《二次根式》教學(xué)設(shè)計(jì)

李連冬

教學(xué)內(nèi)容:人教版初中數(shù)學(xué)教材八年級(jí)下冊(cè)16章《二次根式》。

教學(xué)目標(biāo)：

知識(shí)與技能：

1.理解二次根式的定義，會(huì)用算術(shù)平方根的概念解釋二次根式的意義。

2.會(huì)確定二次根式有意義的條件，知道 (a ≥0)是非負(fù)數(shù)，并會(huì)運(yùn)用。

3.會(huì)進(jìn)行二次根式的平方運(yùn)算，會(huì)對(duì)被開(kāi)方數(shù)為平方數(shù)的二次根式進(jìn)行化簡(jiǎn)。

過(guò)程與方法：

1.先提出問(wèn)題，讓學(xué)生探討、分析問(wèn)題，師生共同歸納，得出二次根式概念。

2.通過(guò)探究二次根式的條件和結(jié)果，達(dá)成知識(shí)目標(biāo)2。

3.通過(guò)探究 （）2和 所含運(yùn)算、運(yùn)算順序、運(yùn)算結(jié)果分析，歸納并掌握性質(zhì)。

情感態(tài)度與價(jià)值觀(guān)：通過(guò)本節(jié)的學(xué)習(xí)來(lái)培養(yǎng)學(xué)生，準(zhǔn)確歸納概念的科學(xué)精神，經(jīng)過(guò)探索二次根式是否有意義，發(fā)展學(xué)生觀(guān)察、分析、發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的能力。

教學(xué)重點(diǎn)：（1） 有意義的條件。（2）a≥0時(shí) ≥0的應(yīng)用。（3） （）2和 的運(yùn)算、化簡(jiǎn)。

教學(xué)難點(diǎn)：a<0時(shí)， 的化簡(jiǎn)。

教學(xué)流程：

一、創(chuàng)設(shè)情境，提出問(wèn)題

1.電視塔越高，從塔頂發(fā)射的電磁波傳得越遠(yuǎn)，從而能收看到電視節(jié)目的區(qū)域越廣。電視塔高h(yuǎn)（單位：km）與電視節(jié)目信號(hào)的傳播半r（單位：km）之間存在近似關(guān)系 r=，其中地球半徑R≈6400 km，如果兩個(gè)電視塔的高分別是h1km、h2 km，那么它們的傳播半徑之比是，你能化簡(jiǎn)這個(gè)式子嗎？式子 表示什么？公式中 r=中的 表示什么意義？

2.用帶有根號(hào)的式子填空，看看寫(xiě)出的結(jié)果有什么特點(diǎn)。

（1）面積為3的正方形邊長(zhǎng)為（），面積為S 的正方形的邊長(zhǎng)為（）。這個(gè)問(wèn)題中的式子你是怎么得到？得到的兩個(gè)式子有什么不同？

（2）一個(gè)長(zhǎng)方形圍欄，長(zhǎng)是寬2倍，面積為130m2，則它的寬為（）m。這個(gè)問(wèn)題中得到的式子有什么意義？

（3）一個(gè)物體從高處自由落下，落到地面所用的時(shí)間 t（單位：s）與開(kāi)始落下的高度h（單位：m）滿(mǎn)足關(guān)系h =5t2，如果用含有h 的式子表示t，則t為（）。這個(gè)問(wèn)題中當(dāng)h 的值分別為0、10、15、20、25時(shí)，得到的結(jié)果分別是什么？表示的數(shù)怎樣變化？

3.探究二次根式的定義

上面問(wèn)題中，得到的結(jié)果分別是： ,,,

（1）這些式子分別表示什么意義？

（2）這些式子有什么共同特征？

分別表示3、S、65、 的算術(shù)平方根。

這些式子的共同特征是：都表示一個(gè)非負(fù)數(shù)（包括字母或式子表示的非負(fù)數(shù)）的算術(shù)平方根。

（3）根據(jù)你的理解，請(qǐng)寫(xiě)出二次根式的定義。

教師結(jié)合實(shí)際問(wèn)題的引入，引導(dǎo)學(xué)生觀(guān)察所填式子的共同特點(diǎn)，引出二次根式的定義，很明顯 、 、 、 都是一些正數(shù)的算術(shù)平方根。

