方案選擇問題的應用題教學

方永聰

摘 要： 本文以幾道經常出現的方案選擇問題的應用題為例闡述了在應用題教學中如何培養學生解決實際問題的能力.

關鍵詞： 方案選擇問題 應用題教學 建模能力 信息整理能力

近年來，隨著市場經濟的迅速發展，社會對數學的需求并不僅僅是會解答數學題的數學家，而是需要大量善于用數學知識和思維方法解決實際問題的各種人才.數學在實際生活中的應用是教材及近年來各地中考中經常出現的問題，對于如何開展這類問題的教學，我談談看法。

一、培養學生認真讀題的習慣，增強建模能力

要培養學生認真讀題，提煉有用條件，抓住關鍵詞，過好閱讀關，理解問題的實際背景，分析處理有關數據，把握已知量與未知量之間的內在聯系.審題時，要準確理解關鍵語句的數學意義，再創建數學模型，選取基本變量，將文字語言抽象概括成數學語言，依據有關定義、公理和數學知識，建立適當的數學模型.

例1：有一個只允許單向通過的窄道口，通常情況下每分鐘可以通過9人.一天，王老師到達道口時，發現由于擁擠每分鐘只能通過3人，自己前面還有36人等待通過，通過道口后，還要7分鐘才可以到達學校.（1）此時，繞道而行，要15分鐘到達學校.從節省時間考慮，王老師應選擇繞道去學校，還是選擇通過擁擠的道口去學校？（2）若在王老師等人的維持下，幾分鐘后，秩序恢復正常，結果王老師比擁擠情況下提前6分鐘通過道口，問維持秩序的時間為多少？

這道題的背景來自考生經常碰到道口擁擠的問題，這是一道非常簡單的方案優化問題.（1）小題需要分別明確兩個方案（過道口和繞行）所用的時間，這是一道簡單的算術應用題.（2）小題關鍵是有維持秩序和沒有維持秩序“過道口的時間差”，相等關系是：擁擠情況下王老師通過道口所用時間等于維持持續的時間加上維持持續維持好之后前邊的人通過所用的時間，還要加上疏通后比原來提前的時間，這只是一道一元一次方程的應用題.

分析：（1）先分別求得通過擁擠的通道和繞道去學校的時間，比較即可選擇。36÷3=12，12+7=19，19>15；所以應該選擇繞道去學校.

（2）設維持秩序的時間x分鐘，如果不維持秩序，王老師要用36÷3=12分鐘才能通過，現在提前6分鐘，說明他只用了12-6=6分鐘，在這6分鐘內，花了x分鐘維持秩序，通過3x人，又花了（6-x）分鐘按正常秩序等待，通過了9（6-x）人，共通過36人，所以可列方程3x+9（6-x）=36，解方程即可求解.

二、培養學生巧用字母表示未知數的能力

在應用題教學中，培養學生準確地用字母表示未知數的能力是一個重要環節.有些題目的未知的量不止一個，有的學生往往不敢下手，這時必須引導學生大膽設題，把未知的量先用不同的字母表示后，再梳理到底使用何種方法.

例2：某移動通訊公司開設兩種業務：“全球通”：先繳50元月租費，然后每通話一跳次，再付0.4元；“神州行”：不繳月租費，每通話一跳次，付話費0.6元.請你分析判斷選擇哪一種付費方式更合算？

這是一道一元一次方程相關的應用題也是一次函數相關的方案選擇問題的應用題，題目的答案不是唯一的，而需要不同的通話時間決定.題目沒有提供準確的數據，未知量有三個，所以必須教學生合理設未知量，把未知的量先用字母表示.若設一個月通話x次，兩種方式的費用分別為y■元和y■元，把題目中的y■與x的關系式、y■與x的關系式正確寫出來：（1）y■=50+0.4x，y■=0.6x.（2）兩種費用相同時，y■=y■，即50+0.4x=0.6x，解得x=250.再對通話時間大于250分或小于250分鐘進行討論.

