基于過(guò)完備結(jié)構(gòu)字典的跳頻信號(hào)稀疏分解

李斌武，李永貴，張敬義

(1．解放軍理工大學(xué)通信工程學(xué)院，江蘇南京210007;2．南京電訊技術(shù)研究所，江蘇 南京210007)

0 引言

跳頻信號(hào)作為一種典型的非平穩(wěn)信號(hào)［1－2］，是現(xiàn)實(shí)生活中常用的信號(hào)之一。但是隨著跳頻帶寬越來(lái)越寬，傳統(tǒng)的采樣和數(shù)據(jù)處理方法難以滿足跳頻信號(hào)帶寬和數(shù)據(jù)處理量日益增大的需求，同時(shí)也忽視了現(xiàn)有硬件采樣設(shè)備的采樣速率限制。壓縮感知(CS，Compressed Sensing)理論作為近些年在信號(hào)處理領(lǐng)域研究的熱點(diǎn)理論，為跳頻信號(hào)的采樣和處理提供了一個(gè)新的思路。該理論前提條件就是要求信號(hào)具有稀疏性或可壓縮性。然而現(xiàn)實(shí)中許多信號(hào)本身不具有稀疏性，而是在特定的變換域才會(huì)表現(xiàn)出稀疏特性。信號(hào)稀疏表示(Sparse Representation)是研究信號(hào)稀疏特性的重要理論，它可以有效提取信號(hào)最本質(zhì)的特征，有利于信號(hào)的后續(xù)處理，可從本質(zhì)上降低信號(hào)處理成本。因此，在數(shù)字信號(hào)處理應(yīng)用中，人們總是用信號(hào)在某個(gè)域上的稀疏逼近取代原始數(shù)據(jù)表示，稱(chēng)為信號(hào)表示。信號(hào)表示多為加性分解，如傅里葉變換和小波變換分別將信號(hào)在三角函數(shù)和小波基上展開(kāi)，在頻域和小波域表示信號(hào)［3］;時(shí)頻分析將信號(hào)在時(shí)頻面展開(kāi)，在時(shí)頻域表示信號(hào)［4］。信號(hào)的稀疏表示就是用盡量少的基函數(shù)在某個(gè)變換域?qū)⑿盘?hào)展開(kāi)，旨在從本質(zhì)上描述信號(hào)。但是傳統(tǒng)的信號(hào)稀疏表示是建立在正交基上的信號(hào)分解，該方法具有一定的局限性，往往不能夠達(dá)對(duì)頻率隨時(shí)間不斷變化的信號(hào)進(jìn)行最佳的稀疏表示。

過(guò)完備字典(Over－complete Dictionary)下的信號(hào)稀疏分解能夠得到更好稀疏表示效果。信號(hào)在過(guò)完備字典上分解的思想首先由Mallat和Zhang于1993年提出［5］。通過(guò)在過(guò)完備字典上的分解，用來(lái)表示信號(hào)的基可以自適應(yīng)地根據(jù)信號(hào)本身的特點(diǎn)靈活選取。從而分解得到信號(hào)的一個(gè)非常簡(jiǎn)潔的表達(dá)，即稀疏表示，得到信號(hào)稀疏表示的過(guò)程則被稱(chēng)為信號(hào)的稀疏分解(Sparse Decomposition)。過(guò)完備字典下的信號(hào)分解具有更強(qiáng)的稀疏表達(dá)能力。由于信號(hào)稀疏表示的優(yōu)良特性，它已經(jīng)被應(yīng)用到信號(hào)處理的許多方面，如信號(hào)去噪、信號(hào)編碼和識(shí)別等［6］。其中，在信號(hào)時(shí)頻分布研究方面的應(yīng)用特別值得關(guān)注。

過(guò)完備字典下的信號(hào)稀疏分解能夠充分利用跳頻信號(hào)的本質(zhì)及結(jié)構(gòu)特征，可以有效揭示非平穩(wěn)信號(hào)的時(shí)頻結(jié)構(gòu)，從而得到跳頻信號(hào)的更優(yōu)稀疏表示。因此，文中在分析跳頻信號(hào)稀疏特性的基礎(chǔ)上，構(gòu)造基于跳頻信號(hào)結(jié)構(gòu)特性的過(guò)完備字典，并采用FFT改進(jìn)的匹配追蹤算法研究跳頻信號(hào)的稀疏分解，提出了基于過(guò)完備結(jié)構(gòu)字典的跳頻信號(hào)稀疏表分解方法。仿真結(jié)果表明文中方法在跳頻信號(hào)分解效果和算法用時(shí)方面都具有明顯的優(yōu)勢(shì)。

