用X射線衍射儀測量普朗克常量

王合英，孫文博

（清華大學物理系，北京 100084）

用X射線衍射儀測量普朗克常量

王合英，孫文博

（清華大學物理系，北京 100084）

討論了用X射線衍射儀測量普朗克常量的誤差來源和改進方法.由于儀器結構和所用透明單晶樣品對譜線的展寬效應使不同電壓對應的最短波長測量值減小，在計算普朗克常量時應對實驗測量的各最短波長進行修正.結果表明用修正的最短波長擬合得到的普朗克常量與理論值基本一致.

普朗克常量；X射線衍射儀；譜線展寬

1 引 言

普朗克常量是人類探索自然的過程中最偉大的發現之一，在物理學發展史上是一個重要的里程碑，它是聯系經典物理和近代物理的橋梁.我國各高等院校普遍開設了用光電效應法測量普朗克常量的實驗，但實驗誤差較大.不少文獻對此進行了分析與討論［1-7］.葉企孫先生曾于1921年在Harvard大學用X射線測量普朗克常量［8］.本文介紹用X射線衍射儀測量普朗克常量的方法，并討論其誤差來源和改進方案.

2 實驗原理

X射線的產生是利用高速電子和物質原子的碰撞來實現.從X射線管發出的X射線分為連續光譜和特征光譜.高速電子到達陽極靶表面時，電子的運動突然受阻，根據電磁場理論，這種電子產生軔致輻射，向外發射電磁波.由于電子的數量很多，它們到達陽極靶上的條件和時間不同，而且入射電子的能量未完全轉化為X射線或轉化程度不同，因而形成具有各種波長的連續X射線譜.連續譜中的最短波長相當于最大的電子能量，即短波限波長或截止波長λmin.截止波長與靶材料的種類無關，僅取決于外加電壓U 的大小.X射線管高壓越高最短波長越短.1915年美國物理學家William Duane和Franklin L.Hunt發現最短波長的倒數與所加高壓成正比，稱為Duane-Hunt關系.

Duane-Hunt關系可以用量子理論解釋：能量為eU的電子和物質碰撞產生光量子時，光量子的能量最多等于電子的能量，因此輻射必定有頻率上限νmax，對應最短波長λmin，則有：

式中，h為普朗克常量，c為光速，e為電子電荷.由此可得：

X射線連續譜波長的確定依據布拉格公式

式中，θ為掠射角，d為NaCl晶面間距.已知NaCl（100）的晶面間距d＝282.01 pm，根據測量的衍射角利用式（3）計算相應的X射線連續譜的波長.

3 實 驗

實驗用德國Leybold教學儀器廠生產的X射線衍射儀通過NaCl單晶反射得到不同電壓下X射線連續譜，求出不同電壓下X射線連續譜的最短波長.所用X射線由電子轟擊Mo靶產生.測量時首先對X射線衍射儀的測角儀用NaCl單晶衍射進行校準，以保證測量角度的準確性，進而保證計算出最短波長的準確性.測量普朗克常量時X光管的電壓變化范圍為22～35 k V，電流為1 m A，測量角度范圍為2.5°～6.5°，角步幅0.1°，以耦合掃描方式，使傳感器與靶臺轉角按2∶1耦合轉動，用計算機進行數據采集和處理.

4 結果分析與討論

圖1給出用耦合掃描方式得到NaCl單晶樣品（100）晶面的X射線衍射譜.從圖1可以看出X射線譜是由連續譜上疊加2個特征峰Kβ和Kα組成的，6個衍射峰分別對應X射線特征譜線Kβ和Kα在NaCl（100）晶面的一級、二級和三級衍射.Kα的一級衍射峰對應的入射角為7.2°，與理論值相符，說明儀器的角度測量準確.

圖1 NaCl單晶（100）晶面的X射線衍射譜

用NaCl單晶作為樣品，改變電壓，在2.5～6.5°范圍分別測量不同電壓下X射線連續譜如圖2所示.

圖2 不同電壓下NaCl單晶反射得到的X射線連續譜

根據圖2利用線性擬合得到不同電壓對應的X射線的最短波長如表1所示.

表1 不同電壓下X射線連續譜的最短波長

將λmin和1/U進行線性擬合，得到擬合直線斜率A＝1 215.6 pm·k V.由（2）式知

由（4）式計算普朗克常量h＝6.49×10－34J·s，小于理論值h＝6.63×10－34J·s.

用線性擬合方法確定最短波長，與實驗者選取擬合的線性區間有很大關系，造成一定的隨機誤差.但從學生做實驗的結果看，幾乎所有學生用這種方法計算出的普朗克常量都略小于理論值，說明這種方法測量普朗克常量的誤差不僅來源于擬合數據取值的隨機誤差，還應有其他誤差來源.

X射線衍射儀的譜線峰型既和儀器的構造、實驗條件有關，也和實驗所用樣品的結構有關.本實驗所用的X射線衍射儀結構比較簡單，X射線入射斜縫和出射狹縫是固定斜縫，而且有一定寬度，同時儀器的響應函數并不是Delta函數，導致測得的譜線有一定展寬.最重要的是所用NaCl單晶樣品是透明晶體，即使不考慮晶體內缺陷或應力的影響，透明晶體對射線吸收系數小，使得入射到樣品的X射線不僅在樣品表面發生反射，在樣品內部的晶面也發生較強的反射，導致峰寬增加.以上因素都使在不同電壓下得到的截止波長λmin比實際的截止波長小，從而導致普朗克常量h的測量值偏小.為了較精確地測量普朗克常量，應該對譜線展寬造成的截止波長變小的影響進行修正.