三、增強學生信息整理能力

通過對應用題文字的理解與疏通，對收集得來的數據進行整理，有些題目提供的信息多且雜亂，教學中應教學生把零碎的數學知識系統化、科學化，形成一個整體思維，可以結合簡單的表格、數軸等圖示，把復雜的條件分類，從而為分析解決應用題提供了理論依據.

例3：A市和B市分別有某種庫存機器12臺和6臺，現決定支援C市10臺機器，D市8臺機器.已知從A市調運一臺機器到C市的運費為400元，到D市的運費為800元；從B市調運一臺機器到C市的運費為300元，到D市的運費為500元.

（1）若要求總運費不超過9000元，共有幾種調運方案？

（2）求出總運費最低的調運方案，最低運費是多少？

這道題題目提供的數據多不容易與數學模型直接聯系，處理這類問題時要對數據進行分類，畫出表格進行處理就容易.如圖所示：不妨設A市運往C市為x臺，先讓學生分析由已知條件填出下表：

填完表格后，必須讓學生明白此時字母x的取值范圍，再讓學生建模.本題目是總費用不超過9000元，比較明顯是不等式方面的應用題，列出不等關系就不難了，為了第二步的方便，引入函數來解更容易.

解：根據題意得：設總費用為W，則有

W=400x+800（12-x）+300（10-x）+500（x-4）=-200x+10600.

因運費不超過9000元，∴W=-200x+10600≤9000，

解得x≥8.

∵4≤x≤10，∴8≤x≤10.

則x=8，9，10，所以有三種調運方案.

（3）∵8≤x≤10，且W=-200x+10600，

∴W隨x的增大而減小，

∴當x=10時，W的值最小，最小值為8600元，此時的調運方案是：B市運至C村0臺，運至D村6臺，A市運往C市10臺，運往D村2臺，最低總運費為8600元.

實際上，優化方案應用問題呈現的形式是多種多樣的，但一般是以函數形式、方程形式和不等式的形式出現.選擇方案應用題與普通應用題相比較，涉及的事物比較多，各事物之間的關系復雜，理清事情的思路顯得有些難.這就使得理解題的意義成為解答選擇方案應用題的一個難點.突破這個難點的思路有多條，基本的思路是簡化事物，使問題變得簡單而清晰.可以壓縮表述事物的文字，使語言更加精煉.文字少了，自然容易弄清楚事物之間的關系.也可以重新整理描述事物的順序，使應用題的解題脈絡更清晰.

參考文獻：

[1]尹必磊.方案設計題的常見類型及解法.初中數學教與學，2008，9.endprint

摘 要： 本文以幾道經常出現的方案選擇問題的應用題為例闡述了在應用題教學中如何培養學生解決實際問題的能力.

關鍵詞： 方案選擇問題 應用題教學 建模能力 信息整理能力

近年來，隨著市場經濟的迅速發展，社會對數學的需求并不僅僅是會解答數學題的數學家，而是需要大量善于用數學知識和思維方法解決實際問題的各種人才.數學在實際生活中的應用是教材及近年來各地中考中經常出現的問題，對于如何開展這類問題的教學，我談談看法。

一、培養學生認真讀題的習慣，增強建模能力

要培養學生認真讀題，提煉有用條件，抓住關鍵詞，過好閱讀關，理解問題的實際背景，分析處理有關數據，把握已知量與未知量之間的內在聯系.審題時，要準確理解關鍵語句的數學意義，再創建數學模型，選取基本變量，將文字語言抽象概括成數學語言，依據有關定義、公理和數學知識，建立適當的數學模型.

