基于拍賣博弈的資產剝離實物期權決策＊

梁 鑠 陳 靜

（中國海洋大學 管理學院，山東 青島266100）

一、引言

并購重組是企業重要的戰略行為。并購重組決策具有環境不確定、時機可選擇、成本不可逆等特性，因而適于用期權方法進行研究。Smith和Triantis最早對戰略收購的實物期權特性進行了分析，指出恰當的時機選擇會提升并購價值。［1］由于并購重組過程至少涉及兩個利益主體，單純的實物期權分析無法刻畫利益主體之間的博弈關系，因而近年來以博弈論和實物期權為主體的期權博弈方法逐步興起，在并購重組研究中占據了越來越重要的地位。Smit最早提出了一個在制定戰略收購計劃中應用實物期權理論與博弈理論的框架，并指出實物期權理論與博弈論的定量方法與來自戰略管理的定性方法結合可為并購過程提供更好的決策。［2］Lambrecht、Morellec和Zhdanov、Mason和 Weeds、扈文秀、鄭湘明和陳曉紅、陳珠明等分別從出價競爭、不完全信息、規模經濟、并購溢價、產品競爭、市場趨勢等多個角度對這一領域的研究進行了拓展。［3－9］

目前基于期權博弈的并購重組研究大多關注并購決策，但對于資產剝離這一并購重組的另一重要主題則關注不夠。資產剝離行為在中外資本市場上大量發生。如在中國，資產剝離是上市公司僅次于收購兼并的第二大重組方式，自l998年以來一直占整個上市公司資產重組活動的20%以上，某些年份更是占到企業重組總數的40%以上。［10］而在美國自1975年之后的近30年間，資產剝離交易占當年全部交易的35%～40%。［11］（P5－10）此外，資產剝離是并購的前端問題，對剝離決策的充分研究有助于對并購行為的理解。Myers和Majd、Berger等、Choi和Lee、Clark和Rousseau較早利用基本實物期權模型研究了擬剝離資產價值固定與隨機變化等不同情況下資產剝離的時機決策問題。［12－15］近年來的文獻開始考慮剝離利益主體間博弈關系。Lambrecht和Myers考慮了存在委托代理、債務融資、外部接管等情景下的資產剝離決策。［16］梁鑠等研究了委托代理雙方信息不對稱以及買賣雙方進行討價還價博弈等情景下的資產剝離決策。［17-18］

根據買方市場的競爭程度，實踐中資產剝離的交易方式一般可分為二手市場直接銷售、議價交易、拍賣等三種。直接銷售適于完全競爭的二手資產市場，討價還價適于買方非常稀少的二手資產市場，這兩種情況在現實中并不普遍。更普遍的是，某種資產的二手市場有一定數量的買家，但競爭并不充分。在這種情況下，資產剝離往往采用拍賣的形式進行交易。現有文獻大都是在剝離交易采用二手市場直接銷售的假設下進行研究，但是對于以拍賣形式進行剝離交易的問題，還沒有文獻關注。本文利用博弈論中的拍賣模型刻畫拍賣交易，研究在不確定環境下資產剝離的時機選擇問題。建立了實物期權模型，證明了其解的存在性和唯一性，并進行了算例分析。目的是為實踐中企業選擇剝離時機及交易方式提供理論依據。

二、模型設定

企業有某項資產需要剝離，擬剝離資產價值為該資產未來創造各期現金流的貼現值。由于環境不確定性，其價值V服從幾何布朗運動：

式中，α為資產價值運動的漂移率，本文假設其小于0以反映資產價值逐漸減少的趨勢；σ＞0為資產價值運動的波動率；dz為布朗運動的增量過程。由于0是隨機過程的一個吸收壁，因此假設期初資產價值V0＞＞0。假設剝離交易的買賣雙方均為風險中性，所要求的無風險收益率為μ。令δ＝μ－α＞0表示該資產的回報不足，它表達了企業持有該資產的機會成本。由于該資產具有專用性，價值V只對企業自身成立，企業無法按這一價值進行剝離交易。

在資產剝離時，企業將通過拍賣的方式出售該項資產，拍賣獲得的收益為資產回收價值。為簡化分析，假設拍賣過程具備對稱、獨立的私人估價模型（SIPV）的特征，即所有投標者同質，其私人估價服從獨立同分布的連續隨機變量，每個投標者都知道自己的估 價，但 其 他 人 不 了 解 他 的 估 價。［19］（P191－201）該資產只能作為一個整體進行拍賣，拍賣過程瞬時完成且不發生成本。拍賣方與剝離方表示同樣含義，在后文根據語境需要交替使用。

