裂紋對弧齒錐齒輪傳動系統振動特性影響研究

馮 剛，高虹霓，李彥彬，張 琳

（空軍工程大學 防空反導學院，西安 710051）

弧齒錐齒輪傳動是航空動力推進系統中一重要部件，其動態特性直接影響發動機的可靠性。因此，弧齒錐齒輪的動態特性研究一直受到國內外學者的重視，在其結構模態分析、線性振動分析以及動態試驗等方面取得了許多研究成果［1－6］，而目前對弧齒錐齒輪發生裂紋故障時傳動系統的動態特性研究很少。事實上，航空高速弧齒錐齒輪傳動曾發生過數起輪齒斷裂事故［7］，給國家造成不同程度的損失。本文應用有限元分析軟件ANSYS對裂紋故障齒輪進行了數值模擬，將置于轉子上的弧齒錐齒輪傳動系統等效處理為8自由度動力學模型，在此基礎上研究了無裂紋和有裂紋弧齒錐齒輪傳動系統振動特性的變化，為從動力學方面對弧齒錐齒輪裂紋故障診斷的準確識別，給出一種有效的方法，從而可以避免災難性事故的發生。

1 含裂紋弧齒錐齒輪三維有限元接觸模型

利用嚙合原理的方法建立齒面方程，根據弧齒錐齒輪已知的參數，通過Matlab計算軟件求解齒面方程，獲得大量齒面數據點的坐標，再將這些數據點導入到Pro／E中建立齒輪的實體模型。通過Pro／E掃描工具中的切口命令，在齒根處切割出裂口寬度為0．156 mm，深度為4 mm的裂紋，該裂紋通透齒輪大小端面。設置齒輪的材料屬性為：彈性模量 E＝1．95×1011N／m2，泊松比 ε＝0．3。采用 SOLID95單元劃分網格，劃分網格后生成的齒根處含4mm裂紋三維接觸有限元模型如圖1所示。

圖1 兩齒輪嚙合有限元模型Fig．1 The engaging gears finite element model

基于ANSYS有限元分析軟件對弧齒錐齒輪在一個嚙合周期內的加載接觸特性進行分析［6］。得到無裂紋和含裂紋兩種狀態下單齒嚙合剛度擬合曲線如圖2所示。

圖2 無裂紋和含裂紋弧齒錐齒輪嚙合剛度變化曲線Fig．2 The mesh stiffness change curves of the cracked and uncracked spiral bevel gears

設主動齒輪的轉速為ω，則任意時刻無裂紋齒輪嚙合剛度的表達式為：

無裂紋齒輪嚙合剛度的平均值為：

含裂紋齒輪嚙合剛度的表達式為：

含裂紋齒輪嚙合剛度的平均值為：

從圖2可以看出：在一個嚙合周期內，含裂紋弧齒錐齒輪比無裂紋齒輪嚙合剛度變化的幅度更加劇烈。

2 非線性振動模型與方程

弧齒錐齒輪傳動系統的動力學模型如圖3所示。

圖3 弧齒錐齒輪傳動系統動力學模型Fig．3 Dynamic model for spiral bevel gear transmission system

該弧齒錐齒輪傳動系統可等效處理為八自由度且考慮齒輪時變嚙合剛度和齒側間隙共存的非線性動力學模型，則弧齒錐齒輪傳動系統的廣義位移列陣表示為列向量：

式中，Xi、Yi、Zi（i＝p，g）分別為齒輪軸心沿 x軸、y軸移動和z軸橫向振動位移；θp、θg分別為主動齒輪繞x軸、從動齒輪繞y軸的扭轉振動位移。

兩齒輪嚙合點間因振動和誤差產生的沿嚙合點法線方向的相對位移λn為：

式中：C1＝cosδp·sinαn；C2＝cosδp·sinβm·cosαn；C3＝cosαn·cosβm；rp，rg為兩齒輪在嚙合點處的半徑；αn為法面壓力角；βm為齒中點螺旋角；δp為主動輪節錐角；en（t）為法向靜態（制造）傳動誤差。

