基于FRFT的復合chirp信號分析*

張小乾，姚遠程，秦明偉

(西南科技大學信息工程學院，四川綿陽621010)

0 引言

線性調頻(chirp)信號常見于雷達、聲納和移動通信等系統中。chirp信號通過非線性相位調制，具有很大的時寬帶寬積，不僅解決了距離分辨力與探測距離之間的矛盾，而且具有好的速度分辨力，因而備受青睞。對比復合chirp信號以及單斜率chirp信號這兩種信號的模糊函數圖，－3 dB模糊度圖，距離模糊函數圖以及速度模糊函數圖，可發現復合chirp信號相對單斜率chirp信號具有更好的速度分辨力和距離速度聯合分辨力［1］。FRFT在90年代中期被引入了信號處理領域，并指出了它的物理意義是給定信號時頻分布在時頻域內某一與時間軸成“角度軸線上的積分投影”［2－3］。近年來，FRFT 作為信號時頻分析的研究工具受到了研究者的廣泛關注。此外有些學者也在進行FRFT對chirp信號的檢測的研究［4－6］。

文中利用復合chirp類信號在FRFT域的時頻能量聚集性，以及分數階傅立葉變換是一種一維的線性變換，在處理多分量信號時可避免交叉項的困擾。采用在FRFT域逐次濾波法實現對復合chirp信號的檢測與估計。

1 FRFT與WVD

1．1 FRFT 的定義

FRFT是一種新型的信號時頻分析的有力工具，是傳統傅立葉變換更廣義的形式，若將傳統傅立葉變換的算子看作從時間軸逆時針旋轉π/2到頻率軸，則分數階傅立葉變換的變換算子就是可旋轉任意角度α=p×π/2的算子。信號x(t)的角度為α的分數階傅立葉變換的定義為［7－8］:

式中，下標表示角度為α的連續FRFT，其變換核為:

式中，Bα=α為旋轉角度，用時頻平面旋轉的觀點來解釋，則有以下等式成立:

1．2 平滑偽Wigner－Ville分布的定義(SPWVD)

信號x(t)的SPWVD定義為

2 復合chirp信號的時頻分析方法

2．1 復合chirp信號簡介

復合線性調頻信號是采用正負兩個斜率分量的線性調頻信號，調頻斜率k滿足其中 tp為信號脈寬，B為信號的帶寬。其角頻率隨時間的函數關系如下:

由式(4)可以看出，該信號的時寬帶寬積是單斜率chirp信號的兩倍，具有比單斜率chirp信號更大的時寬帶寬積，因此具有更好的脈沖壓縮性能［1］。該信號的包絡形式可表達式為:

式中，

2．2 復合chirp信號的時頻分析方法

含有噪聲的單分量chirp信號可表示為

式中有－Δt/2≤t≤Δt/2，Δt為信號的周期，a0，φ0，f0，μ0為未知參數，信號 s(t)的幅度為 A，w(t)為加性高斯白噪聲，則上述chirp信號檢測和估計過程可描述為

FRFT可以看成是復合chirp信號的分解得到的，FRFT的變換核實質是一組chirp信號(FRFT的分解基)，當需要處理的復合chirp信號與某組基的調頻率吻合時，該信號就必然在改組基中的某個基上形成一個δ函數，而在別的基上為零。由此得出chirp類信號在FRFT域具有很好的時頻聚集性。復合chirp信號從單個碼元來看，就是chirp信號，只不過從總體來看是多分量的復合chirp信號而已。所以，在對該信號進行p從0～4階的FRFT變換時，只有在與自身線性調頻分量相吻合的階次，才會形成能量的聚集。因此可通過這種方式，來逐一得到信號各分量的調頻斜率和載波。為了防止強分量掩蓋若分量的可能，可以在分數階域逐次濾波來一一檢測［8］。

由分解型FRFT的原理可知，若信號x(t)的最高頻率分量為F，則Xp(u)可由下式計算

將變量u離散化后得

分析過程中采用兩級搜索的方法，這樣可以在保證估計精度的同時降低計算的復雜度。首先，以式(14)為計算工具，對變量p和u采用大的搜索步長(分辨率較低)進行直接搜索，得到p0及u0的粗略估計;然后，把上一步的結果作為初始值，在式(13)的基礎上，利用牛頓法進行迭代搜索，得到參數的精確估計，其迭代過程可表示為