1 跳頻信號(hào)模型及其過(guò)完備結(jié)構(gòu)字典

1．1 跳頻信號(hào)模型

跳頻信號(hào)是一種頻率隨時(shí)間隨機(jī)變化的非平穩(wěn)信號(hào)，其載波頻率的變化受偽隨機(jī)序列控制。跳頻信號(hào)的每一跳都可以看成是在時(shí)域互相不重疊的有限長(zhǎng)正弦信號(hào)［7］，所以某段時(shí)間內(nèi)的跳頻接收信號(hào)在可以看成是一系列加窗正弦信號(hào)的線性疊加。因此，可以將跳頻信號(hào)表示如下:

式中，S為信號(hào)功率，T為觀測(cè)時(shí)間，rectd(t)是寬度為d的矩形窗:

式中，d為跳周期，fk為第k跳的中心頻率。

1．2 過(guò)完備結(jié)構(gòu)字典

對(duì)于跳頻信號(hào)的稀疏性，文獻(xiàn)［6］中提出了局部傅里葉稀疏信號(hào)的概念。概念指出，如果一個(gè)信號(hào)在時(shí)間域中的每個(gè)點(diǎn)都能夠用恒定頻率的少量正弦信號(hào)來(lái)很好的近似表示，則稱(chēng)這個(gè)信號(hào)具有局部傅里葉稀疏特性。很明顯，跳頻信號(hào)是一種典型的局部傅里葉稀疏信號(hào)。當(dāng)用像短時(shí)傅里葉變換

式中，fk表示第k個(gè)正弦函數(shù)對(duì)應(yīng)的頻率，其取值為頻段內(nèi)所有跳頻頻點(diǎn)數(shù)Nf;Tk為對(duì)應(yīng)的第k跳信號(hào)的時(shí)間中心，且 Tk∈［0，d/2］，d為跳頻信號(hào)跳周期，即正弦窗寬度。按照實(shí)際中需要的精度來(lái)均勻取值，如 k=1，2，…，Nn，Nn的精度由采樣間隔決定，而Nn的取值決定了搜索精度，值越大搜索精度越高。對(duì)參數(shù)向量 γ 進(jìn)行離散化 γ={Δu，iΔT，d，jΔf}，為減少字典生成所需時(shí)間，這里將d固定為一個(gè)很小的值，其他參數(shù)如下:Δu=1/2，2πΔf=π/2，2πΔfΔT=π/6，所以 Δu=1/2，Δf=1/4，ΔT=1/3，0≤j≤1，0≤i≤12。通過(guò)以上描述構(gòu)造過(guò)完備的跳頻信號(hào)結(jié)構(gòu)字典 D={gγ(t)}γ∈Γ，則該字典中共有 M=NfNn個(gè)原子。(STFT)這樣的時(shí)頻表示方法進(jìn)行表示時(shí)，跳頻信號(hào)是稀疏的。也就是說(shuō)跳頻信號(hào)在時(shí)頻表示的短時(shí)傅里葉變換下得到的系數(shù)是稀疏的，即跳頻信號(hào)在局部傅里葉變換基下是稀疏的。很明顯這里的局部傅里葉變換基是一個(gè)完備的正交基，對(duì)于頻率隨時(shí)間變化的跳頻信號(hào)，稀疏表示效果欠佳。如果從跳頻信號(hào)結(jié)構(gòu)出發(fā)構(gòu)造過(guò)完備字典，則會(huì)得到更好的稀疏表示效果。

根據(jù)式(1)所描述的跳頻信號(hào)模型，多個(gè)具有不同時(shí)頻中心的單音頻信號(hào)相互疊加即可構(gòu)成一段跳頻信號(hào)，所以它的每一跳都可以看成是由時(shí)間中心Tk、載波頻率fk和跳周期d三個(gè)參數(shù)唯一確定的時(shí)域不重疊的有限長(zhǎng)正弦信號(hào)。而作為合作方通信，跳周期一般是已知的，為了能更好的分解跳頻信號(hào)，根據(jù)跳頻信號(hào)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)選取由參數(shù)向量γ={Tk，dk，fk}確定的加窗正弦函數(shù)作為過(guò)完備字典的原子，這些加窗正弦函數(shù)具有單位能量，原子表達(dá)式如下所示:

由于過(guò)完備字典中單個(gè)原子需要滿足‖g‖=1，即范數(shù)為1。因此，對(duì)上式進(jìn)行歸一化得到原子為:

2 基于FFT－MP算法的信號(hào)稀疏分解

假設(shè)待分解信號(hào)是一個(gè)長(zhǎng)度為N的信號(hào)f。若要在一組完備的正交基上分解該信號(hào)，則該正交基的數(shù)目應(yīng)該是N。由于這些基之間相互正交，所以它們信號(hào)空間中的分布是稀疏的，因此信號(hào)分解后的信號(hào)能量將在不同的正交基上分散分布。但是，這樣的分解通常導(dǎo)致信號(hào)表示不是稀疏的。而將信號(hào)在過(guò)完備字典上進(jìn)行分解一定能夠獲得稀疏的分解結(jié)果［5］。

匹配追蹤(MP)算法［5］是目前信號(hào)稀疏分解最常用的方法，其分解信號(hào)的具體過(guò)程闡述如下:

首先從生成的過(guò)完備字典中選出與待分解信號(hào)最匹配的原子gγ0，該原子滿足如下條件:

此時(shí)，信號(hào)被分解為兩部分，即在最佳原子gγ0上的分量和信號(hào)殘差:

式中，R1f是信號(hào)f經(jīng)過(guò)第一次最佳匹配之后的信號(hào)殘差。顯然原子gγ0和殘差R1f是正交的，因此可得:

分解的最終目標(biāo)是讓殘余信號(hào)的能量最小化。對(duì)每一次最佳匹配后的殘差信號(hào)不斷進(jìn)行上述同樣的分解過(guò)程，假設(shè)已經(jīng)進(jìn)行了k次原子分解，得到第k次分解后殘差Rkf，則該殘差可以被分解為:

式中 gγk滿足:

同樣 Rk+1f與 gγk正交，滿足:

通過(guò)以上過(guò)程對(duì)信號(hào)進(jìn)行n次分解，最終得到:

將式(8)帶入上式可得:

相似地，可以將‖f‖2分解為如下的連加等式:

式中，Rnf為原信號(hào)用n個(gè)原子的線性組合表示之后產(chǎn)生的誤差。已經(jīng)證明在有限的信號(hào)長(zhǎng)度下，殘余信號(hào)能量‖Rnf‖隨著n的增大呈指數(shù)衰減，最終為0。因此，信號(hào)可以被分解為:

將式(10)帶入上式得到一個(gè)能量守恒方程:

一般來(lái)說(shuō)，由于‖Rnf‖的衰減特性，因此信號(hào)的信號(hào)的主要成分通常用很少的原子即可表示:

這里n是遠(yuǎn)小于信號(hào)長(zhǎng)度N的。

目前MP算法還是一種比較常用的信號(hào)稀疏分解方法，但是在利用MP算法進(jìn)行信號(hào)稀疏分解的過(guò)程中，每次分解都要計(jì)算信號(hào)殘差在過(guò)完備字典中所有原子上的投影，并且是在高維空間進(jìn)行，因此計(jì)算量巨大。通常基于MP算法的稀疏分解需要在N維空間進(jìn)行多次的內(nèi)積計(jì)算〈Rkf，gγ〉，這使得信號(hào)稀疏分解過(guò)程的計(jì)算量巨大。文獻(xiàn)［8］針對(duì)基于MP算法在稀疏分解中多次進(jìn)行計(jì)算高維空間內(nèi)積計(jì)算量偏大的問(wèn)題，提出了一種基于FFT改進(jìn)的MP信號(hào)稀疏分解方法。

對(duì)于過(guò)完備字典中一個(gè)由參數(shù) γ=(s，u，v，w)唯一確定的原子，當(dāng)信號(hào)長(zhǎng)度為N時(shí)，如果讓u在［0，N－1］上取所有可能的值，則該原子要和信號(hào)或信號(hào)的殘差作N次內(nèi)積運(yùn)算〈Rkf，gγ〉。雖然這樣對(duì)信號(hào)的稀疏分解效果會(huì)更好，但這會(huì)使字典的規(guī)模增加，從而造成計(jì)算量的大幅增加。但是由于u從0到N－1連續(xù)取值，因此可以將所有的N次內(nèi)積計(jì)算轉(zhuǎn)換成一次Rkf和gγ的互相關(guān)運(yùn)算，即r(Rkf，gγ)。