設拍賣中共有n位投標者，代表性投標者i的估價為vi，服從區間［0，珔v］上的均勻分布U（vi）。由于所有投標者獨立且同質，其估價的概率分布為獨立同分布，因此投資者估價的聯合分布函數為U（v1）U（v2）…U（vn），即所有單個投標者估價分布函數的乘積。投標者的戰略是他們的投標函數bi，在投標者同質的情況下存在對稱均衡，即所有投標者的戰略都相同，均為bi＝b（vi）。假定只要投標者的估價不低于保留價格Vd＞0便愿意參與拍賣，保留價格Vd是剝離企業規定的最小投標價，等于企業在剝離時的資產價值①最 優拍賣機制設計還需考慮保留價格的最優設定問題，但這一問題與最優時機選擇結合在一起使整個問題過于復雜，且實踐中難以做到保留價格的最優設定，故本文從實際出發做這一假設。。

擬剝離資產的價值受不確定環境的影響隨機波動，而其回收價值由剝離時的拍賣過程決定，因此企業資產剝離的核心決策，在于選擇適當時機進行拍賣。對企業而言，這是一個無到期日的美式賣權。根據美式賣權的特性，選擇適當的時機等價于選擇一個適當的臨界值，當資產價值達到這一臨界值時進行拍賣，可 使 拍 賣的收益最大 化。［20］（P116－128）一 旦進入拍賣過程，這一臨界值即成為剝離企業規定的最小投標價，也即保留價格Vd。企業要制定最優的資產剝離決策，首先要估計拍賣時所能獲得收益，這需要利用拍賣博弈的框架進行分析。之后企業根據這一預期收益確定最優剝離時機，即確定一個適當的資產價值臨界值。以下逐步進行討論。

三、拍賣的預期收益

對稱、獨立、私人估價拍賣（SIPV）已經得到了充分的研究，在此分析框架下容易證明：①所有把最高投標者作為贏者，有對稱均衡和相同保留價格的拍賣，都產生相同的均衡支付，即拍賣所采用的形式無關緊要。②均衡的投標函數b＊（v）嚴格單調遞增，估價高于Vd的投標者在拍賣中贏標的概率是U（v）n－1，且投標者的預期支付額為：［19］（P191－201）

式中右邊第一項為投標者預期收入，即所購資產對其自身的價值乘以競標成功的概率，第二項為投標者參與拍賣的預期利潤函數，兩項相減即為投標者的預期支付額。這也是對于拍賣者而言，從單個競標者獲得的預期收入。

拍賣者從單個投標者能夠獲得的收益則還要從上式中扣除成本：

即從單個競標者獲得的預期收入中扣除拍賣者需支付的成本的期望值VdU（v）n－1，其中Vd為拍賣時資產對于拍賣方的價值，U（v）n－1為單個投標者成交的概率。因為不了解投標者的估價，拍賣者只能求投標者的預期支付的期望值。把從n位投標者獲得的預期收益的期望值相加，便得到拍賣者總的預期收益②拍賣者求投標者預期支付的期望值時需運用順序統計量，具體分析過程可參考文獻［19］。：

利用分部積分法變形并化簡可得：

四、剝離決策

式（5）給出了企業在拍賣時的預期收益，它是擬剝離資產價值的函數。在真正將資產剝離之前，企業持有一個將資產剝離的無到期日美式賣權。運用標準的或有要求權分析法（CCA）及Ito定理，可以得到該剝離期權價值F（V）所滿足的二階微分方程：［21］（P127-142）

邊界條件：

式中V＊表示待求的執行剝離決策的最優資產價值臨界值。一旦進行剝離，則根據前文假設這一價值即成為剝離方的保留價格Vd。V＊和Vd兩者數值相同但其涵義不同，因而用不同符號分別表示。邊界條件（6．1）表明，當資產價值為無窮大的時候，剝離期權將不具有價值，因為此時剝離發生的概率趨于0；邊界條件（6．2）為價值匹配條件，給出了拍賣時的預期收益；邊界條件（6．3）是平滑粘貼條件，表明期權價值函數在執行邊界處光滑連續。最優剝離時機選擇問題轉化為尋找執行剝離的最優臨界值V＊。

