曲面的主曲率高斯曲率和平均曲率

李紅珍

【摘要】本文作者在給出了曲面的主曲率、高斯曲率、平均曲率之后，又對主曲率是法曲率的最大值和最小值進行了證明。

【關鍵詞】法曲率；主曲率；高斯曲率；平均曲率

曲面上一點P的兩個方向，如果他們既正交又共軛，則稱為曲面在P點的主方向。曲面上一點處主方向上的法曲率成為曲面在此點的主曲率。由于曲面上一點處的主方向是過此點的曲率線的方向，因此主曲率也就是曲面上一點處沿曲率線方向的法曲率。

我們要研究在曲面上一點（非臍點），法曲率隨著方向而變化的規律，還要證明主曲率是法曲率的最大值和最小值。在曲面S：r=r(u,v)上選曲率線網為曲紋坐標網，則F=M=0,這時對于曲面的任一方向 (d)=du︰dv，它的法曲率公式就簡化成

kn=（1）

沿u-曲線（dv=0）的方向對應的主曲率是k1= L-E （2）

沿v-曲線（du=0）的方向對應的主曲率是k2= N-G （3）

設θ為任意方向du-dv和u-曲線（δv=0）方向的夾角，則

cosθ==

所以cos2θ= （4）

而sin2θ=1-cos2θ= （5）

由于（1）可表示為

kn=+

將（2）（3）（4）（5）代入上式得2

這個公式被稱為歐拉公式。在臍點這個公式仍然正確，因為這時有k1=k2,而沿任意方向的法曲率kn= k1=k2。

歐拉公式表明，只要知道了主曲率，則任意方向（d）的法曲率就可以由（d）和u-曲線的方向之間的夾角θ來確定。

下面介紹有關主曲率的一個命題：

曲面上一點（非臍點）的主曲率是曲面在這點所有方向的法曲率中的最大值和最小值。

證明：設k1＜k2(如果k1＞k2，可以交換坐標u和v)，由歐拉公式可知

kn=k1cos2θ＜k2(1-cos2θ)=k2+(k1-k2)cos2θ

則k2-kn=(k2-k1)cos2θ≥0

因此k2≥kn

同理kn-k1=(k2-k1)sin2θ≥0

因此kn≥k1

即k1≤kn≤k2

這說明，主曲率k2,k1是法曲率kn的最大值和最小值。

下面來導出主曲率的計算公式。

由羅德里格定理，沿主方向（d）有dn= -kNdr其中kn為主曲率，即k1和k2 ，該式又可以寫成 nudu+nvdv=-kN (rudu+rvdv)

把上式兩邊分別點乘 ru ,rv得

ru· nudu+ru·nvdv=-kN (rv·rudu+rv·rvdv)

即得到-Ldu-Mdv=-kN(Edu+Fdv)

-Mdu-Ndv=-kN(Fdu+Gdv)

整理得(L-EkN)du+(M-FkN)dv=0 （7）

(M-FkN)du+(N-GkN)dv=0 （8）

從（7）、（8）兩式中消去du、dv，得到主曲率的計算公式

＝ 0

即 (EG-F2)kN2-(LG-2MF+NE)kN+(LN-M2) = 0 （9）

以下介紹在曲面論的許多問題中起重要作用的兩種曲率。

設k1、k2為曲面上一點的兩個主曲率，則它們的乘積k1k2稱為曲面在這一點的高斯曲率，通常用K表示。它們的平均數1-2 (k1+k2)稱為曲面在這一點的平均曲率，通常用H表示。由方程（9）利用二次方程的根與系數的關系，得

高斯曲率 K=k1k2=

平均曲率 H= 1-2 (k1+k2)=

對于曲面的特殊參數表示z=z(x,y)，由于E=1+p2，F=pq，G=1+q2

L= ，M= ，N=

因此k= H=

一個曲面，如果它每一點處的平均曲率H=0,稱為極小曲面。我們可以證明，以空間閉曲線為邊界的曲面域中，面積最小的曲面必是極小曲面，即平均曲率為零的曲面。極小曲面的實際模型是將在空間中彎曲的鉛絲浸入肥皂溶液中，取出時所得的皂膜曲面。

參考文獻：

[1]《微分幾何》，1987．3