對稱性在結構動力學中的應用
2014-09-22 03:36:20王樹范溫泳
中國新技術新產品 2014年15期
王樹范+溫泳
摘 要：本文分析了《結構動力學》課程的特點，提出了利用結構對稱性求多自由度結構自振頻率及其相應的主振型的方法。
關鍵詞：結構動力學 ；結構對稱性；自振頻率；主振型
中圖分類號：TU311 文獻標識碼：A
一、概述
《結構動力學》是一門技術性很強的專業基礎課，涉及到的研究領域很多，同時具有鮮明的工程與應用背景，絕大多數學生對這門課有一個共同的感覺：公式多而冗長，計算難而復雜，求解繁瑣而難以掌握，涉及面廣而不易理解，針對上述問題，利用結構自身的特點，使多自由度結構的自振頻率的計算得到簡化。
二、用柔度系數表示的多自由度結構的自振頻率
對多自由度結構進行振動分析，關鍵在于求解出其自振頻率及其相應的主振型。現以柔度法為例，給出n個自由度結構自振頻率和主振型的求解過程。
1振動微分方程的建立
圖1（a）所示為n個自由度結構，在自由振動的任一時刻t，質量造詞的位移為造詞，作用在該質量上的慣性力為，則可建立n個方程
（1）
這里是結構的柔度系數，即單位力作用時質點i的位移（參見圖1（b））。
2微分方程的解及頻率
設解的形式為
并將其帶入（1）式中，便可得到一個由小到大排列的n個自振頻率ω1，ω2，…，ωn。
當時，求出兩個頻率分別為
（2）
三、利用對稱性計算多自由度結構的自振頻率
當一個結構對稱，質量分布也是對稱的結構，那么它的主振型要么是正對稱的，要么是反對稱的，我們可以利用這一點，取半邊結構來計算，這樣可以使計算簡化。下面舉例說明。
例：試求圖2（a）所示三跨梁的自振頻率。已知
；
；
；
。
解：該題如果按照三個自由度結構去考慮，計算量非常大，容易出錯。如果注意到結構自身的特征，利用對稱性會使計算量大大減少。
考慮結構自身的特點，其振型可分為對稱振動和反對稱振動。
反對稱振動的半結構如圖2（b）所示，該結構為單自由度結構，可通過求柔度系數的方法求頻率。
；
對稱振動的半結構如圖2（c）所示，該結構為兩個自由度結構，也可通過求柔度系數的方法求頻率。
，
，
代入（2）式可求出兩個頻率分別為：和。
綜合反對稱的頻率可得原結構的三個頻率分別為
；
；
。
結 語
本文針對學生在求解多自由度結構自振頻率時存在的困難，根據自己在教學實踐中的探索，提出了自己的一點看法。實踐證明學生掌握了這種方法后會使計算變簡單。在學習中要多做練習，同時，一道題要注意采用多種方法來解。
參考文獻
[1]包世華.結構力學[M].武漢理工大學出版社，2007，167-174.
[2]劉晶波，杜修力.結構動力學[M].工業機械出版社，2011，91-108.
[3]杜方江.結構動力學在建筑結構中的抗震分析[J].科技資訊，2009，N031，69.endprint
摘 要：本文分析了《結構動力學》課程的特點，提出了利用結構對稱性求多自由度結構自振頻率及其相應的主振型的方法。
關鍵詞：結構動力學 ；結構對稱性；自振頻率；主振型
中圖分類號：TU311 文獻標識碼：A
一、概述
《結構動力學》是一門技術性很強的專業基礎課，涉及到的研究領域很多，同時具有鮮明的工程與應用背景，絕大多數學生對這門課有一個共同的感覺：公式多而冗長，計算難而復雜，求解繁瑣而難以掌握，涉及面廣而不易理解，針對上述問題，利用結構自身的特點，使多自由度結構的自振頻率的計算得到簡化。
二、用柔度系數表示的多自由度結構的自振頻率
對多自由度結構進行振動分析，關鍵在于求解出其自振頻率及其相應的主振型。現以柔度法為例，給出n個自由度結構自振頻率和主振型的求解過程。
1振動微分方程的建立
圖1（a）所示為n個自由度結構，在自由振動的任一時刻t，質量造詞的位移為造詞，作用在該質量上的慣性力為，則可建立n個方程
（1）
這里是結構的柔度系數，即單位力作用時質點i的位移（參見圖1（b））。
2微分方程的解及頻率
設解的形式為
并將其帶入（1）式中，便可得到一個由小到大排列的n個自振頻率ω1，ω2，…，ωn。
當時，求出兩個頻率分別為
（2）
三、利用對稱性計算多自由度結構的自振頻率
當一個結構對稱，質量分布也是對稱的結構，那么它的主振型要么是正對稱的，要么是反對稱的，我們可以利用這一點，取半邊結構來計算，這樣可以使計算簡化。下面舉例說明。
例：試求圖2（a）所示三跨梁的自振頻率。已知
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解：該題如果按照三個自由度結構去考慮，計算量非常大，容易出錯。如果注意到結構自身的特征，利用對稱性會使計算量大大減少。
