例析中考中的開放探究型試題

玉榮參

隨著課程改革的全面推進，運用數學開放性試題來培養學生的創新意識和能力，已成為教改的熱點，近幾年的中考試卷中，出現了大量符合學生的年齡特點和認知水平、設計優美、個性獨特的開放題，此類試題越來越備受命題者的青睞，對同學們的綜合素質要求也比較高，可以基礎性試題，也有綜合性的試題，在中考中所占比例在9%左右。為了突破這一障礙，筆者經過多年教學實踐與研究，現結合中考命題的經驗，以中考試題為例，對開放探究型試題進行剖析，以求對教學有所啟迪和幫助。

一、條件開放型問題

【例1】 如圖1，點B、F、C、E在同一條直線上，并且BF=CE，∠B=∠E。

（1）請你添加一個條件（不再添加輔助線），使ΔABC≌ΔDEF，你添加的條件是 。

（2）添加了條件后，證明ΔABC≌ΔDEF。

（2011年廣西壯族自治區南寧市中考題）

評析：在ΔABC和ΔDEF中，已有BF=CE，∠B=∠E。若根據“SAS”判定，則可添加AB=DE；若根據“ASA”判定，則可添加∠ACB=∠DFE；若根據“AAS”判定，則可添加∠A=∠D。

解題思路點撥：在本題中，需要注意的是，三角形的判定條件中沒有“邊邊角”，所以不能添加AC=DF。

對于本例這類“添加條件”型開放題，要根據相關的定義、定理等，結合已給出的條件，尋求應添加的條件。解決這樣的問題的一般思路是從結論出發，執果索因，逆向推理，逐步探求結論成立的條件，或把可能產生結論的條件一一列出，逐個解析。

【例2】 在同一個平面直角坐標系中，若一個反比例函數的圖象與一次函數y=-2x+6的圖象無公共點，則這個反比例函數的表達式是。（寫出一個符合條件的即可）

評析：反比例函數的圖象與一次函數y=-2x+6的圖象無公共點，也就是由反比例函數與一次函數組成的方程組無解。

解題思路點拔：求兩個函數圖象的交點問題時，往往將這兩個函數的解析式構成方程組進行求解。

二、結論開放型問題

【例3】拋物線y=-x2+bx+c的部分圖象如圖2所示，請寫出兩個與拋物線的解析式或圖象相關的正確結論： ，。（對稱軸，圖象與x軸正半軸、y軸交點坐標除外）

評析：我們可以從求bb，c的值，頂點坐標，與x軸負半軸的交點，拋物線的增減性，二次函數與一元二次方程的聯系等方面去尋找結論。

解題思路點拔：解答這類結論開放探究型問題時，要全面審視圖形所呈現的信息，并從圖象的特征及性質出發進行思考與探索，同時，要注意所得結論應符合題目的要求。

【例4】圖3、圖4是兩張形狀、大小完全相同的方格紙，方格紙中的每個小正方形的邊長均為1，點A和點B在小正方形的頂點上。

（1）在圖3中畫出ΔABC（點C在小正方形的頂點上），使ΔABC為直角三角形。（畫一個即可）

（2）在圖4中畫出ΔABD（點D在小正方形的頂點上），使ΔABD為等腰三角形。（畫一個即可）

評析：答案不唯一。

（1）因為橫、豎網格線是互相垂直，所以沿著過點A、B的網格線畫邊長即可，所畫直角三角形如圖5、圖6，任意一個即可。

根據勾股定理，得AB=5，所以可根據勾股定理的逆定理，找一組對應邊長畫直角三角形。因為52=()2+()2，所以另兩邊長可畫成和，所畫三角形如圖7、圖8。

（2）因為AB=5，所以再畫一條長為5的邊即可得到等腰三角形，所畫三角形如圖9至圖12，任意畫一個即可。

解題思路點撥：本題是方案設計類開放題，這類試題答案往往不唯一，相同邊長的正方形網格，是研究圖形性質的很好的載體，如果線段在網格上，可以通過數網格得到線段的長度，如果線段不在網格線上，還需要結合勾股定理解決問題。畫格點三角形的關鍵是畫格點線段，要先根據已知條件運用勾股定理得出三角形各邊的長。

三、存在性探索型問題

【例5】如圖13，已各拋物線經過點A（-2，0）、B（-3，3）及原點O，頂點為C。

（1）求拋物線的函數解析式。

（2）設點D在拋物線上，點E在拋物線的對稱軸上，以點A、O、D、E為頂點的四邊形是平行四邊形，且以AO為邊，求點D的坐標。

（3）P是第一象限內拋物線上的動點，過點P作PM⊥x軸，垂足為M，是否存在點P，使得以P、M、A為頂點的三角形與ΔBOC相似？若存在，求出P的坐標；若不存在，請說明理由。

評析：（1）由于拋物線經過A（-2，0）、B（-3，3）及原點O，用待定系數法即可求出拋物線的解析式。

（2）根據平行四邊形 “對邊平行且相等” 的性質，討論點D在對稱軸x=-1左右兩側的兩種情況，可以求出點D的坐標。

（3）假設存在使ΔPMA與ΔBOC相似的點P。事先說明ΔBOC是直角三角形，再分兩種情況討論，①ΔAMP∽ ΔBOC，②ΔPMA∽ΔBOC，根據相似三角形對應邊的比相等可以求出點P的坐標。

解題思路點撥：對于存在性探索型問題，解題的思路通常是先假設存在，然后按照題意進行合情推理或計算，最后看能得出合理的結論還是矛盾的結果。若是合理的結論，則說明存在；若是矛盾的結果，則說明不存在。

四、結束語

綜上所述，中考中的開放探究型試題，不僅涉及的知識點豐富，形式多樣，難度也不盡相同，既有基礎性試題，也有綜合性的試題。同時，又能讓學生明晰一類題型的解題思路、方法和技巧，也提升了教師自身研題和教學的能力。我們雖然反對“題海戰術”，但不應輕視數學解題研究，尤其是對學生困惑問題的研究，我們要把解題上升到研題、編題，培養學生的建模能力，讓學生知其然，知其所以然。