中學數學中的數學歸納法教學小議

母其丙

【摘 要】歸納法是數學推理中經常用到的一種方法，本文對數學歸納法在中學教學中的難點和關鍵進行了探討。

【關鍵詞】推理數學教學歸納法

在數學推理中，常用的方法是演繹法和歸納法，歸納推理又可以分為完全歸納法和不完全歸納法。完全歸納法所得出的結論是可靠的，因為它考察了問題所涉及的所有對象；不完全歸納法得出的結論不一定可靠，因為它只考察了某件事情的部分對象。數學問題中，有一類問題是與自然數有關的命題，因為自然數的個數是無限的，不可能對所有自然數進行驗證，所以用完全歸納法是不可能的。由于只對部分自然數驗證得到結論不一定是可靠的，因此就需要學習一種新的推理方法——數學歸納法。

數學歸納法是關于正整數n的命題的一種特殊的直接證明方法，特別是在證明一些與正整數n有關的數學命題時；在數學中有著重要的用途，要求能用數學歸納法證明現代的結論，而且加強了對于不完全歸納法的應用，既要求歸納發現結論，又要求能證明結論的正確性；因此在中學數學中是從問題情境中引發數學歸納法的學習欲望，然后對多米諾骨牌蘊含的原理進行分析，再用多米諾骨牌原理解決數學問題，最后從具體事例中概括歸納出數學歸納法的一般步驟：

1. 證明當n取第一個值n=n0（例如n0=1或2等）時結論成立；

2. 假設n=k （k≥n0，kN*）時結論成立，證明當n=k+1時結論也成立。

完成這兩個步驟，就可以斷定結論對從n0開始的所有正整數n都成立。這種證明方法叫做數學歸納法。

用數學歸納法證明有關問題的難點和關鍵在第二步，而這一步主要在于合理運用歸納假設，即以“n=k時結論成立”為條件，根據有關的定理、定義、公式、性質等數學結論推導出“當n=k+1時結論成立”，而不是直接代入，否則 n=k+1時也成假設了，命題并沒有得到證明。但是在實際教學中學生往往不會使用歸納假設，即在證明中不使用“n=k時結論成立”這個條件，而直接將n=k+1代入，便斷言此時結論成立，從而得出原命題成立的結論。需要引導學生分析這樣的“證明”中存在的問題：由此不能得出遞推關系“n=k時結論成立n=k+1時結論成立”，因此證明并沒有完成。這一步實際上是證明一個命題：“若n=k（k≥n0，kN*）時結論成立，證明當n=k+1時結論也成立”，其本質是證明一個遞推關系，歸納遞推的作用是從前往后傳遞，有了這種向后傳遞的關系，就能從一個起點不斷發展，以至無窮。如果沒有它，即使已經驗證了命題對許多正整數n都成立，也不能保證命題對后面的所有正整數都成立。

當然，也不是說第一步就可有可無，沒有它證明就如同空中樓閣，是不可靠的。在教學中可以結合反例進行說明。例如，“奇數是2的倍數”顯然是個假命題，但是如果沒有第一步，直接假設“如果奇數m是2的倍數”，卻能推出“那么后一個奇數k+2也是2的倍數”。同時在教學中還需要強調：用數學歸納法進行證明時，第一步從n取幾開始，要根據具體問題而定。一般地，如果要證明的結論是對全體正整數都成立的，則需要從n=1開始；如果需要證明的結論是對于不小于n0的全體正整數都成立的，則需要從n=n0開始證明；如果要證明的結論是對全體自然數都成立的，則需要從n=0開始證明。

用數學歸納法可以證明某些與正整數n（n取無限多個值）有關的數學問題，例如：用數學歸納法證明

1+3+5+……+（2n-1）=n2

證明：（1）當n=1時，左邊=1，右邊=1，等式成立。

（2）假設當n=k時等式成立，就是

1+3+5+……+（2k-1）=k2

那么，1+3+5+……+（2k-1）+[2（k+1）-1]

=k2+[2（k+1）-1]

=k2+2k+1

這就是說，當n=k+1時等式也成立。

根據（1）和（2），可知等式對任何nN都成立。

但并不是所有的正整數問題都是用數學歸納法證明的，學習時要具體問題具體分析，一般來說從n=k時的情形過渡到n=k+1時的情形，如果問題中存在可利用的遞推關系，就可以應用數學歸納法，否則使用數學歸納法就有困難。

在中學數學，數學歸納法主要用于證明題，給學生提供一個新的思路解題，給學生開闊視野的角度；從未來應用的角度，將來會涉及計算機編程，數學歸納法是遞歸循環的簡單形式，有利于學生今后理工科知識的理解和學習；從應試角度，數學歸納法是中學數學的必修課，也是考試必考的知識點，也是比較好拿分的知識點。

【參考文獻】

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