式中：Ael為法向靜態傳動誤差的第l項諧波的幅值；為嚙合頻率；Φel為第l項諧波的相位；N為諧波階數。

齒輪副在嚙合時的法向動載荷及其沿坐標軸方向的分力分別為：

式中：kh（t）為嚙合剛度的平均值；ch為嚙合阻尼；其中kh（t）的表達式為：

式中：km為時變嚙合剛度的平均值；Akl為第l階的幅值；Φkl為第l階諧波的初相位。

間隙函數 f（λn）的表達式為：

式中：bm為平均法向齒側間隙之半。

依據d'Alembert原理，可得弧齒錐齒輪傳動系統的非線性動力學方程為：

式中，mp、mg、Jp、Jg為兩齒輪的質量和轉動慣量。

為了消除系統的剛體位移，引入齒面嚙合點間的法向相對位移λn作為新的自由度，并對方程組（5）進行量綱一化處理后，得到系統的無量綱方程組（6）：

式中：me為齒輪副的等效質量，Fpm，Fpv為主動齒輪所受圓周力的不變部分和可變部分，它們的表達式為：

式（8）中：AFl為外載荷第 l階諧波幅值；ω～F為外載荷Tpv的激勵頻率；Fl為第l階諧波的初相位。

以上各式中 i＝x，y，z；j＝p，g。

3 求解結果與分析

對間隙型非線性方程組（6），采用五階變步長自適應Runge-Kutta數值積分方法對其進行求解，可引入狀態變量：

將式（6）中的7個二階微分方程寫成14個一階微分方程，再利用MATLAB軟件的ode45（ ）函數數值求解，保持其他參數的值不變，分別將無裂紋和含裂紋齒輪嚙合剛度的平均值帶入方程，得到兩種不同狀態下弧齒錐齒輪齒面嚙合點間沿嚙合點法線方向的量綱一化相對振動位移λ和振動速度λ·的變化規律。

3.1 無裂紋弧齒錐齒輪傳動系統振動響應

無裂紋條件下，當無量綱嚙合頻率ωh＝2．398，弧齒錐齒輪系統的位移響應歷程圖、相圖、Poincaré截面圖及Fourier頻譜圖如圖4所示，由圖可見，系統此時為1周期響應。當ωh＝1．64時，系統又變為3周期響應如圖5所示。當ωh＝2．87時，系統變為擬周期響應如圖6所示。

3.2 含裂紋弧齒錐齒輪傳動系統振動響應

含裂紋條件下，當無量綱嚙合頻率ωh＝2．398，含裂紋弧齒錐齒輪系統的位移響應歷程圖、相圖、Poincaré截面圖及Fourier頻譜圖如圖7所示，由圖可見，系統此時為擬周期響應。當ωh＝1．17時，系統為倍周期響應如圖8所示。當ωh＝2．87時，系統變為混沌響應如圖9所示，Fourier頻譜近乎于連續譜。

圖4 無裂紋 ωh＝2．398（1周期響應）Fig．4 Uncrackedωh＝2．398（Single-Period Response）

圖5 無裂紋ωh＝1．17（3周期響應）Fig．5 Uncrackedωh＝1．17（Three-Period Response）

圖6 無裂紋 ωh＝2．87（擬周期響應）Fig．6 Uncrackedωh＝2．87（Quasi-Period Response）

圖7 含裂紋ωh＝2．398（擬周期破裂）Fig．7 Crackedωh＝2．398（Quasi-Period Rupture）

圖8 含裂紋 ωh＝1．17（倍周期響應）Fig．8 Crackedωh＝1．17（Period-Doubling Response）

圖9 含裂紋 ωh＝2．87（混沌響應）Fig．9 Crackedωh＝2．87（Chaotic Response）

通過比較無裂紋和含裂紋Poincaré截面圖可以看出，含裂紋系統的運動路徑出現了偏差，使周期運動軌跡不重合，使周期運動變為倍周期和擬周期甚至混沌，破壞了振動原有的周期性。通過比較無裂紋和含裂紋FFT頻譜圖可以看出，含裂紋系統的振動響應幅值增大，諧波含量明顯增多，響應的波動增大。

4 結 論

（1）含裂紋的輪齒在單齒嚙合時，嚙合剛度減少，在參與多齒嚙合時嚙合剛度增加，在一個嚙合周期內，含裂紋弧齒錐齒輪比無裂紋的嚙合剛度變化的幅度更加劇烈。

（2）裂紋對弧齒錐齒輪系統的振動響應特性影響很大，不僅對振動大小有影響，而且對系統運動的形式也有影響，甚至會導致系統產生擬周期運動和混沌運動，使系統的有序性降低，工作性能變差。

（3）裂紋使系統振動響應幅值增大，使響應中的諧波含量增多，使系統振動強度增大，動載荷增大，所以振動噪聲變大，傳動質量變差，可靠性降低。

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