由于互相關(guān)運(yùn)算可以利用離散傅里葉變換的快速算法FFT快速實(shí)現(xiàn)，所以對(duì)于由N次內(nèi)積計(jì)算轉(zhuǎn)換后的互相關(guān)運(yùn)算，可以進(jìn)一步利用FFT來(lái)改進(jìn)。一般情況下，通過(guò)FFT算法計(jì)算互相關(guān)，不但不會(huì)對(duì)信號(hào)稀疏分解的效果產(chǎn)生任何影響，而且可以使稀疏分解過(guò)程中內(nèi)積的計(jì)算速度至少提高一個(gè)數(shù)量級(jí)，從而大大提高信號(hào)稀疏分解的速度。

3 仿真與分析

本節(jié)采用過(guò)完備跳頻信號(hào)結(jié)構(gòu)字典與基于FFT改進(jìn)的MP算法對(duì)跳頻信號(hào)進(jìn)行稀疏分解，并與文獻(xiàn)［4］提出的Gabor過(guò)完備字典下的稀疏分解效果進(jìn)行對(duì)比。其中，Gabor原子和跳頻信號(hào)結(jié)構(gòu)原子的波形分別如圖1和圖2所示。由于信號(hào)的重構(gòu)和分解采用同樣的方法，不同的是重構(gòu)和分解為互逆過(guò)程。因此，采用對(duì)跳頻信號(hào)進(jìn)行分解之后的重構(gòu)性能來(lái)衡量算法的分解效果。

圖1 Gabor原子波形Fig．1 Waveform of Gabor atom

圖2 跳頻信號(hào)結(jié)構(gòu)原子波形Fig．2 Waveform of FH signal structural atom

由于FSK與PSK是通信信號(hào)中最常用的兩種調(diào)制方式，因此仿真中待分解的跳頻信號(hào)采用FSK調(diào)制的跳頻信號(hào)，其中信號(hào)長(zhǎng)度 N=1 000，包含10個(gè)跳變頻率，其中每跳包含100個(gè)采樣點(diǎn)。跳頻信號(hào)的跳變頻率隨著隨機(jī)序列在200～2 000 Hz之間以200 Hz的間隔取值，采樣頻率為10 kHz，跳速為1 000跳/秒，信息速率為100比特/秒。跳頻信號(hào)時(shí)域波形如圖3所示。

對(duì)于上面的FSK調(diào)制跳頻信號(hào)，分別對(duì)過(guò)完備的Gabor字典和文中提出的過(guò)完備跳頻信號(hào)結(jié)構(gòu)字典，采用FFT改進(jìn)的MP算法對(duì)跳頻信號(hào)進(jìn)行稀疏分解，算法的執(zhí)行結(jié)果分別如圖4和圖5所示。

圖4 Gabor字典下跳頻信號(hào)分解及重構(gòu)結(jié)果Fig．4 FH signal decomposition and reconstruction results under the Gabor dictionary

圖5 跳頻信號(hào)結(jié)構(gòu)字典下的信號(hào)分解和重構(gòu)結(jié)果Fig．5 FH signal decomposition and reconstruction results under the over－complete structural dictionary

圖4(a)，圖5(a)均為跳頻信號(hào)分解得到的殘差，信號(hào)殘差隨著迭代次數(shù)不斷發(fā)生變化的，隨著迭代次數(shù)的增加信號(hào)殘差值就會(huì)變得越來(lái)越小;圖4(b)，圖5(b)均為重構(gòu)之后的跳頻信號(hào)波形。對(duì)圖4(a)和圖5(a)所示的信號(hào)殘差波形進(jìn)行比較可以看出，采用跳頻信號(hào)結(jié)構(gòu)字典對(duì)信號(hào)進(jìn)行分解得到的殘差幅度遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于過(guò)完備Gabor字典下對(duì)跳頻信號(hào)進(jìn)行分解得到的殘差幅度。因此，從信號(hào)分解殘差的角度來(lái)說(shuō)，基于過(guò)完備跳頻信號(hào)結(jié)構(gòu)字典的信號(hào)分解性能優(yōu)于過(guò)完備Gabor字典下的信號(hào)分解性能。

