基于GMS摩擦模型的機器人低速運動研究*

靳興來，朱世強，吳文祥

(浙江大學 流體動力與機電系統國家重點實驗室，浙江 杭州 310027)

0 引 言

在伺服系統中，摩擦是一種難以避免的、復雜的非線性擾動因素[1]，摩擦力嚴重制約了機器人的低速運動性能。由于摩擦的非線性，其影響主要表現在：在低速跟蹤時，存在“滯滑”現象，產生靜態誤差，影響跟蹤和定位精度；速度過零時，由于摩擦力的不連續變化，導致出現波形畸變。文獻[2]中分析了低速運動時的爬行現象，指出了摩擦力作為主要干擾因素所造成的影響。文獻[3]指出由于摩擦力的強非線性，通過線性反饋控制系統只能部分地減弱摩擦力的影響。因此,基于模型的摩擦力補償對于低速控制是十分有效的方法。然而，目前針對摩擦問題的研究多集中于常速狀況，忽略了低速運動研究的意義。近來，倪風雷等人[4]將GMS(generalized Maxwell-slip)模型應用在拖動系統中，低速控制效果明顯。

本文為了提高機器人關節的低速運動性能，減小軌跡跟蹤誤差，進行了基于GMS摩擦模型前饋補償的相關研究，為了將前饋補償引入機械手控制系統，設計了電機的力矩控制系統。

1 GMS摩擦模型

1.1 摩擦機理

通過對摩擦力機制的深入研究，人們逐漸發現摩擦力存在2種機制：預滑動機制和滑動機制。在預滑動階段，基于位移的粘性摩擦力起主要作用，因此,摩擦力表現為微變形的關系式,隨著微變形量的增加，最終會產生滑動。在滑動階段，摩擦力與速度相關[5]。文獻[6]指出了目前應用較廣的摩擦模型存在不能辨識預滑動階段摩擦力的缺點，通過實驗對比，驗證了GMS模型在低速控制時的優點。

GMS模型能夠描述摩擦的3個基本現象：常速狀態下的Stribeck效應；預滑動階段的不具有局部記憶的滯回效應；滑動階段的摩擦記憶。

1.2 GMS模型表達式

目前實用的摩擦模型多是基于一個摩擦力方程和一個狀態方程的，而GMS模型則通過引入一個含系統變量的狀態方程來更加全面地描述摩擦力[7]。文獻[8]指出GMS模型是一種具有物理假想意義的摩擦模型，它假想為包含若干個狀態單一的并聯摩擦單元，這些單元包含相同的輸入，即速度v，總的摩擦力可看做是所有單元狀態輸出的綜合。考慮粘性摩擦的情況下，其數學表達式如下

(1)

式中N為并聯的基本摩擦單元數量；Fi為單個摩擦單元的摩擦力；σ為粘滯摩擦系數；v為速度。其中，每個單元的動態摩擦力Fi由以下微分方程給出：

1)當摩擦單元i處于粘滯狀態時，狀態方程為

(2)

式中ki為單元的剛度系數。粘滯狀態維持至Fi>αis(v)，其中，αi為常數,s(v)為模型的Stribeck曲線。

2)當摩擦單元i處于滑動狀態時，狀態方程為

(3)

式中αi為單元的權值系數，決定了每一單元停滯狀態時的力Fi的最大值；C為常數，決定了GMS模型摩擦力在滑動區域收斂于Stribeck曲線的程度。因此,Stribeck曲線的辨識精度能夠影響GMS模型在滑動狀態時的控制效果，滑動狀態維持至v接近0。s(v)的表達式如下式

s(v)=(Fc+(Fs-Fc)e-|v/vs|δ)sgnv+σv,

(4)