像這樣一些正數(shù)的算術(shù)平方根的式子，我們就把它稱(chēng)為二次根式。因此，一般地，我們把形如 （a≥0）的式子叫做二次根式，“ ”稱(chēng)為二次根號(hào)。

二、例題講解，練習(xí)提高

1.二次根式有意義條件的探究

例題1：當(dāng)x是多少時(shí)， 在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？

解：由x-2≥0，得當(dāng)x≥2時(shí)，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義。

練習(xí):P31、2題。

2.思考：當(dāng)x是怎樣的實(shí)數(shù)時(shí)， 在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義 呢？

（設(shè)計(jì)意圖：思考題的設(shè)置符合學(xué)生思維發(fā)展的特點(diǎn)，認(rèn)識(shí)只有非負(fù)數(shù)才有算數(shù)平方根，進(jìn)一步認(rèn)識(shí)到二次根式有意義應(yīng)滿(mǎn)足的條件。）

3.學(xué)生活動(dòng)。請(qǐng)同學(xué)們獨(dú)立完成下面三個(gè)問(wèn)題，按照要求完成問(wèn)題，并觀(guān)察寫(xiě)出的結(jié)果有什么特點(diǎn)？

議一議：-1有算術(shù)平方根嗎？0的算術(shù)平方根是多少？當(dāng)a<0， 有意義嗎？

（設(shè)計(jì)意圖:由原有知識(shí)引入，體現(xiàn)由淺入深、循序漸進(jìn)的原則，學(xué)生從中體驗(yàn)學(xué)習(xí)的樂(lè)趣。）

4.兩個(gè)運(yùn)算性質(zhì)

（1）完成課本探究1。

（2）對(duì)（）2 中的運(yùn)算順序、運(yùn)算結(jié)果進(jìn)行分析，歸納出一個(gè)非負(fù)數(shù)先開(kāi)方再平方，結(jié)果不變。

得出性質(zhì)2：（）2=a(a ≥0)

（3）完成課本探究2。

（4）對(duì)中的運(yùn)算順序、運(yùn)算結(jié)果進(jìn)行分析，歸納出一個(gè)非負(fù)數(shù)先平方再開(kāi)方，結(jié)果不變；一個(gè)負(fù)數(shù)先平方再開(kāi)方結(jié)果為相反數(shù)。得出性質(zhì)3：（）2=a(a ≥0)

（設(shè)計(jì)意圖：對(duì)運(yùn)算順序的分析在于弄清兩種運(yùn)算的區(qū)別，從而弄清對(duì)字母a的要求不同，計(jì)算結(jié)果也因a而異。）

三、鞏固訓(xùn)練達(dá)標(biāo)檢測(cè)

1.下列式子中，是二次根式的是（）。

A.-B.C.D.x

2.下列式子中，不是二次根式的是（）。

A.B. C.D.

3.化簡(jiǎn)： 2， 2

（設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生活動(dòng)獨(dú)立完成鞏固訓(xùn)練部分習(xí)題，教師給予適當(dāng)指導(dǎo)，學(xué)生總結(jié)反饋學(xué)習(xí)效果。）

四、知識(shí)梳理，課堂小結(jié)

1.形如 （a≥0）的式子叫做二次根式，“ ”稱(chēng)為二次根號(hào)。

2.使二次根式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，必須滿(mǎn)足被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)。

3.二次根式的兩個(gè)運(yùn)算性質(zhì)，平方為“父對(duì)象”，開(kāi)方為“子對(duì)象”。

4.簡(jiǎn)單介紹代數(shù)式的概念。

（設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生自己總結(jié)學(xué)習(xí)收獲，進(jìn)一步整理本節(jié)課的知識(shí)脈絡(luò)，及時(shí)查缺補(bǔ)漏。）

五、布置作業(yè)