例1：有一個只允許單向通過的窄道口，通常情況下每分鐘可以通過9人.一天，王老師到達道口時，發現由于擁擠每分鐘只能通過3人，自己前面還有36人等待通過，通過道口后，還要7分鐘才可以到達學校.（1）此時，繞道而行，要15分鐘到達學校.從節省時間考慮，王老師應選擇繞道去學校，還是選擇通過擁擠的道口去學校？（2）若在王老師等人的維持下，幾分鐘后，秩序恢復正常，結果王老師比擁擠情況下提前6分鐘通過道口，問維持秩序的時間為多少？

這道題的背景來自考生經常碰到道口擁擠的問題，這是一道非常簡單的方案優化問題.（1）小題需要分別明確兩個方案（過道口和繞行）所用的時間，這是一道簡單的算術應用題.（2）小題關鍵是有維持秩序和沒有維持秩序“過道口的時間差”，相等關系是：擁擠情況下王老師通過道口所用時間等于維持持續的時間加上維持持續維持好之后前邊的人通過所用的時間，還要加上疏通后比原來提前的時間，這只是一道一元一次方程的應用題.

分析：（1）先分別求得通過擁擠的通道和繞道去學校的時間，比較即可選擇。36÷3=12，12+7=19，19>15；所以應該選擇繞道去學校.

（2）設維持秩序的時間x分鐘，如果不維持秩序，王老師要用36÷3=12分鐘才能通過，現在提前6分鐘，說明他只用了12-6=6分鐘，在這6分鐘內，花了x分鐘維持秩序，通過3x人，又花了（6-x）分鐘按正常秩序等待，通過了9（6-x）人，共通過36人，所以可列方程3x+9（6-x）=36，解方程即可求解.

二、培養學生巧用字母表示未知數的能力

在應用題教學中，培養學生準確地用字母表示未知數的能力是一個重要環節.有些題目的未知的量不止一個，有的學生往往不敢下手，這時必須引導學生大膽設題，把未知的量先用不同的字母表示后，再梳理到底使用何種方法.

例2：某移動通訊公司開設兩種業務：“全球通”：先繳50元月租費，然后每通話一跳次，再付0.4元；“神州行”：不繳月租費，每通話一跳次，付話費0.6元.請你分析判斷選擇哪一種付費方式更合算？

這是一道一元一次方程相關的應用題也是一次函數相關的方案選擇問題的應用題，題目的答案不是唯一的，而需要不同的通話時間決定.題目沒有提供準確的數據，未知量有三個，所以必須教學生合理設未知量，把未知的量先用字母表示.若設一個月通話x次，兩種方式的費用分別為y■元和y■元，把題目中的y■與x的關系式、y■與x的關系式正確寫出來：（1）y■=50+0.4x，y■=0.6x.（2）兩種費用相同時，y■=y■，即50+0.4x=0.6x，解得x=250.再對通話時間大于250分或小于250分鐘進行討論.

三、增強學生信息整理能力

通過對應用題文字的理解與疏通，對收集得來的數據進行整理，有些題目提供的信息多且雜亂，教學中應教學生把零碎的數學知識系統化、科學化，形成一個整體思維，可以結合簡單的表格、數軸等圖示，把復雜的條件分類，從而為分析解決應用題提供了理論依據.

例3：A市和B市分別有某種庫存機器12臺和6臺，現決定支援C市10臺機器，D市8臺機器.已知從A市調運一臺機器到C市的運費為400元，到D市的運費為800元；從B市調運一臺機器到C市的運費為300元，到D市的運費為500元.

（1）若要求總運費不超過9000元，共有幾種調運方案？

（2）求出總運費最低的調運方案，最低運費是多少？

這道題題目提供的數據多不容易與數學模型直接聯系，處理這類問題時要對數據進行分類，畫出表格進行處理就容易.如圖所示：不妨設A市運往C市為x臺，先讓學生分析由已知條件填出下表：

填完表格后，必須讓學生明白此時字母x的取值范圍，再讓學生建模.本題目是總費用不超過9000元，比較明顯是不等式方面的應用題，列出不等關系就不難了，為了第二步的方便，引入函數來解更容易.

