滲透數學思想和方法，發展學生后續學習能力

徐芳

2011版的數學課程標準把原來的“雙基”改成了“四基”，增加了基本思想和基本活動經驗。其中數學思想是整個數學教學的主線，是最上位的思想。基本數學思想有著四大育人功能：一是有利于完善學生的數學認知結構，二是可以提升學生的認知水平，三是可以發展學生的思維能力，四是有利于培養學生解決問題的能力。這就為數學教師提出了更高的要求，要求數學教師必須為兒童的學習和個人發展提供最基本的數學基礎、數學準備和發展方向，促進兒童健康成長，使人人獲得良好的數學素養，不同的人在數學上得到不同的發展。教師在教學過程中應關注數學思想和方法的滲透，將數學知識與數學思想和方法融為一體，因勢利導，水到渠成，畫龍點睛，有利于發展學生的各種能力，關注學生的后續學習。

一、轉化思想為新知識找到一個合適的生長點

轉化思想是數學思想的重要組成部分。它是從未知領域出發，通過數學元素之間的因果聯系向已知領域轉化，從中找出它們之間的本質聯系，使問題得以解決的一種思想方法。數學的任何一個新知識，都是在原有知識的基礎上發展和轉化而來的。在教學中，教師可以引導學生把新問題轉化成一些與之相關的、學生比較熟悉的問題，并利用已有的知識和方法加以解決，有利于學生快速高效地學習新知，而已有的知識就是這個新知的生長點。

以小學六年級數學為例，我們可以用轉化的思想推導圓柱和圓錐的體積公式，把圓柱體轉化成與之等底等高的長方體，把圓錐轉化成與之等底等高的圓柱。前者的長方體和后者中的圓柱就是學生新知的生長點，引導學生把無從下手的新知識從這些生長點出發，運用已有的知識探索出新的結論，這樣新知識的發現過程便水到渠成了。

在小學數學課本中，不僅圖形問題可以運用轉化思想，代數中也運用了大量的轉化思想。如分數除法的運算轉化為學生熟悉的分數乘法的運算；異分母的分數轉化為同分母的分數，等等，因此教師在教學過程中要不斷培養和訓練學生自覺的轉化意識，讓學生學會尋找新知識的合適生長點。這既能加強舊知識與新知識的聯系，使所學知識系統化，又能使各個知識點之間自然銜接。學生在自然而然的探索過程中不僅獲得了新的知識，而且學會了解決問題的方法，有利于培養能力，對后續學習有很大的幫助。

二、類比思想為新知識找到一個關鍵的突破口

類比是利用兩個對象的某些相似性，由此對象的某些性質或結論，猜測乃至證明另一對象的相應性質或結論，由處理此對象的某些方法，利用相似性移植或稍加改動后移植于另一系統，用以處理另一對象的相似的性質或結論。

類比思想可以教會學生由此及彼，靈活應用知識，因為很多數學問題的解題思路常常是相通的。通過滲透類比思想，學生能學會舉一反三，迅速找到探索新知識的突破口，從而促進知識和方法的遷移。六年級數學中圓柱的體積公式的推導可以類比圓的面積公式的推導，比的基本性質可以類比除法的基本性質，分數的四則運算與小數、整數的四則運算都是可以類比的。例如在分數的四則混合運算的教學過程中，我把例題■×18+■×18中的■和■轉化成0.4和0.6，提出一個問題：這個式子你們能計算嗎？這樣學生立即就類比到小數混合運算的順序，相當于找到了分數混合運算這個新知識的突破口。有了這個突破口，學生就會舉一反三，在接下來探究分數運算律的這個環節中，學生自然而然地類比小數或整數得到：交換律，結合律，分配律都可以在分數運算中運用。從中我們可以看出類比思想的魅力，正如康德所說：“每當理智缺乏可靠的思路時，類比這個方法往往能指引我們前進。”與當代美國著名數學家波利亞所說的一樣：類比是獲得發現的偉大源泉。