六、板書(shū)設(shè)計(jì)（略）

（責(zé)任編輯 史玉英）

教學(xué)內(nèi)容:人教版初中數(shù)學(xué)教材八年級(jí)下冊(cè)16章《二次根式》。

教學(xué)目標(biāo)：

知識(shí)與技能：

1.理解二次根式的定義，會(huì)用算術(shù)平方根的概念解釋二次根式的意義。

2.會(huì)確定二次根式有意義的條件，知道 (a ≥0)是非負(fù)數(shù)，并會(huì)運(yùn)用。

3.會(huì)進(jìn)行二次根式的平方運(yùn)算，會(huì)對(duì)被開(kāi)方數(shù)為平方數(shù)的二次根式進(jìn)行化簡(jiǎn)。

過(guò)程與方法：

1.先提出問(wèn)題，讓學(xué)生探討、分析問(wèn)題，師生共同歸納，得出二次根式概念。

2.通過(guò)探究二次根式的條件和結(jié)果，達(dá)成知識(shí)目標(biāo)2。

3.通過(guò)探究 （）2和 所含運(yùn)算、運(yùn)算順序、運(yùn)算結(jié)果分析，歸納并掌握性質(zhì)。

情感態(tài)度與價(jià)值觀(guān)：通過(guò)本節(jié)的學(xué)習(xí)來(lái)培養(yǎng)學(xué)生，準(zhǔn)確歸納概念的科學(xué)精神，經(jīng)過(guò)探索二次根式是否有意義，發(fā)展學(xué)生觀(guān)察、分析、發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的能力。

教學(xué)重點(diǎn)：（1） 有意義的條件。（2）a≥0時(shí) ≥0的應(yīng)用。（3） （）2和 的運(yùn)算、化簡(jiǎn)。

教學(xué)難點(diǎn)：a<0時(shí)， 的化簡(jiǎn)。

教學(xué)流程：

一、創(chuàng)設(shè)情境，提出問(wèn)題

1.電視塔越高，從塔頂發(fā)射的電磁波傳得越遠(yuǎn)，從而能收看到電視節(jié)目的區(qū)域越廣。電視塔高h(yuǎn)（單位：km）與電視節(jié)目信號(hào)的傳播半r（單位：km）之間存在近似關(guān)系 r=，其中地球半徑R≈6400 km，如果兩個(gè)電視塔的高分別是h1km、h2 km，那么它們的傳播半徑之比是，你能化簡(jiǎn)這個(gè)式子嗎？式子 表示什么？公式中 r=中的 表示什么意義？

2.用帶有根號(hào)的式子填空，看看寫(xiě)出的結(jié)果有什么特點(diǎn)。

（1）面積為3的正方形邊長(zhǎng)為（），面積為S 的正方形的邊長(zhǎng)為（）。這個(gè)問(wèn)題中的式子你是怎么得到？得到的兩個(gè)式子有什么不同？

（2）一個(gè)長(zhǎng)方形圍欄，長(zhǎng)是寬2倍，面積為130m2，則它的寬為（）m。這個(gè)問(wèn)題中得到的式子有什么意義？

（3）一個(gè)物體從高處自由落下，落到地面所用的時(shí)間 t（單位：s）與開(kāi)始落下的高度h（單位：m）滿(mǎn)足關(guān)系h =5t2，如果用含有h 的式子表示t，則t為（）。這個(gè)問(wèn)題中當(dāng)h 的值分別為0、10、15、20、25時(shí)，得到的結(jié)果分別是什么？表示的數(shù)怎樣變化？

3.探究二次根式的定義

上面問(wèn)題中，得到的結(jié)果分別是： ,,,

（1）這些式子分別表示什么意義？

（2）這些式子有什么共同特征？

分別表示3、S、65、 的算術(shù)平方根。

這些式子的共同特征是：都表示一個(gè)非負(fù)數(shù)（包括字母或式子表示的非負(fù)數(shù)）的算術(shù)平方根。

（3）根據(jù)你的理解，請(qǐng)寫(xiě)出二次根式的定義。

教師結(jié)合實(shí)際問(wèn)題的引入，引導(dǎo)學(xué)生觀(guān)察所填式子的共同特點(diǎn)，引出二次根式的定義，很明顯 、 、 、 都是一些正數(shù)的算術(shù)平方根。