解：根據題意得：設總費用為W，則有

W=400x+800（12-x）+300（10-x）+500（x-4）=-200x+10600.

因運費不超過9000元，∴W=-200x+10600≤9000，

解得x≥8.

∵4≤x≤10，∴8≤x≤10.

則x=8，9，10，所以有三種調運方案.

（3）∵8≤x≤10，且W=-200x+10600，

∴W隨x的增大而減小，

∴當x=10時，W的值最小，最小值為8600元，此時的調運方案是：B市運至C村0臺，運至D村6臺，A市運往C市10臺，運往D村2臺，最低總運費為8600元.

實際上，優化方案應用問題呈現的形式是多種多樣的，但一般是以函數形式、方程形式和不等式的形式出現.選擇方案應用題與普通應用題相比較，涉及的事物比較多，各事物之間的關系復雜，理清事情的思路顯得有些難.這就使得理解題的意義成為解答選擇方案應用題的一個難點.突破這個難點的思路有多條，基本的思路是簡化事物，使問題變得簡單而清晰.可以壓縮表述事物的文字，使語言更加精煉.文字少了，自然容易弄清楚事物之間的關系.也可以重新整理描述事物的順序，使應用題的解題脈絡更清晰.

參考文獻：

[1]尹必磊.方案設計題的常見類型及解法.初中數學教與學，2008，9.endprint

摘 要： 本文以幾道經常出現的方案選擇問題的應用題為例闡述了在應用題教學中如何培養學生解決實際問題的能力.

關鍵詞： 方案選擇問題 應用題教學 建模能力 信息整理能力

近年來，隨著市場經濟的迅速發展，社會對數學的需求并不僅僅是會解答數學題的數學家，而是需要大量善于用數學知識和思維方法解決實際問題的各種人才.數學在實際生活中的應用是教材及近年來各地中考中經常出現的問題，對于如何開展這類問題的教學，我談談看法。

一、培養學生認真讀題的習慣，增強建模能力

要培養學生認真讀題，提煉有用條件，抓住關鍵詞，過好閱讀關，理解問題的實際背景，分析處理有關數據，把握已知量與未知量之間的內在聯系.審題時，要準確理解關鍵語句的數學意義，再創建數學模型，選取基本變量，將文字語言抽象概括成數學語言，依據有關定義、公理和數學知識，建立適當的數學模型.

例1：有一個只允許單向通過的窄道口，通常情況下每分鐘可以通過9人.一天，王老師到達道口時，發現由于擁擠每分鐘只能通過3人，自己前面還有36人等待通過，通過道口后，還要7分鐘才可以到達學校.（1）此時，繞道而行，要15分鐘到達學校.從節省時間考慮，王老師應選擇繞道去學校，還是選擇通過擁擠的道口去學校？（2）若在王老師等人的維持下，幾分鐘后，秩序恢復正常，結果王老師比擁擠情況下提前6分鐘通過道口，問維持秩序的時間為多少？

這道題的背景來自考生經常碰到道口擁擠的問題，這是一道非常簡單的方案優化問題.（1）小題需要分別明確兩個方案（過道口和繞行）所用的時間，這是一道簡單的算術應用題.（2）小題關鍵是有維持秩序和沒有維持秩序“過道口的時間差”，相等關系是：擁擠情況下王老師通過道口所用時間等于維持持續的時間加上維持持續維持好之后前邊的人通過所用的時間，還要加上疏通后比原來提前的時間，這只是一道一元一次方程的應用題.

分析：（1）先分別求得通過擁擠的通道和繞道去學校的時間，比較即可選擇。36÷3=12，12+7=19，19>15；所以應該選擇繞道去學校.

（2）設維持秩序的時間x分鐘，如果不維持秩序，王老師要用36÷3=12分鐘才能通過，現在提前6分鐘，說明他只用了12-6=6分鐘，在這6分鐘內，花了x分鐘維持秩序，通過3x人，又花了（6-x）分鐘按正常秩序等待，通過了9（6-x）人，共通過36人，所以可列方程3x+9（6-x）=36，解方程即可求解.

