PMUCR 方法對浮筏系統的全局分析與應用

張樹楨，陳 前

（1．南京航空航天大學 機械結構力學及控制國家重點實驗室，南京 210016；2．中國直升機設計研究所，景德鎮 333001）

在船舶隔振分析中，由于受隔振器非線性剛度的影響，浮筏隔振系統的動力學特性較為復雜。同時由于設備多樣，擾動源的變化，也會影響浮筏的動力學特性，所以浮筏隔振系統的全局分析是一個亟待解決的問題。

目前，全局分析的有效方法為胞映射方法。Hsu［1－2］提出了簡單胞映射法（SCM）以及廣義胞映射法（GCM），對胞映射的分析過程進行了詳盡的描述，并進行了相應的改良。Tongue等［3］提出了插值胞映射（ICM）法，該方法除了記錄積分過程中胞的軌跡外，還記錄了積分時點的具體坐標，因此可通過插值計算下一步的映射。Levitas等［4］提出龐加萊型胞映射法，該方法基于龐加萊截面將系統降維，有效地減少了胞映射的計算時長和難度。該方法將系統降低一維，對四維以下的系統效果較好，但隨著維數的升高，降低一維也難以解決問題。

文成秀等［5］提出了胞映射－點映射法，該方法將胞映射得到的周期解用點映射加以驗證，從而保證了計算的精度和有效性。江俊等［6－7］對胞映射方法在實際動力學系統的應用進行了大量的研究，提出了胞化積分軌跡法，胞參考點映射法。將點映射和胞映射進行了有效結合，兼顧了兩者的優點，有效地提高了分析效率。

隨著系統維數的增高，所需處理的數據急劇增加，因此需要對全局分析方法加以改進。胞參考點映射法（PMUCR）結合了胞映射的高效性和點映射的精確性，且易于推廣到高維空間。與其它胞映射法相比，不需要在相空間的每個胞中選取初始點，并可采用動態存儲的方法［8］，減少對內存的消耗。

本文試圖采用PMUCR方法，進行對稱激勵條件下高維浮筏隔振系統的全局分析，并判斷剛性和柔性筏架條件下，全局分析結果的差異。討論PMUCR方法在高維系統中的運用準則。最后通過打靶法對吸引子的穩定性進行判斷。

1 計算方法

1.1 PMUCR方法的改良

對于低維系統，PMUCR方法可以有效地進行分析。在高維條件下，當系統增加一維，則導致增加一個數量級的計算量，同時PMUCR中的系統特性保持標準也需要進行調整，以適應多變量判斷的需求。對PMUCR方法在高維系統中的改良措施為：

1．1．1 PMUCR方法同簡單胞映射方法的一個重要區別是判斷某點落入某胞后的狀態。簡單胞映射方法認定落入同一胞內的點具有相同的屬性。當胞的尺寸較小且各周期邊界規則時，該判斷基本合理，但當其它情況下則可能出現偽周期胞。PMUCR方法則通過點－點的間距來判斷是否具有相同的屬性，即間距是否滿足系統特性維持標準。從運動軌跡分析，如一條軌跡接近另一條已知動力學特性的軌跡，且兩者之間的距離小于某一定值時，則可認定兩條軌跡具有相同的特性，該距離即為系統特性維持標準中的推薦距離。該推薦距離需要同時滿足多變量的需求，而不是直接求解點－點之間的間距，如果系統存在多個變量且變量處于不同的數量級時，由于數值計算的誤差，可能會忽略某些變量的貢獻。因此推薦距離應對多個變量同時分析，即每個變量采用獨立的推薦距離。同時，在新周期胞的判斷中，當使用計算機本身的舍入誤差作為評價標準，雖滿足精度的需求，但是以Matlab為例，其舍入誤差為小數點后15位，必然導致計算規模極大。因此將其歸結到系統特性維持標準中進行分析，提高其舍入誤差，保證計算速度。

1．1．2 在判斷得到 Gr（B）＝－n時，即出現處理中的已處理胞，按照原方法，需要對新周期胞組和已確定周期胞組進行判斷。出現處理中的已處理胞原因在于不滿足新周期胞組的判斷，尤其是已確定周期胞組的判斷。因此當再次映射到該胞時，只需直接判斷同之前落入該胞中所有點的距離滿足推薦距離或舍入誤差，從而減少計算步驟。

1．1．3 對相空間中選定的研究區域邊界處初始點的積分計算可能映射出定義的研究區域，從而成為陷胞。而實際上在若干積分周期后，該點可以回到分析的研究區域并具有一定的周期性。因此，設定軌跡離開研究區域時，進行多步映射并觀察該軌跡是否回到分析的相空間中選定的研究區域。如回到分析的研究區域，則繼續計算，否則認定其進入陷胞。此外，在映射步數方面，當某點經過一定的限制映射步數P lim后，仍未形成或達到某周期胞，則為了保證計算時長，可判斷其進入陷胞。