像這樣一些正數(shù)的算術(shù)平方根的式子，我們就把它稱(chēng)為二次根式。因此，一般地，我們把形如 （a≥0）的式子叫做二次根式，“ ”稱(chēng)為二次根號(hào)。

二、例題講解，練習(xí)提高

1.二次根式有意義條件的探究

例題1：當(dāng)x是多少時(shí)， 在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？

解：由x-2≥0，得當(dāng)x≥2時(shí)，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義。

練習(xí):P31、2題。

2.思考：當(dāng)x是怎樣的實(shí)數(shù)時(shí)， 在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義 呢？

（設(shè)計(jì)意圖：思考題的設(shè)置符合學(xué)生思維發(fā)展的特點(diǎn)，認(rèn)識(shí)只有非負(fù)數(shù)才有算數(shù)平方根，進(jìn)一步認(rèn)識(shí)到二次根式有意義應(yīng)滿(mǎn)足的條件。）

3.學(xué)生活動(dòng)。請(qǐng)同學(xué)們獨(dú)立完成下面三個(gè)問(wèn)題，按照要求完成問(wèn)題，并觀(guān)察寫(xiě)出的結(jié)果有什么特點(diǎn)？

議一議：-1有算術(shù)平方根嗎？0的算術(shù)平方根是多少？當(dāng)a<0， 有意義嗎？

（設(shè)計(jì)意圖:由原有知識(shí)引入，體現(xiàn)由淺入深、循序漸進(jìn)的原則，學(xué)生從中體驗(yàn)學(xué)習(xí)的樂(lè)趣。）

4.兩個(gè)運(yùn)算性質(zhì)

（1）完成課本探究1。

（2）對(duì)（）2 中的運(yùn)算順序、運(yùn)算結(jié)果進(jìn)行分析，歸納出一個(gè)非負(fù)數(shù)先開(kāi)方再平方，結(jié)果不變。

得出性質(zhì)2：（）2=a(a ≥0)

（3）完成課本探究2。

（4）對(duì)中的運(yùn)算順序、運(yùn)算結(jié)果進(jìn)行分析，歸納出一個(gè)非負(fù)數(shù)先平方再開(kāi)方，結(jié)果不變；一個(gè)負(fù)數(shù)先平方再開(kāi)方結(jié)果為相反數(shù)。得出性質(zhì)3：（）2=a(a ≥0)

（設(shè)計(jì)意圖：對(duì)運(yùn)算順序的分析在于弄清兩種運(yùn)算的區(qū)別，從而弄清對(duì)字母a的要求不同，計(jì)算結(jié)果也因a而異。）

三、鞏固訓(xùn)練達(dá)標(biāo)檢測(cè)

1.下列式子中，是二次根式的是（）。

A.-B.C.D.x

2.下列式子中，不是二次根式的是（）。

A.B. C.D.

3.化簡(jiǎn)： 2， 2

（設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生活動(dòng)獨(dú)立完成鞏固訓(xùn)練部分習(xí)題，教師給予適當(dāng)指導(dǎo)，學(xué)生總結(jié)反饋學(xué)習(xí)效果。）

四、知識(shí)梳理，課堂小結(jié)

1.形如 （a≥0）的式子叫做二次根式，“ ”稱(chēng)為二次根號(hào)。

2.使二次根式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，必須滿(mǎn)足被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)。

3.二次根式的兩個(gè)運(yùn)算性質(zhì)，平方為“父對(duì)象”，開(kāi)方為“子對(duì)象”。

4.簡(jiǎn)單介紹代數(shù)式的概念。

（設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生自己總結(jié)學(xué)習(xí)收獲，進(jìn)一步整理本節(jié)課的知識(shí)脈絡(luò)，及時(shí)查缺補(bǔ)漏。）

五、布置作業(yè)