二、培養學生巧用字母表示未知數的能力

在應用題教學中，培養學生準確地用字母表示未知數的能力是一個重要環節.有些題目的未知的量不止一個，有的學生往往不敢下手，這時必須引導學生大膽設題，把未知的量先用不同的字母表示后，再梳理到底使用何種方法.

例2：某移動通訊公司開設兩種業務：“全球通”：先繳50元月租費，然后每通話一跳次，再付0.4元；“神州行”：不繳月租費，每通話一跳次，付話費0.6元.請你分析判斷選擇哪一種付費方式更合算？

這是一道一元一次方程相關的應用題也是一次函數相關的方案選擇問題的應用題，題目的答案不是唯一的，而需要不同的通話時間決定.題目沒有提供準確的數據，未知量有三個，所以必須教學生合理設未知量，把未知的量先用字母表示.若設一個月通話x次，兩種方式的費用分別為y■元和y■元，把題目中的y■與x的關系式、y■與x的關系式正確寫出來：（1）y■=50+0.4x，y■=0.6x.（2）兩種費用相同時，y■=y■，即50+0.4x=0.6x，解得x=250.再對通話時間大于250分或小于250分鐘進行討論.

三、增強學生信息整理能力

通過對應用題文字的理解與疏通，對收集得來的數據進行整理，有些題目提供的信息多且雜亂，教學中應教學生把零碎的數學知識系統化、科學化，形成一個整體思維，可以結合簡單的表格、數軸等圖示，把復雜的條件分類，從而為分析解決應用題提供了理論依據.

例3：A市和B市分別有某種庫存機器12臺和6臺，現決定支援C市10臺機器，D市8臺機器.已知從A市調運一臺機器到C市的運費為400元，到D市的運費為800元；從B市調運一臺機器到C市的運費為300元，到D市的運費為500元.

（1）若要求總運費不超過9000元，共有幾種調運方案？

（2）求出總運費最低的調運方案，最低運費是多少？

這道題題目提供的數據多不容易與數學模型直接聯系，處理這類問題時要對數據進行分類，畫出表格進行處理就容易.如圖所示：不妨設A市運往C市為x臺，先讓學生分析由已知條件填出下表：

填完表格后，必須讓學生明白此時字母x的取值范圍，再讓學生建模.本題目是總費用不超過9000元，比較明顯是不等式方面的應用題，列出不等關系就不難了，為了第二步的方便，引入函數來解更容易.

解：根據題意得：設總費用為W，則有

W=400x+800（12-x）+300（10-x）+500（x-4）=-200x+10600.

因運費不超過9000元，∴W=-200x+10600≤9000，

解得x≥8.

∵4≤x≤10，∴8≤x≤10.

則x=8，9，10，所以有三種調運方案.

（3）∵8≤x≤10，且W=-200x+10600，

∴W隨x的增大而減小，

∴當x=10時，W的值最小，最小值為8600元，此時的調運方案是：B市運至C村0臺，運至D村6臺，A市運往C市10臺，運往D村2臺，最低總運費為8600元.

實際上，優化方案應用問題呈現的形式是多種多樣的，但一般是以函數形式、方程形式和不等式的形式出現.選擇方案應用題與普通應用題相比較，涉及的事物比較多，各事物之間的關系復雜，理清事情的思路顯得有些難.這就使得理解題的意義成為解答選擇方案應用題的一個難點.突破這個難點的思路有多條，基本的思路是簡化事物，使問題變得簡單而清晰.可以壓縮表述事物的文字，使語言更加精煉.文字少了，自然容易弄清楚事物之間的關系.也可以重新整理描述事物的順序，使應用題的解題脈絡更清晰.

參考文獻：

[1]尹必磊.方案設計題的常見類型及解法.初中數學教與學，2008，9.endprint