1．1．4 為保證計算效率，可設定較大的系統特性維持標準，提高計算速度，但可能引入偽周期胞。因此在得到周期胞后，對周期胞內的吸引子進行一定的數值計算，再進行周期胞以及打靶法的判斷。這一點類似于文獻［5］中方法，不同的是在打靶法的過程中，可進行穩定性的分析。

1.2 周期運動的穩定性分析

對于耗散系統，其相軌線會隨著時間延續而趨于某一穩定的吸引子，該吸引子可能為平衡點、周期運動、概周期運動乃至混沌運動，對于平衡點和周期運動的分析是工程分析的重要內容。

受周期激勵的n維非自治系統，其周期運動的存在性和數目較平衡點的求解更為困難，試圖采用打靶法對浮筏隔振系統的周期運動穩定性進行分析。打靶法的計算方法為Newton-Raphson迭代法，其通過構造龐加萊截面，分析相軌線在經過該截面時點的分布規律，從而得到周期運動以及對該周期運動穩定性的分析。

2 算例分析

2.1 PMUCR方法對高維動力學方程的分析

圖1 浮筏隔振系統空間結構示意圖Fig．1 The sketch of floating raft

引入船舶中的浮筏隔振系統，其空間構型以及力和速度條件分別如圖1，2所示。采用子結構方法對該系統進行建模分析。系統分為A機組、B上層隔振器、C筏架、D下層隔振器以及E基礎板五大子結構。其中A子結構為兩臺機組，是浮筏系統的本質要素。由線性條件下的分析可知［11］，在低頻段，筏架的剛柔程度對系統整體的動力學響應影響較小，甚至可忽略。本算例試圖分析在非線性條件下，是否具有類似的結論。

圖2 浮筏隔振系統力和速度條件簡圖Fig．2 The force and velocity condition of floating raft

設定隔振器的剛度為立方非線性即彈性恢復力的表達式為kx＋Ux3。在豎直方向上，柔性筏架柔性基礎的非線性浮筏系統動力學方程可簡化如下式所示（因位置所限，暫不列出阻尼項）

上式表示系統處于十維的狀態空間。方程以隔振器原長為坐標原點，其中mz分為mz1和mz2，代表兩臺機組的負載質量，其位移分別表示為x1和x2。作用于機組的力FAe分別表示為F1和F2，其大小相等。上層隔振器的力為和表示為e臺機組的第i個隔振器的上部t和下部b的作用力，表達式為k1x＋Ux3，下層隔振器的力表達式為k2x＋Vx3。筏架的質量為mzc，其密度、厚度和抗彎剛度分別表示為ρ1、h1和D1*，與此對應的基礎板的密度、厚度和抗彎剛度為ρ、h和D。筏架的剛體位移和模態位移以及基礎板的模態位移分別為xcg、xcr和xer，表達式中的大寫字母R均為模態變換矩陣。

改良后PMUCR方法的流程圖如圖3所示。其計算流程較簡單胞映射復雜，分析判斷過程更為細致。

將剛性筏架和柔性筏架的系統分別進行全局分析，并對PMUCR方法在高維系統中的運用進行討論。系統的物理參數為：負載機組1，2的幾何尺寸為0．8 m×0．8 m×0．4 m，質量為1 996．8 kg。為分析多種工況，設定上層隔振器剛度為0．5×107N／m和1×107N／m。平置板式筏架的幾何參數為2 m×1 m×0．06 m，質量為942 kg，損耗因子為0．01，自由邊界。設定下層隔振器剛度為1×107N／m。基礎板的幾何參數為2 m×1 m×0．02 m，損耗因子為0．01，簡支邊界。

圖3 PMUCR方法流程圖Fig．3 Flow chart for the PMUCR algorithm

圖4 激勵條件下的吸引子Fig．4 Attractor under conditon

依據研究區域覆蓋盡可能大的原則，在剛性筏架模型中，以狀態空間中子空間X＝［x1x′1x2x′2xcg40），x2∈ （－0．16，0．16），x′2∈ （－40，40），x3∈（－0．16，0．16），x′3∈（－40，40），x4∈（－0．16，0．16），x′4∈（－40，40）｝為研究區域，并均勻分布508個胞為胞參考空間。為分析最重要的機組狀態，選取該研究區域對應的50×50個初始點。與此對應的柔性筏架模型以及不同激勵條件下的模型，均根據剛性筏架模型得到其子空間。在激勵1條件和激勵2條件兩種工況。經PMUCR方法計算得到的吸引子在初值平面內的投影如圖4所示。