六、板書(shū)設(shè)計(jì)（略）

（責(zé)任編輯 史玉英）

教學(xué)內(nèi)容:人教版初中數(shù)學(xué)教材八年級(jí)下冊(cè)16章《二次根式》。

教學(xué)目標(biāo)：

知識(shí)與技能：

1.理解二次根式的定義，會(huì)用算術(shù)平方根的概念解釋二次根式的意義。

2.會(huì)確定二次根式有意義的條件，知道 (a ≥0)是非負(fù)數(shù)，并會(huì)運(yùn)用。

3.會(huì)進(jìn)行二次根式的平方運(yùn)算，會(huì)對(duì)被開(kāi)方數(shù)為平方數(shù)的二次根式進(jìn)行化簡(jiǎn)。

過(guò)程與方法：

1.先提出問(wèn)題，讓學(xué)生探討、分析問(wèn)題，師生共同歸納，得出二次根式概念。

2.通過(guò)探究二次根式的條件和結(jié)果，達(dá)成知識(shí)目標(biāo)2。

3.通過(guò)探究 （）2和 所含運(yùn)算、運(yùn)算順序、運(yùn)算結(jié)果分析，歸納并掌握性質(zhì)。

情感態(tài)度與價(jià)值觀(guān)：通過(guò)本節(jié)的學(xué)習(xí)來(lái)培養(yǎng)學(xué)生，準(zhǔn)確歸納概念的科學(xué)精神，經(jīng)過(guò)探索二次根式是否有意義，發(fā)展學(xué)生觀(guān)察、分析、發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的能力。

教學(xué)重點(diǎn)：（1） 有意義的條件。（2）a≥0時(shí) ≥0的應(yīng)用。（3） （）2和 的運(yùn)算、化簡(jiǎn)。

教學(xué)難點(diǎn)：a<0時(shí)， 的化簡(jiǎn)。

教學(xué)流程：

一、創(chuàng)設(shè)情境，提出問(wèn)題

1.電視塔越高，從塔頂發(fā)射的電磁波傳得越遠(yuǎn)，從而能收看到電視節(jié)目的區(qū)域越廣。電視塔高h(yuǎn)（單位：km）與電視節(jié)目信號(hào)的傳播半r（單位：km）之間存在近似關(guān)系 r=，其中地球半徑R≈6400 km，如果兩個(gè)電視塔的高分別是h1km、h2 km，那么它們的傳播半徑之比是，你能化簡(jiǎn)這個(gè)式子嗎？式子 表示什么？公式中 r=中的 表示什么意義？

2.用帶有根號(hào)的式子填空，看看寫(xiě)出的結(jié)果有什么特點(diǎn)。

（1）面積為3的正方形邊長(zhǎng)為（），面積為S 的正方形的邊長(zhǎng)為（）。這個(gè)問(wèn)題中的式子你是怎么得到？得到的兩個(gè)式子有什么不同？

（2）一個(gè)長(zhǎng)方形圍欄，長(zhǎng)是寬2倍，面積為130m2，則它的寬為（）m。這個(gè)問(wèn)題中得到的式子有什么意義？

（3）一個(gè)物體從高處自由落下，落到地面所用的時(shí)間 t（單位：s）與開(kāi)始落下的高度h（單位：m）滿(mǎn)足關(guān)系h =5t2，如果用含有h 的式子表示t，則t為（）。這個(gè)問(wèn)題中當(dāng)h 的值分別為0、10、15、20、25時(shí)，得到的結(jié)果分別是什么？表示的數(shù)怎樣變化？

3.探究二次根式的定義

上面問(wèn)題中，得到的結(jié)果分別是： ,,,

（1）這些式子分別表示什么意義？

（2）這些式子有什么共同特征？

分別表示3、S、65、 的算術(shù)平方根。

這些式子的共同特征是：都表示一個(gè)非負(fù)數(shù)（包括字母或式子表示的非負(fù)數(shù)）的算術(shù)平方根。

（3）根據(jù)你的理解，請(qǐng)寫(xiě)出二次根式的定義。

教師結(jié)合實(shí)際問(wèn)題的引入，引導(dǎo)學(xué)生觀(guān)察所填式子的共同特點(diǎn)，引出二次根式的定義，很明顯 、 、 、 都是一些正數(shù)的算術(shù)平方根。