式中Fc為庫倫摩擦力；Fs為最大靜摩擦力；vs為Stribeck速度；δ為一指數項，在0.5～2之間取值；σ為粘性摩擦系數。

2 實驗平臺

為了得到GMS模型在實際應用領域的控制效果，基于自主研制的六自由度機械手平臺進行實驗，實驗平臺如圖1。該機械手采用上位機+下位機的控制架構，上位機為工控機，下位機是DSP+CPLD架構的多軸運動控制卡，本文的控制算法即在下位機中實現。為了能夠避免重力、慣性力等因素對模型參數辨識帶來的干擾，選擇機械手的第一關節進行勻速實驗,如式(5)

(5)

式中J為等效到電機上的等效轉動慣量；T為驅動力矩；Tf為負載力矩，主要是摩擦產生的阻力矩。

圖1 六自由度機械手

3 實驗設計

3.1 Stribeck曲線參數的辨識

目前常用的離線參數辨識方法有最小二乘法、非線性回歸方法等。由于摩擦本身是一個復雜的非線性現象，它與負載大小、運動速度、環境溫度、機械結構等因素有關，所以，用經典的系統辨識方法很難得到比較準確的摩擦模型參數。由于遺傳算法具有不依賴于被控對象的精確數學模型、適合在線學習等特點[9]，因此,采用遺傳算法進行參數辨識。設計機械手第一關節的控制電機在速度區間[-700,700]r/min勻速運行。具體步驟為：±5～±50 r/min期間以±5 r/min的遞增；±50～±100 r/min期間以±10 r/min遞增；±100～±400 r/min期間以±20 r/min遞增；±400～±700 r/min期間以±50 r/min遞增。式(4)中當δ=2時，為Tustin模型，設置遺傳算法的種群規模為100，遺傳代數為25 000，設置目標函數為式(6)，個體適應度為式(7)

(6)

fm=1/Lm,m=1,2,…，M,

(7)

式中H為所采樣速度的個數；M為種群規模；ei為個體i的誤差。當交叉概率為0.9時,可以得到辨識結果如圖2。

含δ的辨識與Tustin辨識模型的誤差對比如圖3，Tustin模型辨識誤差小且模型簡單。

圖2 軌跡擬合

圖3 辨識誤差對比

辨識得到的模型參數如表1。

表1 Stribeck模型參數

3.2 粘滯曲線參數辨識

為了辨識預滑動摩擦力的參數，需要得到粘滯曲線。由于粘滯摩擦力決定于摩擦單元的狀態變量，狀態變量不能直接測量，但是卻可以通過運動狀態估計得到。文獻[5]中指出，可以設計一個周期性運動，使得伺服系統做周期運動并且要保證處在預滑動狀態。本文設計了具有較小幅值的做勻速周期運動的軌跡，如圖4。

圖4 關節運動軌跡

設置伺服驅動器在力矩模式下控制電機，通過下位機實現關節運行圖4的軌跡，可得到扭矩—轉角圖。由于存在噪聲等干擾信號，因此，設計了低通濾波器，一階低通濾波器如式(8)

(8)

式中T為時間常數。

本文采用其離散形式，如式(9)

Yn=λXn+(1-λ)Yn-1,

(9)

式中Xn為本次采樣值，Yn-1為上次濾波輸出值，Yn為本次濾波值，λ為濾波系數。

濾波效果如圖5。

圖5 預滑動軌跡

3.3 GMS模型參數辨識

通過圖5兩組曲線，就可以得到GMS模型。文獻[10]中指出，預滑動曲線可近似看做分段曲線，而第一個上升階段的分段曲線決定了模型的特征狀態。其方法是在第一段內取5個狀態點P0～P5，分別為P0(0,0),P1(0.004 903,42.79),P2(0.008 535，49.56),P3(0.020 2,51.68),P4(0.035 5,52.95)，由于電機減速比為121，可以轉化為電機所對應的5個點。參考文獻[3]中的方法，可以得到各線段的斜率為ko=0.596 0 N·m/(°)，ka=0.127 4 N·m/(°)，kb=0.012 4 N·m/(°)，kc=0.005 7 N·m/(°)，同時利用式(10)，可以求得式(2)中的系數ki