另外，初中數學與小學數學可以類比的知識有很多，如果打好小學數學的知識基礎并注重類比思想的滲透，對于初中數學的學習就會有很大益處，也可以說是真正關注了學生的后續學習。如在代數中，與整數的運算順序和運算律相類比，可以導出有理數和整式的運算順序和運算律；與分數的基本性質相類比，可以導出分式也具有類似的性質，并且可以推出它和分數一樣能夠進行化簡、運算。

三、特殊到一般為新知識找到一個合理的探索途徑

一般包含特殊，特殊屬于一般。特殊到一般可以讓學生從特殊情況出發，進行觀察，分析出它們具有的共同特征，然后探索出一般的結論。例如比例這一章中的《面積的變化》，是解決一個圖形按n：1放大后圖形的面積與原圖形面積之間的比。我在教學時引導學生從特殊的長方形、正方形、三角形、圓入手，推廣到所有圖形；比例尺也從特殊的2：1，3：1，4：1推廣到n：1。最終學生得出一個一般性的結論：一個圖形按n：1放大后，圖形的面積與原圖形面積之間的比為n■：1。從中不難看出特殊到一般這個活動過程為這個新知識提供了一個合理的探索途徑。

其實在學生的思維中，特殊占據了很重要的位置，因為它更貼近學生的已有知識經驗，形象直觀，便于計算，易于理解。無論是選擇還是填空或者判斷，學生一旦無從下手時，首先想到的就是特殊情況，學生會拿特殊的數字，或者特殊情況去計算、去嘗試、去考慮。所以只要我們在數學教學過程中適當引導，就能把學生的這種本能激發出來，讓學生主動地嘗試用特殊到一般的探索途徑，發展學生的探索能力。為后續的初中幾何學習中很多從特殊到一般的定理探索提供初步認識。

四、猜測驗證為新知識找到一個完善的解釋過程

人類絕大多數知識的發現源于“猜想”。新大陸的發現源于當時人們對地圓說的猜想，牛頓萬有引力的發現源于他對于蘋果落地后產生的一連串的猜想。不僅如此，嚴密的數學定理的發現也可以經過合理猜想這一非邏輯手段而得到。如，現已經被美國的數學家證明了的“四色猜想”，以及至今未得到解決的著名的“哥德巴赫猜想”、“費馬猜想”等。由此可見，猜想是一種重要的思維方法，是創新、創造的前奏。

例如：在學習圓錐的體積時，我讓學生用課本后的模型剪下，做成等底等高圓柱和圓錐，讓學生先猜測這兩個物體的體積之間的關系，然后自己操作放入米或沙通過多次傾倒進行驗證。課堂上我利用等底等高圓柱和圓錐，借助水進行演示實驗，再次驗證了之前學生的猜想，最后由學生歸納總結得出：圓錐的體積是與之等底等高的圓柱體積的三分之一。可以說猜測驗證這一方法為圓錐體積公式的推導給出了一個完善的解釋過程。這種對數學學習內容和呈現方式都是開放式的教學方式，能激發學生學習數學的興趣，引導學生主動、活潑地學習，能培養學生的學習能力，發展學生的個性，從而進一步提高課堂教學的有效性。引導學生主動地從事觀察、猜測、實驗、驗證、推理與交流等數學活動，與新課程倡導探究性學習的精神相吻合，促進學生學習方式的改變，使學生的學習過程更富有個性化，促進學生數學素養的全面提高，有助于學生的終身學習和發展。

現行的數學教材編排無論是在知識點的安排，內容的深度與廣度，還是呈現方式上都是呈螺旋式上升，所以很多小學的數學思想在初中教材中會有更多的體現。我們在教學中要注意根據教材特點，創設有效的教學情境，有意識地滲透基本的數學思想方法，提高學生的數學素養，培養學生分析問題、解決問題的能力，為學生的終生學習和可持續發展奠定堅實的基礎，讓學生更快地融入初中數學學習中。