由于信號(hào)重構(gòu)和信號(hào)分解是采用相同的算法但卻完全互逆的過(guò)程，因此利用信號(hào)的重構(gòu)性能來(lái)評(píng)估過(guò)完備字典下的跳頻信號(hào)稀疏分解性能是完全合理的。利用重構(gòu)跳頻信號(hào)的均方誤差(MSE，Mean Square Error)來(lái)衡量算法的重構(gòu)性能，均方誤差表達(dá)式如下:

圖6為跳頻信號(hào)在兩種過(guò)完備字典下進(jìn)行稀疏分解之后再重構(gòu)得到的均方誤差性能曲線。

圖6 不同過(guò)完備字典下的跳頻信號(hào)分解后再重構(gòu)的性能Fig．6 Reconstruction performance of FH signal under different over－complete dictionaries

由圖6可以得到這樣的結(jié)論:過(guò)完備Gabor字典和跳頻信號(hào)結(jié)構(gòu)字典均能夠很好的對(duì)跳頻信號(hào)進(jìn)行稀疏分解，且分解效果較好;隨著迭代次數(shù)的增加，信號(hào)稀疏分解效果越好，但是從最終的分解效果來(lái)說(shuō)，文中提出的跳頻信號(hào)結(jié)構(gòu)字典下的分解性能要明顯好于過(guò)完備Gabor字典下的分解性能。這也正好驗(yàn)證了之前由圖4(a)和圖5(a)的信號(hào)殘差幅值所得到的結(jié)論。從圖6還可以看出，當(dāng)?shù)螖?shù)為600時(shí)，均方誤差性能均已達(dá)到了10－2數(shù)量級(jí)。

為進(jìn)一步說(shuō)明跳頻信號(hào)結(jié)構(gòu)字典下稀疏分解的優(yōu)勢(shì)，這里對(duì)不同過(guò)完備字典下的稀疏分解算法執(zhí)行所需時(shí)間進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，如表1所示。

表1 跳頻信號(hào)稀疏分解仿真所需時(shí)間Table 1 Simulation time for FH signal sparse decomposition

由表1可以看出，雖然兩種過(guò)完備字典下的跳頻信號(hào)稀疏分解能夠得到相近的分解性能，但是跳頻信號(hào)結(jié)構(gòu)字典下的稀疏分解方法用時(shí)僅為過(guò)完備Gabor字典下的0．4%，提高了將近230倍。另外，由于跳頻信號(hào)結(jié)構(gòu)原子更加接近跳頻信號(hào)的結(jié)構(gòu)特性，生成的過(guò)完備字典中原子個(gè)數(shù)也將遠(yuǎn)遠(yuǎn)少于過(guò)完備Gabor字典中的原子個(gè)數(shù)。因此，生成一個(gè)過(guò)完備的跳頻信號(hào)結(jié)構(gòu)字典用時(shí)也將明顯少于過(guò)完備Gabor字典。

綜上所述，但是采用文中提出的跳頻信號(hào)結(jié)構(gòu)字典進(jìn)行稀疏分解，可以大大減少跳頻信號(hào)在稀疏表示環(huán)節(jié)所消耗的時(shí)間，從而為后續(xù)處理節(jié)省了大量時(shí)間。

4 結(jié)語(yǔ)

跳頻信號(hào)具有特殊的結(jié)構(gòu)特性。文中從跳頻信號(hào)的自身結(jié)構(gòu)出發(fā)，構(gòu)造了更加接近其結(jié)構(gòu)特性的跳頻信號(hào)過(guò)完備結(jié)構(gòu)字典，并利用基于FFT方法改進(jìn)的MP分解算法研究了跳頻信號(hào)在過(guò)完備時(shí)頻字典下的稀疏分解。該方法對(duì)跳頻信號(hào)的分解效果和分解所需時(shí)間兩個(gè)方面都有了很大改善。后續(xù)的研究中希望能夠更加充分地利用跳頻信號(hào)的先驗(yàn)信息來(lái)構(gòu)造過(guò)完備字典，而更加快速高效的稀疏分解算法也是一個(gè)值得關(guān)注的研究方向。

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