大數定律和中心極限定理在極限問題中的應用

羅逸平

（湖南城市學院 數學與計算科學學院，湖南 益陽 413000）

大數定律和中心極限定理是概率論的重要內容.大數定律給出了在試驗次數很大時頻率和平均值的穩定性，從理論上肯定了用算術平均值代替均值，用頻率代替概率的合理性.中心極限定理闡明了在什么條件下，原來不屬于正態分布的一些隨機變量其總和分布漸近地服從正態分布，為我們利用正態分布來解決這類隨機變量的問題提供了理論依據.它們都是通過極限理論來研究概率問題.反過來，本文研究了利用大數定律和中心極限定理處理極限問題的常用方法.

1 利用大數定律處理極限問題

證明 設{ξk}相互獨立同分布，ξk～b(1,x),k=1,2,….令 ξn=，則由二項分布的再生性，ξn～B(n,x).所以

因為 f(x)在(0,1)連續，所以對坌x∈(0,1)及 ε>0，堝δ>0，當y∈(0,1):|y-x|<δ 時，恒有.因為 f(x)在(0,1)有界，設.由全數學望公式，有

由辛欽大數定律，有

故對上述 x∈(0,1)及 ε>0，堝N∈N，對堝n>N，有

證畢.

類似地，

（1）利用Poisson分布的再生性和大數定律，可得

（2）利用幾何分布的再生性和大數定律，可得

若 f(x)在[1,+∞)有界連續，且

結合已知條件的特點，巧妙構造一類隨機變量序列，利用大數定律是解決這類問題的關鍵.

2 利用中心極限定理處理極限問題

例2

證明 設隨機變量序列{ξk}相互獨立同分布，ξk～Γ(α,β)，即ξk的密度函數為

由Γ－分布的可加性，有

且

由Lindeberg-Levy定理，

對坌x∈R，當n充分大時，

特別地，當α=0時，

由例2，立即可得下一重要結論：

當含參變量的積分的極限與標準正態分布的分布函數有關時，若能將參變量的被積函數與某一連續型隨機變量的密度函數聯系起來，一般利用中心極限定理就能解決問題.

〔1〕梁之舜，鄧集賢，楊維權，等.概率論與數理統計[M].北京：高等教育出版社，2005.267－290.

〔2〕陸傳榮，林正炎，陸傳賚.概率論極限理論引論[M].北京：高等教育出版社，1989.89－105；128－155.