像這樣一些正數(shù)的算術(shù)平方根的式子，我們就把它稱(chēng)為二次根式。因此，一般地，我們把形如 （a≥0）的式子叫做二次根式，“ ”稱(chēng)為二次根號(hào)。

二、例題講解，練習(xí)提高

1.二次根式有意義條件的探究

例題1：當(dāng)x是多少時(shí)， 在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？

解：由x-2≥0，得當(dāng)x≥2時(shí)，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義。

練習(xí):P31、2題。

2.思考：當(dāng)x是怎樣的實(shí)數(shù)時(shí)， 在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義 呢？

（設(shè)計(jì)意圖：思考題的設(shè)置符合學(xué)生思維發(fā)展的特點(diǎn)，認(rèn)識(shí)只有非負(fù)數(shù)才有算數(shù)平方根，進(jìn)一步認(rèn)識(shí)到二次根式有意義應(yīng)滿(mǎn)足的條件。）

3.學(xué)生活動(dòng)。請(qǐng)同學(xué)們獨(dú)立完成下面三個(gè)問(wèn)題，按照要求完成問(wèn)題，并觀(guān)察寫(xiě)出的結(jié)果有什么特點(diǎn)？

議一議：-1有算術(shù)平方根嗎？0的算術(shù)平方根是多少？當(dāng)a<0， 有意義嗎？

（設(shè)計(jì)意圖:由原有知識(shí)引入，體現(xiàn)由淺入深、循序漸進(jìn)的原則，學(xué)生從中體驗(yàn)學(xué)習(xí)的樂(lè)趣。）

4.兩個(gè)運(yùn)算性質(zhì)

（1）完成課本探究1。

（2）對(duì)（）2 中的運(yùn)算順序、運(yùn)算結(jié)果進(jìn)行分析，歸納出一個(gè)非負(fù)數(shù)先開(kāi)方再平方，結(jié)果不變。

得出性質(zhì)2：（）2=a(a ≥0)

（3）完成課本探究2。

（4）對(duì)中的運(yùn)算順序、運(yùn)算結(jié)果進(jìn)行分析，歸納出一個(gè)非負(fù)數(shù)先平方再開(kāi)方，結(jié)果不變；一個(gè)負(fù)數(shù)先平方再開(kāi)方結(jié)果為相反數(shù)。得出性質(zhì)3：（）2=a(a ≥0)

（設(shè)計(jì)意圖：對(duì)運(yùn)算順序的分析在于弄清兩種運(yùn)算的區(qū)別，從而弄清對(duì)字母a的要求不同，計(jì)算結(jié)果也因a而異。）

三、鞏固訓(xùn)練達(dá)標(biāo)檢測(cè)

1.下列式子中，是二次根式的是（）。

A.-B.C.D.x

2.下列式子中，不是二次根式的是（）。

A.B. C.D.

3.化簡(jiǎn)： 2， 2

（設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生活動(dòng)獨(dú)立完成鞏固訓(xùn)練部分習(xí)題，教師給予適當(dāng)指導(dǎo)，學(xué)生總結(jié)反饋學(xué)習(xí)效果。）

四、知識(shí)梳理，課堂小結(jié)

1.形如 （a≥0）的式子叫做二次根式，“ ”稱(chēng)為二次根號(hào)。

2.使二次根式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，必須滿(mǎn)足被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)。

3.二次根式的兩個(gè)運(yùn)算性質(zhì)，平方為“父對(duì)象”，開(kāi)方為“子對(duì)象”。

4.簡(jiǎn)單介紹代數(shù)式的概念。

（設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生自己總結(jié)學(xué)習(xí)收獲，進(jìn)一步整理本節(jié)課的知識(shí)脈絡(luò)，及時(shí)查缺補(bǔ)漏。）

五、布置作業(yè)

六、板書(shū)設(shè)計(jì)（略）

（責(zé)任編輯 史玉英）