式中，αn+1及un+1為參數的第n次搜索的結果，λn為第n次搜索的步長系數，Hn為函數在(αn，un)的尺度矩陣，可通過迭代的方法求得。

3 仿真

3．1 利用FRFT方法的仿真

為了驗證思路的正確性，選用復合chirp雷達信號的旋轉角度α=6°(取逆時針旋轉為正)，時間長度為t0=0．995 0 μs， N =1 000， fs=1．005 GHz， f0=－0．1 GHz， k01=0．977 6 GHz/μs， k02=－0．640 8 GHz/μs，加入均值為 0，標準偏差為 0．5的高斯白噪聲仿真。在進行FRFT之前，對信號進行量綱歸一化處理，歸一化尺度因子

歸一化寬度為

歸一化區間為

采樣點數

圖1是對復合chirp信號進行1到3階次的FRFT后的幅度譜。因為復合chirp信號本身含有4個線性調頻分量，所以如圖1所示，信號在該變換域中形成4個沖擊。

圖1 復合chirp信號的分數階傅里葉譜Fig．1 FRFT spectrum of composite chirp signal

由于4個線性調頻分量中的調頻斜率是兩兩相同的，所以這4個沖擊分別兩兩對應在階次1．5和2．6左右。圖1中的分量1和3的峰值截面如圖2所示。通過全域搜索發現，沖擊聚集在分數階域的坐標為 u1=－2．51，u3=－12．12，其變換階次為 p=1．447。

圖2 分數階傅里葉譜峰值的截面(p=1．447)Fig．2 Section of FRFT spectrum's peak(p=1．447)

因此分量1和分量3的歸一化調頻斜率為

所以，分量1和分量3的真實調頻斜率為

沖擊的坐標在分數階域為u1=－2．51，u3=－12．12。量綱歸一化后，分量1和分量3與時間軸的夾角為β'1=arctank'1，由此可以得到上述兩個分量的歸一化初始頻率分別為

分量1和3的實際初始頻率分別為

同理可以得出，

分量2和4的實際初始頻率分別為

通過FRFT全域搜索法得到信號的初始頻率為f01=－0．112 GHz。兩個分量的調頻斜率分別為 k1=0．978 9 GHz/μs，k2=－0．640 4 GHz/μs。

由復合chirp信號的調頻斜率與旋轉角度的關系為k=tan(α－π/2)，且α=pπ/2為FRFT的逆時針旋轉角度，因此復合chirp信號的分量1和分量3的調頻斜率為

3．2 利用SPWVD方法的仿真

為了驗證FRFT方法的有效性，特取上述信號的一個周期做SPWVD時頻分析，仿真結果如圖3所示。由圖計算可知，信號的初始頻率為 f01≈－0．08 GHz。兩個分量的調頻斜率分別為 k1≈0．1 GHz/μs，k2≈－0．7 GHz/μs。

圖3 復合chirp信號的SPWVD(α=6°)Fig．3 SPWVD of composite chirp signal(α=6°)

4 結語

FRFT可以看作是信號在時頻平面內繞原點旋轉任意角度后所構成的FRFT域上的表示，將FRFT分解為信號卷積形式利用FFT計算，具有計算速度快的優點。由于復合chirp信號在FRFT域呈現的沖激特性，當FRFT的階數與復合chirp信號的調頻斜率一致時，信號呈現尖峰，以此實現復合chirp信號的檢測。實驗仿真結果表明，用分數階全域搜索法對復合chirp信號的起始頻率和調頻斜率進行估計，其中起始頻率的誤差為Δf0=0．012 GHz，調頻斜率的誤差分別為 Δk01=0．001 3 GHz/μs 和 Δk02=－0．000 4 GHz/μs，可以看出該方法所得結果誤差很小，而采用SPWVD分析方法誤差較大。所以，采用分數階全域搜索法對檢測多分量復合chirp信號的起始頻率和調頻斜率是一種非常有效的方法。

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