考慮結構自身的特點，其振型可分為對稱振動和反對稱振動。
反對稱振動的半結構如圖2（b）所示，該結構為單自由度結構，可通過求柔度系數的方法求頻率。
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對稱振動的半結構如圖2（c）所示，該結構為兩個自由度結構，也可通過求柔度系數的方法求頻率。
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代入（2）式可求出兩個頻率分別為：和。
綜合反對稱的頻率可得原結構的三個頻率分別為
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結 語
本文針對學生在求解多自由度結構自振頻率時存在的困難，根據自己在教學實踐中的探索，提出了自己的一點看法。實踐證明學生掌握了這種方法后會使計算變簡單。在學習中要多做練習，同時，一道題要注意采用多種方法來解。
參考文獻
[1]包世華.結構力學[M].武漢理工大學出版社，2007，167-174.
[2]劉晶波，杜修力.結構動力學[M].工業機械出版社，2011，91-108.
[3]杜方江.結構動力學在建筑結構中的抗震分析[J].科技資訊，2009，N031，69.endprint
摘 要：本文分析了《結構動力學》課程的特點，提出了利用結構對稱性求多自由度結構自振頻率及其相應的主振型的方法。
關鍵詞：結構動力學 ；結構對稱性；自振頻率；主振型
中圖分類號：TU311 文獻標識碼：A
一、概述
《結構動力學》是一門技術性很強的專業基礎課，涉及到的研究領域很多，同時具有鮮明的工程與應用背景，絕大多數學生對這門課有一個共同的感覺：公式多而冗長，計算難而復雜，求解繁瑣而難以掌握，涉及面廣而不易理解，針對上述問題，利用結構自身的特點，使多自由度結構的自振頻率的計算得到簡化。
二、用柔度系數表示的多自由度結構的自振頻率
對多自由度結構進行振動分析，關鍵在于求解出其自振頻率及其相應的主振型。現以柔度法為例，給出n個自由度結構自振頻率和主振型的求解過程。
1振動微分方程的建立
圖1（a）所示為n個自由度結構，在自由振動的任一時刻t，質量造詞的位移為造詞，作用在該質量上的慣性力為，則可建立n個方程
（1）
這里是結構的柔度系數，即單位力作用時質點i的位移（參見圖1（b））。
2微分方程的解及頻率
設解的形式為
并將其帶入（1）式中，便可得到一個由小到大排列的n個自振頻率ω1，ω2，…，ωn。
當時，求出兩個頻率分別為
（2）
三、利用對稱性計算多自由度結構的自振頻率
當一個結構對稱，質量分布也是對稱的結構，那么它的主振型要么是正對稱的，要么是反對稱的，我們可以利用這一點，取半邊結構來計算，這樣可以使計算簡化。下面舉例說明。
例：試求圖2（a）所示三跨梁的自振頻率。已知
；
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解：該題如果按照三個自由度結構去考慮，計算量非常大，容易出錯。如果注意到結構自身的特征，利用對稱性會使計算量大大減少。
考慮結構自身的特點，其振型可分為對稱振動和反對稱振動。
反對稱振動的半結構如圖2（b）所示，該結構為單自由度結構，可通過求柔度系數的方法求頻率。
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對稱振動的半結構如圖2（c）所示，該結構為兩個自由度結構，也可通過求柔度系數的方法求頻率。
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代入（2）式可求出兩個頻率分別為：和。
綜合反對稱的頻率可得原結構的三個頻率分別為
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結 語
本文針對學生在求解多自由度結構自振頻率時存在的困難，根據自己在教學實踐中的探索，提出了自己的一點看法。實踐證明學生掌握了這種方法后會使計算變簡單。在學習中要多做練習，同時，一道題要注意采用多種方法來解。
參考文獻
[1]包世華.結構力學[M].武漢理工大學出版社，2007，167-174.
[2]劉晶波，杜修力.結構動力學[M].工業機械出版社，2011，91-108.
[3]杜方江.結構動力學在建筑結構中的抗震分析[J].科技資訊，2009，N031，69.endprint
