論高考中的三角函數

李敬紅

【摘 要】三角函數是中學數學的主要內容，是高考的重點，也是高考的熱點。因此學好三角函數很重要。通過對高考試題的研究，總結出高考中三角函數的命題特點及如何復習好高考中的三角函數。

【關鍵詞】三角函數典型例題復習建議

三角函數是描述周期現象的數學模型，在數學和其他學科領域中具有非常廣泛的應用，因此，它是高中數學乃至高等數學的重要基礎知識之一。高中新課程標準中的三角函數主要內容包括三角函數的定義、誘導公式、同角三角函數的基本關系、三角函數的圖象和性質、兩角和與差的三角函數、簡單的三角恒等變換以及解三角形。新課程高考重視對三角函數的圖象和性質的考查，重視對三角函數基礎知識和基本技能的考查，重視對解三角形的考察。

一、高考中三角函數的考點分析

近幾年高考對三角函數部分的考察保持了三個穩定（內容、題量、分值），一般在選擇填空和解答題的17、18題出現，分值一般占10%左右。難度適中（中等難度或難度較小極個別的省份難度較大）。其考查方向主要涉及三個方面：一是三角函數的圖象和性質：（三角函數的圖象和性質是高考考查的重點，是學生學習高等數學和應用技術學科的基礎，又是解決實際生產問題的工具，是解答題的主要題型。常與向量的數量積，向量的平行、垂直、夾角及模長公式有不同程度的交匯。）；二是簡單的的恒等變換（三角恒等變換主要用于化簡，求值和求解三角函數性質的問題，常出現在選擇填空中或是解答題的一部分）；三是解三角形問題（解三角形在高考中主要利用正弦定理、余弦定理進行邊角互化解三角形中的邊和角及解決實際問題）。考查的知識點有三角函數的定義、誘導公式、三角函數的最小正周期、奇偶性、單調性、三角函數的值域（包括最值）、圖象對稱性、兩角和與差的正弦、余弦、正切公式、二倍角公式，正弦定理、余弦定理。解題過程一般是先進行恒等變換，再利用三角函數圖象和性質解題。對能力的考查主要是演繹推理能力、計算能力、化簡能力、抽象概括能力、綜合應用知識解決問題的能力。體現的數學思想有化歸轉化思想、分類討論思想、函數思想、數形結合的思想、方程的思想換元的思想、整體代換的思想等。

二、高考中三角函數的典型例題

1.三角恒等變換

例：（2013年高考江西（理）第11題）

函數的最小正周期為T為_______

答案：π分析：試題難度較小 ；考點：二倍角公式的變形公式、輔助角公式和三角函數的周期公式

2.解三角形

例：（2013年高考陜西卷（理）第7題）

設△ABC的內角A， B， C所對的邊分別為a， b， c，若，則△ABC的形狀為A. 銳角三角形B.直角三角形C. 鈍角三角形D. 不確定

【答案】B 分析：將邊化成角；試題難度中等，考察轉化意識和求解能力

同類型：2013年高考遼寧數學（理）第6題，2013年高考湖南理第3題

3.知識點交叉：可以讓三角函數與向量與數列等結合，考察知識的全面性和完整性。

例：（2013年高考陜西卷（理）第16題）

， 設函數。

（Ⅰ） 求的最小正周期.

（Ⅱ） 求在上的最大值和最小值.

分析：試題難度較小；知識點：向量數量積，三角恒等變換，三角函數的圖像和性質；能力：化簡能力，計算能力；同類型題：2013年遼寧省理第17題

三、高考三角函數的復習建議：

1．重視公式的復習，特別是公式之間的內在聯系

三角函數的公式是進行三角計算和化簡的基礎，是三角變換的工具。三角函數公式雖多，但它們之間都有一定的內在聯系。比如：誘導公式具有“奇變偶不變符號看象限”的共同特點；兩角和與差的余弦公式是兩角和與差的其他公式及倍角公式的母公式。因此在復習中教會學生理清公式間的關系，在理解的基礎上熟悉并記憶，還要注重公式的變形和逆用。

２．注重三角函數解題規律的總結

由于三角函數的公式多，所以問題變化多。這就要求我們在復習三角函數的過程中除重視公式的復習還要關注三角函數解題過程規律的總結。比如化簡求值常用到的方法：角的配湊，切割化弦，平方降冪，輔助角公式等。與三角函數的性質有關的問題要先有意識地運用公式轉化為一角的一種三角函數的形式再利用整體代換的思想求解等。至于解三角形的問題可借助正、余弦定理進行邊角互化。

3．強化數學思想，培養數學思維

在三角函數的復習中，引導學生用函數的觀點理解三角函數，強調三角函數不同于其他函數的基本性質（周期性），用數形結合的思想增加學生學習數學的興趣和積極性。在三角函數的學習中我們會學到：轉化與化歸（角與角的轉化，角與邊的轉化，函數名的轉化），函數與方程，換元，整體代換等數學思想，通過強化這些數學思想使學生更好地理解掌握三角函數。