(10)

最后，利用式(11)求取權值系數αi

(11)

式中j為還處于粘滯摩擦狀態的單元；ΔP=Pi-P0，表示滑動臨界點的相對位移；kj為由分段函數確定的比例系數。

通過以上分析，可辨識得到GMS模型所需要的參數，如表2。

4 實 驗

利用上述的辨識結果，在機械手第一關節控制系統中分別將GMS摩擦模型、Stribeck摩擦模型作為補償項引入。速度通過電機自帶的編碼器反饋得到，并經過低通濾波器濾除噪聲干擾。控制原理如圖6。

圖6 控制系統原理圖

為了充分驗證模型的作用，設計的跟蹤軌跡為關節低速下的大范圍運動如圖7，得到跟蹤誤差對比如圖8。

圖7 跟蹤軌跡

圖8 跟蹤誤差對比圖

通過圖8可以直觀地分析出：

1)當只有普通的PID控制而無前饋補償時，機械手軌跡跟蹤誤差為0.28°。

2)加入本文辨識的Stribeck模型作為前饋補償后，軌跡跟蹤誤差顯著減小至0.012°，但是在起止位置和換向位置處，存在較大誤差，尤其是換向位置存在突變。

3)加入本文辨識的GMS模型作為前饋補償后，誤差進一步縮小，并且消除了換向位置處的誤差突變，整體的控制效果更優。

5 結 論

針對機械手低速應用場合的不斷拓展，本文分析了影響低速運動性能的主要干擾源，鑒于當前對機械手關節摩擦補償方法仍為傳統的Stribeck,LuGre等模型，而這些模型并不能準確描述預滑動階段的摩擦特性。本文介紹了能夠全面描述摩擦特性的GMS摩擦模型，詳細講述了模型的參數辨識和應用方法。最后，通過對機械手第一關節運動的前饋補償控制，驗證了該模型的有效性。

參考文獻:

[1]周金柱，段寶巖，黃 進.LuGre摩擦模型對伺服系統的影響與補償[J].控制理論與應用，2008，25(6):990-994.

[2]李 強.并聯電液伺服六自由度平臺系統低速運動研究[D].杭州：浙江大學，2008:5-8.

[3]Jamaludin Z，Van Brussel H，Swevers J.Quadrant glitch compensation using friction model-based feedforward and an inverse-model-based disturbance observer[C]∥Proceedings of the 10th IEEE International Workshop on Advanced Motion Control，Trento，2008:212-217.

[4]倪風雷，劉 宏，介黨陽.基于速度觀測器的GMS摩擦模型辨識與補償[J].電機與控制學報，2012，16(11)：70-75.

[5]Lampaert Vencent,Al-Bender Farid,Swevers Jan.A generalized Maxwell-slip friction model appropriate for control purposes[J].Physics and Control，2003，4:1170-1177.

[6]Lampaert V,Swevers J,Al-Bender F.Experimental comparison of different friction models for accurate low-velocity tracking[C]∥Proceedings of the 10th Mediterranean Conference on Control and Automation，Lisbon,Portugal，2002.

[7]Al-Bender Farid,Lampaert Vincent,Swevers Jan.The generalized Maxwell-slip model:A novel model for friction simulation and compensation[J].IEEE Transactions on Automatic Control，2005，50(11)：1883-1887.

[8]Lampaert Vincent ,Swevers Jan ,Al-Bender Farid.Comparison of model and non-model based friction compensation[C]∥Procee-dings of the 2004 American Control Conference，Boston，2004： 1121-1126.

[9]劉金琨.機器人控制系統的設計與MATLAB仿真[M].北京：清華大學出版社，2008：615-627.

[10] Ruderman Michael.Modeling and identification of elastic robots joints with hysteresis and backlash[J].IEEE Transactions on Industrial Electronics，2009，56(10):3840-3847.