，三角形有六個要素，即三個角和三條邊。要作一個三角形，至少要知道三個要素，且三個要素中至少有一個是邊。 例如：已知三角形的兩邊及其夾角，我們就可以根據“邊角邊判定定理”判定能且僅能作一個三角形。又如：已知三角形的一條邊及兩個角，我們就可以根據“角邊角判定定理” 判定能且僅能作一個三角形。

3 力的矢量三角形與幾何中三角形邊和角的對應關系

我們先明白兩個基本知識：①力的大小對應三角形的邊長，即知道一個力的大小就知道三角形的一條邊。②兩個力的方向確定三角形的一個角。即：在兩個分力及其合力三個量中，知道任兩個力的方向就相當于知道了該兩個力的夾角。

4 求分力的解法

由于兩個分力及其合力組成三角形，所以在求一個力的分力時,一般地，能作幾個三角形就有幾種分解方法。下面我們舉例來說明一下。

例1：已知一個力F及其一個分力F1求另一個分力F2。問有幾種分解方法（有幾個解）？分析：題中給的條件是知道合力F及F1就相當于知道了F、F1的大小和方向。即知道了三角形的兩條邊F、F1，同時由于也知道他們的方向。故又給出了三角形該兩邊的夾角。根據“邊角邊全等定理〈SAS〉”知由題中所給的條件可得到一個固定的三角形。故分解方法僅有一種即F2僅有一解。如圖一。

例2：已知力F及其兩個分力的方向。求兩個分力。分析：已知力F就同時知其大小和方向。不難看出本題設給出了的矢量三角形的一條邊和三個角。由全等定理ASA或推論AAS可知能且僅能作出一個三角形。故本題僅有一種分解方法。如圖二。

圖一 圖二

例3：已知力F及兩個分力的大小，求兩個分力。分析：從題設可以看出本題給了三角形的三條邊。由SSS知，能且僅能作出一個三角形。但考慮到三角形的矢量性，我們將兩個分力F1、F2的方向交換一下便又得一個三角形。在幾何上兩個三角形全等。但考慮到矢量性，我們知道是兩種解法。故本題有兩解。如圖：

從上面的例子我們可以看出，把力的分解轉化成求作三角形的問題，可以把一些問題簡單化、明了化。使問題的思路清晰可見，起到化繁為簡，化抽象為具體，化難為易的作用。我們再看下面的例子：

例4 已知力F及一個分力F1的方向和另一個分力F2大小，問有幾種分解方法。分析：本題等于給了三角形的兩邊和其中一條邊的對角。不滿足“角角邊”所以能作幾個三角形并不固定。我們先畫出力F和力F1的夾角，設它們的夾角為θ如圖示：由幾何知，

（1）若 F2=F·Sinθ時，恰能作一個三角形。故只有一解。如圖示：

（2）若F>F2≥F·Sinθ時，可作兩個三角形，故有兩個解。如圖示：

（3）若 F2≥F時，只能作一個三角形。故只有一解。如圖示

（4）若 F2≤F·Sinθ時，不能作三角形。故無解。圖略

小結：綜上所述，由于兩個分力與合力恰好組成三角形，我們可以把力的分解問題轉變為初中幾何中的三角形問題，使問題更簡單化。力的分解問題其實就是作三角形和解三角形的問題。一般地，根據題中條件，能作幾個三角形就能有幾種分解方法。但我們還要根據幾何中的純線段三角形與力的矢量三角形的不同而具體情況具體區別。

注意：本節所講的規律只適用于不在一條直線上的力的分解。同一條直線上的力的分解由于不能組成三角形故不適用于本規律。

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眾所周知，力的合成與分解遵循平行四邊形定則，并由此衍生出三角形法則。即：

