在運(yùn)動(dòng)中分析,在變化中求解

吳金有

在初中數(shù)學(xué)中與“動(dòng)”有關(guān)的問題一般都是教學(xué)中的難點(diǎn)，而且這類問題對學(xué)生思維品質(zhì)的培養(yǎng)和各種能力的提高都有很大的促進(jìn)作用。在近年的中考命題中，許多地區(qū)都以“動(dòng)點(diǎn)”的問題作為壓軸題。這類試題集代數(shù)與幾何的眾多知識點(diǎn)于一題，滲透了分類討論、數(shù)形結(jié)合等教學(xué)思想。

這類試題以運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)、線段、變化的角、圖形的面積為基本條件，給出一個(gè)或多個(gè)變量，要求確定變量與其他量之間關(guān)系，或變量在一定條件下為定理時(shí)，進(jìn)行相關(guān)幾何計(jì)算和綜合性解答。解決這類題，一般要根據(jù)圖形變化的過程，對其不同的情況進(jìn)行分類求解。本文以各地市的中考動(dòng)點(diǎn)型問題為例進(jìn)行分析。

一、動(dòng)點(diǎn)與列函數(shù)關(guān)系相結(jié)合

此類問題一般是通過參變量時(shí)間t，并利用幾何的一些性質(zhì)，得到關(guān)于含t的代數(shù)式，由此來描述動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程，使動(dòng)點(diǎn)視為定點(diǎn)參與計(jì)算，從而列出含參變量t的函數(shù)關(guān)系式，這是初中數(shù)學(xué)中解決“動(dòng)點(diǎn)”問題最常用的方法之一。

例1[2014年沖刺卷]如圖，直線Y=- 3-4 x+6與坐標(biāo)軸分別A,B 兩 點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)從0出發(fā)，同時(shí)到達(dá)A點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)停止，點(diǎn)Q沿線段AO運(yùn)動(dòng)，速度為每秒1個(gè)單位長度，點(diǎn)P沿線段O→B→A運(yùn)動(dòng)。

（1）寫出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2)? 設(shè)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)時(shí)間為1秒，∠OPQ面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式;

（3）當(dāng)S=48-5時(shí)，求P點(diǎn)的坐標(biāo)，并求出O、P、Q為頂點(diǎn)的平行四邊形的第四個(gè)頂點(diǎn)M坐標(biāo)。

分析：本題是動(dòng)點(diǎn)和函數(shù)關(guān)系式的綜合性試題，這類的問題難度不太大。處理方法是探索P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律，對運(yùn)動(dòng)過程進(jìn)行分類討論。再根據(jù)題目的要求列函數(shù)關(guān)系式。

二、動(dòng)點(diǎn)與圖形相似結(jié)合

這種“動(dòng)點(diǎn)與圖形相似結(jié)合”的綜合性試題，它讓動(dòng)點(diǎn)帶幾何圖形的運(yùn)動(dòng)變化，在變化中利用相似的討論方法進(jìn)行分類討論。

例2[2009廣西欽州]如圖，已知拋物線y=(3-4 )x2+bx+c與坐標(biāo)軸交于A、B、C三點(diǎn)，?A點(diǎn)的坐標(biāo)為（-1，0），過點(diǎn)C的直線y=( 3-4t )x-3與x軸交于點(diǎn)Q，點(diǎn)P是線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過P作PH⊥OB于點(diǎn)H．若PB=5t，且0＜t＜1．

（1）填空：點(diǎn)C的坐標(biāo)是_▲_，b＝_▲_，c＝_▲_；

（2）求線段QH的長（用含t的式子表示）；

（3）依點(diǎn)P的變化，是否存在t的值，使以P、H、Q為頂點(diǎn)的三角形與△COQ相似？若存在，求出所有t的值；若不存在，說明理由。

分析：以P、H、Q為頂點(diǎn)的三角形隨P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)形狀不斷變化，但△COQ的形狀和各邊長是固定不變，利用相似三角形的知識和相似討論的方法不難求解本題的答案。

三、動(dòng)點(diǎn)與最值問題相結(jié)合

動(dòng)點(diǎn)與最值問題相結(jié)合是近年來興趣的新型試題，這類題目綜合性和探索性較強(qiáng)，要求學(xué)生在動(dòng)中求靜，必須要對圖形分析、觀察，才能正確地求解。

例3[2014中考模擬卷]如圖，在平面直角坐票系中，四邊形OABC是矩形，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4、3）。平行于對角線AC的直線M從原點(diǎn)O出發(fā)，沿x軸正方向以每秒1個(gè)單位長度的速度運(yùn)動(dòng)，設(shè)直線m與矩形OABC的兩邊分別交于點(diǎn)M、N，直線m運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t(秒)。

（1）點(diǎn)A的坐標(biāo)是 ，點(diǎn)C的坐標(biāo)是 ；

（2）設(shè)△OMN的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式；

（3）探求（2）中得到的函數(shù)S有沒有最大值？若有，求出最大值；若沒有，要說明理由。

分析：本題以動(dòng)點(diǎn)為背景，要求學(xué)生正確分析變量和其他量之間的內(nèi)在聯(lián)系，建立變量與其他量之間的函數(shù)關(guān)系式，并運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的知識和方法去解決二次函數(shù)的最值問題。解題過程中滲透數(shù)形結(jié)合思想。

四、動(dòng)點(diǎn)與分類討論相結(jié)合

分類討論在數(shù)學(xué)中應(yīng)用比較廣泛，它對考查學(xué)生全面分析問題、考慮問題可能產(chǎn)生的多種情況的能力有獨(dú)特的作用。

例4[2007金華] 如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（0，4，√3），點(diǎn)B在x正半軸上，且∠ABO=30°．動(dòng)點(diǎn)P在線段AB上從點(diǎn)A向點(diǎn)B以每秒√3個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．在x軸上取兩點(diǎn)M，N作等邊△PMN．

（1）求直線AB的解析式；

（2）求等邊△PMN的邊長（用t的代數(shù)式表示），并求出當(dāng)?shù)冗叀鱌MN的頂點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到與原點(diǎn)O重合時(shí)t的值；

（3）如果取OB的中點(diǎn)D，以O(shè)D為邊在Rt△AOB內(nèi)部作如圖2所示的矩形ODCE，點(diǎn)C在線段AB上．設(shè)等邊△PMN和矩形ODCE重疊部分的面積為S，請求出當(dāng)0≤t≤2秒時(shí)S與t的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值．

分析：解答這類問題要進(jìn)行分類討論，隨P在線段BA上移動(dòng)，△PMN的大小及位置都發(fā)生變化，則等邊△PMN和矩形ODCE重疊部分的形狀發(fā)生變化，找到重疊部分“形”變化時(shí)的t進(jìn)行分類討論。解答此題要求學(xué)生仔細(xì)審題，根據(jù)條件分類畫出圖形，通過觀察、比較、分析圖形的變化，提示圖形之間的內(nèi)在聯(lián)系。這種題型有一定探索性，知識的綜合性強(qiáng)，對學(xué)生的思維能力要求高，試題有一定的區(qū)分度，深受命題老師的歡迎。

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