據文獻報道，Mo原子所產生的X射線特征譜中Kα＝71.08 pm的譜線的自然展寬約為FWHM＝0.026 pm［9］，而從圖1中NaCl單晶衍射圖的實驗數據測得一級衍射峰的半峰全寬FWHM約為2.4 pm（35 k V加速電壓），比自然展寬大近2個數量級，說明譜線展寬對實驗結果有重要的影響.可以利用NaCl單晶產生的一級布拉格衍射峰測量該儀器在實驗中產生的2條特征譜線的展寬，利用該展寬值對極限波長法測h中測得的λmin進行修正，以得到比較真實的最短波長λmin.

由于最短波長與電壓有關，要對不同電壓下的最短波長進行修正，應測量不同電壓下的NaCl晶體X射線衍射峰的FWHM的大小，然后用擬合得到的λmin值加上這些FWH M的一半就可以得到修正后的.

表2 不同電壓對應的Kα特征譜線的FWHM以及對應λmin的修正值

表2 不同電壓對應的Kα特征譜線的FWHM以及對應λmin的修正值

U/k V I/m A FWH M/pmλmin/pm λ*min/pm 35 1.00 2.4 34.3 35.5 34 1.00 2.4 35.2 36.4 32 1.00 2.4 37.2 38.4 30 1.00 2.4 40.2 41.4 28 1.00 2.4 43.2 44.4 26 1.00 2.4 46.2 47.4 24 1.00 2.4 50.1 51.3 22 1.00 2.2 55.0 56.1

在不同加速電壓下測量得到的特征譜線Kα的半峰全寬FWHM、最短波長λmin及最短波長修正值見表2.表2中前2列數據分別為X射線管的電壓和電流，第3列是不同電壓條件下Mo原子的特征譜Kα線經NaCl單晶（100）晶面衍射形成的一級衍射峰的半峰全寬FWH M值；第4列λmin為不同電壓下測量X射線連續譜的最短波長值，第5列為用半峰全寬對譜線展寬效應修正后的最短波長.譜線展寬效應的修正方法由（5）式給出：過原點作表2中的直線擬合圖，如圖3所示.線性擬合系數為A*＝1 237.7 pm·k V.將A*＝1 237.7 pm·k V代入（4）式，計算出普朗克常量h＝6.61×10－34J·s.可見對最短波長修正后得到的普朗克常量較修正之前更接近真實值h＝6.63×10－34J·s.這表明用X射線衍射儀測量普朗克常量時應該考慮儀器結構和透明單晶樣品反射所造成的譜線展寬的影響.用衍射峰半峰全寬對X射線連續譜的最短波長加以修正，是用X射線衍射儀精確測量普朗克常量的有效方法.

5 結 論

本實驗用X射線衍射儀通過測量不同電壓下X射線連續譜的最短波長，利用Duane-Hunt關系測算普朗克常量.考慮到因儀器結構和所用透明單晶樣品對譜線的展寬效應使不同電壓對應的最短波長測量值減小，用衍射方法得到該儀器相同實驗條件下的譜峰展寬值，然后對實驗測量的各最短波長進行修正.結果表明最短波長修正后得到的普朗克常量與理論值基本一致.因此，用測量X射線截止波長的方法測量普朗克常量時，應考慮實驗儀器和實驗條件所產生的譜線展寬效應并對其加以修正.

［1］ 汪志剛，施壽生.光電效應法測定普朗克常數實驗的幾個問題［J］.樂山師范學院學報［J］.2004，19（12）：36-38.

［2］ 袁俊輝.普朗克常數測定的研究［D］.武漢：華中師范大學，2006.

［3］ 張杰.普朗克常數的測量和作圖誤差分析［J］.物理實驗，1998，18（3）：21-22.

［4］ 吳麗君，李倩.光電效應測普朗克常數的三種方法［J］.大學物理實驗，2007，20（4）：49-52.

［5］ 武穎麗，李平舟.趨近平均法測量普朗克常量［J］.物理實驗，2007，27（4）：42-43.

［6］ 周永軍，樸林鶴，呂佳.在光電效應測定普朗克常數實驗中測量方法的討論［J］.沈陽航空航天大學學報，2011，28（2）：85-87.

［7］ 黃勇.測量普朗克常量實驗數據處理［J］.物理實驗，2011，31（3）：25-28.

［8］ Duane W，Palmer H H，Yeh C S.A remeasurement of the radiation constant h by means of X-rays［J］.Proc.N.A.S.，1921，7：237-242.

［9］ Bearden J A.X-ray wavelengths［J］.Rev.Mod.Phys.，1967，39：78.

［責任編輯：任德香］

Measuring Planck constant by X-ray diffraction

WANG He-ying，SUN Wen-bo
（Department of Physics，Tsinghua University，Beijing 100084，China）

The cause of the measurement error and the improved approach for measuring the Planck constant by X-ray diffraction were discussed.The measured minimum wavelength in the X-ray spectra decreased with the rising voltage applied on the X-ray tube，because of the broadening of the X-ray lines due to the apparatus structure and the transparent single crystal sample used for diffraction，so that the value of the measured minimum wavelength should be revised before calculating the Planck constant.The results showed that the value of the Planck constant calculated using the revised data was consistent with the theoretical value.

Planck constant；X-ray diffraction apparatus；line broadening

O431

A

1005-4642（2014）10-0004-04

“第8屆全國高等學校物理實驗教學研討會”論文

2014-05-16；修改日期：2014-06-27

王合英（1965－），女，山東單縣人，清華大學物理系副教授，博士，主要從事近代物理實驗教學工作.