1力的三角形法則

兩個分力及其合力組成三角形的三條邊。兩個分力首尾相接。從起點直接到終點的有向線段表示合力的大小和方向。如圖示：

既然兩個分力與合力恰好組成三角形，那么我們可以把力的分解問題看成是求作三角形的問題。

2 幾何中確定三角形的條件

至少知道三個量，且三個量中至少有一個是邊。我們在初中幾何中學過，三角形有六個要素，即三個角和三條邊。要作一個三角形，至少要知道三個要素，且三個要素中至少有一個是邊。 例如：已知三角形的兩邊及其夾角，我們就可以根據“邊角邊判定定理”判定能且僅能作一個三角形。又如：已知三角形的一條邊及兩個角，我們就可以根據“角邊角判定定理” 判定能且僅能作一個三角形。

3 力的矢量三角形與幾何中三角形邊和角的對應關系

我們先明白兩個基本知識：①力的大小對應三角形的邊長，即知道一個力的大小就知道三角形的一條邊。②兩個力的方向確定三角形的一個角。即：在兩個分力及其合力三個量中，知道任兩個力的方向就相當于知道了該兩個力的夾角。

4 求分力的解法

由于兩個分力及其合力組成三角形，所以在求一個力的分力時,一般地，能作幾個三角形就有幾種分解方法。下面我們舉例來說明一下。

例1：已知一個力F及其一個分力F1求另一個分力F2。問有幾種分解方法（有幾個解）？分析：題中給的條件是知道合力F及F1就相當于知道了F、F1的大小和方向。即知道了三角形的兩條邊F、F1，同時由于也知道他們的方向。故又給出了三角形該兩邊的夾角。根據“邊角邊全等定理〈SAS〉”知由題中所給的條件可得到一個固定的三角形。故分解方法僅有一種即F2僅有一解。如圖一。

例2：已知力F及其兩個分力的方向。求兩個分力。分析：已知力F就同時知其大小和方向。不難看出本題設給出了的矢量三角形的一條邊和三個角。由全等定理ASA或推論AAS可知能且僅能作出一個三角形。故本題僅有一種分解方法。如圖二。

圖一 圖二

例3：已知力F及兩個分力的大小，求兩個分力。分析：從題設可以看出本題給了三角形的三條邊。由SSS知，能且僅能作出一個三角形。但考慮到三角形的矢量性，我們將兩個分力F1、F2的方向交換一下便又得一個三角形。在幾何上兩個三角形全等。但考慮到矢量性，我們知道是兩種解法。故本題有兩解。如圖：

從上面的例子我們可以看出，把力的分解轉化成求作三角形的問題，可以把一些問題簡單化、明了化。使問題的思路清晰可見，起到化繁為簡，化抽象為具體，化難為易的作用。我們再看下面的例子：

例4 已知力F及一個分力F1的方向和另一個分力F2大小，問有幾種分解方法。分析：本題等于給了三角形的兩邊和其中一條邊的對角。不滿足“角角邊”所以能作幾個三角形并不固定。我們先畫出力F和力F1的夾角，設它們的夾角為θ如圖示：由幾何知，

（1）若 F2=F·Sinθ時，恰能作一個三角形。故只有一解。如圖示：

（2）若F>F2≥F·Sinθ時，可作兩個三角形，故有兩個解。如圖示：

（3）若 F2≥F時，只能作一個三角形。故只有一解。如圖示

（4）若 F2≤F·Sinθ時，不能作三角形。故無解。圖略

小結：綜上所述，由于兩個分力與合力恰好組成三角形，我們可以把力的分解問題轉變為初中幾何中的三角形問題，使問題更簡單化。力的分解問題其實就是作三角形和解三角形的問題。一般地，根據題中條件，能作幾個三角形就能有幾種分解方法。但我們還要根據幾何中的純線段三角形與力的矢量三角形的不同而具體情況具體區別。

注意：本節所講的規律只適用于不在一條直線上的力的分解。同一條直線上的力的分解由于不能組成三角形故不適用于本規律。

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