圖4（a）說明在可能的初始條件下，隔振系統最后可能呈現出兩個不同的周期運動，即周期1和周期2運動狀態。在兩個運動狀態下，系統的隔振性能不同。例如，當任一初始條件使得系統處于周期1運動，并以功率流落差為評價標準，則功率流落差為23．61 dB，而由其他初始條件，使系統處于周期2運動狀態時，其功率流落差為14．82 dB。因此系統在周期1運動狀態下的隔振效果優于周期2運動，所以當船舶隔振系統受到一定條件的外部擾動時，可能發生運動狀態的突變，導致隔振性能發生變化。在進行非線性隔振系統的設計時需要考慮該因素。同時在激勵2條件下進行功率流落差的分析，其功率流落差在周期1運動為18．33 dB，其余為15．37 dB左右。同時由隔振器不同剛度的分析表明，立方非線性剛度的隔振器表現出的周期運動較為一致。

圖5 吸引子的吸引域分布Fig．5 The domain of attraction

圖6 P－1和P－2周期運動的時間歷程及龐加萊截面Fig．6 Displacement and phase trajectory of P－1 and P－2

圖5中“·”區域為P－1周期運動，“＋”區域為P－2周期運動，空白區域為陷胞。由圖4（b）和圖5可見，在相同條件下剛性和柔性筏架的系統，其周期運動的區域不同。

由PMUCR方法所得到的P－1和P－2周期運動處的點為積分的初始點，計算得到如圖6所示的時間歷程及龐加萊截面圖。由龐加萊截面分析，其P－1及P－2周期運動是正確的，而且經過PMUCR方法的映射計算，已經消除了系統瞬態響應的影響。

2.2 PMUCR的參數設置分析

如果PMUCR方法使用的系統特性保持標準不夠合理，則會引起一定的問題，若該標準過小且限制映射步數P lim過少，則導致計算過程難以收斂，從而產生陷胞及其它問題；當限制映射步數過大，則增加了計算量。以激勵1條件下的剛性筏架為例，進行討論分析。設定分析工況如表1所示，設定不同的舍入誤差以及映射步數，對PMUCR方法在全局分析中的參數設置進行研究。

表1 PMUCR分析工況條件Tab．1 The analysis condition of PMUCR

在圖7中的左側圖為吸引子，右側圖中以“·”表示陷胞的分布。自上而下分為四列，分別對應表1中自上而下四個條件的計算結果。

圖7 吸引子及陷胞的分布Fig．7 The attractor and the sink cell under different condition

由圖7（a），7（b）所示，當系統特性保持標準和限制映射步數較小，導致大量的胞映射進入陷胞，而且也未發現P－1周期胞。圖7（c），7（d）增大系統特性保持標準和限制映射步數，導致識別出大量的周期胞，改良方法4的計算表明，除圖4（a）中的周期胞外，其余均為偽周期胞。圖7（e），7（f）減小系統特性保持標準及增大限制映射步數，偽周期胞數量減少，陷胞數量減少。圖7（g），7（h）縮小系統特性保持標準及再次增大限制映射步數，偽周期胞消失，陷胞數量較圖7（f）多，并散布于分析平面內。原理上，增大系統特性維持標準、延長計算時長及增多限制映射步數可以有效地減少陷胞的發生，但會導致結果精度的降低，尤其大幅增加計算時長。由圖7可見，改良方法4較為適用于高維系統的分析。

2．3 周期解的穩定性分析

以激勵2條件下，柔性筏架的周期運動穩定性分析為例，其P－1運動的特征值最大模為0．989 1，P－2周期運動的特征值最大模分別為0．990 8、0．990 6、0．991 4及0．982 7，均未超過 1，所以其周期運動穩定。對其它情況分析，也具有類似的性質。實際上，非自治系統周期運動的穩定性受激勵頻率影響極大，尤其接近于主共振頻率時，存在不穩定區域使其特征值大于1，而當激勵頻率處于正常工作范圍，其穩定性較好。

3 結 論

通過PMUCR方法對剛性和柔性筏架條件下的浮筏隔振系統進行全局分析，研究其筏架對系統全局特性的影響。并對該方法在高維系統中的應用進行相應的改良和討論。得到的主要結論為：

（1）PMUCR適用于高維系統的全局特性分析，并具有較好的精度。其計算量較胞映射大，計算結果的精度同時受到系統特性保持標準以及計算步數的影響，因此在使用的過程中需要同時兼顧計算量、特性保持標準以及映射步數三者的關系。

（2）剛性和柔性筏架浮筏隔振系統的運動現象存在差異。PMUCR方法的計算表明，剛性和柔性筏架隔振系統所發生周期運動的類型較為相似，但其相對應區域是不同的。該計算切實地證明了在非線性條件下的所有頻段內，筏架的特性對系統的動力學特性影響顯著，而不僅僅局限于線性系統的中、高頻段。

（3）非線性浮筏隔振系統的全局特性在不同的激勵條件以及初始條件下呈現出復雜的周期現象。在分析平面內發現了較為典型的單周期運動和二倍周期運動。當處于不同的周期運動時，系統的隔振效果存在差異。

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