滿足邊界條件式（6．1）的微分方程通解為：［21］（P127－142）

其中，A為待定參數，β2為微分方程（6）的特征方程0．5σ2β（β－1）＋αβ－r＝0的負根。將通解代入邊界條件式（6．2，6．3），得到如下方程組：

將均勻分布的密度函數與分布函數帶入拍賣者利潤函數∏（n，V＊）并化簡得到：

代入方程組（8）后得到：

上式為2元n＋1次方程組，待求的未知數為V＊和A。將兩式聯立化簡并消掉A可得：

上式為一元n＋1次方程，待求未知數為V＊，在n＞3的情況下，該方程一般無法用解析的方式求解，但可以證明，在問題的經濟可行域（0，珔v）內，該方程存在唯一解（證明請見附錄）。因此可利用數值求解方法，如牛頓法、二分法等，［22］（P40－50）在可行域內解出V＊。之后，可將V＊值帶回方程組（10）求出參數A的值，并進而利用式（7）求出資產剝離期權的價值。企業的資產剝離策略即可根據求得的V＊值制定，當V＞V＊時，等待時機；而當V＝V＊時，進行資產拍賣。此時資產價值V＊為該資產對于剝離方的價值，也是剝離方在拍賣時的保留價格Vd。

五、對n取不同極端值的分析

（一）當n趨于無窮大時

當競拍人數n趨于無窮大時，買方市場趨近于完全競爭。將拍賣者利潤函數（9）對n求極限可以得到：

將上式代入邊界條件（6．1－6．3），則邊界條件退化為：

這表明當市場趨近于完全競爭時，資產交易價格將是珔v，賣方接受市場的定價，以這一固定價格出售資產，此時剝離決策問題退化為最基本情況。［12］由于競拍人數增多加劇了競爭，成交價格會隨著競拍人數的增加而上升，這有利于拍賣方。

（二）當n等于1時

當買方人數等于1時，交易在買賣雙方之間進行，事實上已經不符合拍賣的定義，但仍加以分析以便進行比較。令（9）式中的n＝1得到：

此時賣方的收益為0，交易的價格為擬剝離資產對于剝離方的價值，買方獲得交易的全部剩余。這是由于在本文設定的拍賣交易框架中，賣方只是提出一個保留價格，并不因為其唯一性而獲得壟斷收益。而買方卻由于其唯一性在交易中獲得完全壟斷的地位，因而取得全部交易剩余。由于擬剝離資產的交易價格與它對剝離方的價值一樣，剝離期權對于剝離方而言價值為0。根據式（11），此時V＊取值可以為問題經濟可行域內的任意值，并不存在時機選擇問題。不過在現實中，如果買方只有一個人，賣方并不會采用拍賣的方式進行交易，而會采用討價還價的交易方式。討價還價的交易方式隱含了交易雙方為雙邊壟斷的假設，買賣雙方的討價還價能力決定了利益的分割。梁鑠、唐小我研究了基于討價還價交易的資產剝離實物期權決策，得到了資產剝離的臨界值及交易雙方的期權價值公式。［18］

（三）不同交易方式的比較

根據上述分析，當n比較大時，剝離方會選擇拍賣的形式進行交易，以盡可能利用買方之間競爭獲得更高賣價，如果利用討價還價方式進行交易則會損害價值。當n＝1時，剝離方自然會選擇討價還價的交易方式。但當買方人數較少時，由于基于拍賣模型的解析解難以取得，選擇哪種交易方式能給剝離方帶來更高收益則難以判斷。不過在參數已知的情況下，總可以通過數值解比較出兩者對于剝離方的優劣。

六、數值分析

（一）基本參數

由于期權價值和臨界值函數復雜，難以用解析的方式研究其性質，故采用數值分析的方式進行研究。根據問題的實際經濟意義選擇以下一組參數值，并作為后面參數敏感性分析的基礎。

表1 數值分析參數賦值

將上述數據代入式（11），利用數值方法對其求解（本文利用Excel的“單變量求解”功能），可以得到資產剝離的臨界值V＊為2．13。將該值代入式（10），可求得 A為7．89。最后利用式（7），可得到資產剝離期權F（V＊）的價值為2．75。

（二）參數敏感性分析

以下分別對σ、α等進行參數敏感性分析，即在保持其他參數不變的情況下，考察某個參數在合理區間內變動對于資產剝離期權價值和剝離臨界值的影響。

圖1 資產價值運動參數敏感性分析

波動率σ和漂移率α刻畫了擬剝離資產價值運動的特性。由圖1左圖可發現，當資產價值波動性σ提高時，剝離期權的價值增加而剝離臨界值下降。這是由于波動率增大會使剝離的預期收益增加。在貼現率一定的情況下，這增大了剝離期權的價值，并允許有更長的等待時間。圖1中間圖顯示了隨漂移率α上升，剝離期權的價值在下降，而剝離臨界值在上升。漂移率α上升反映了資產價值下降趨勢減緩，資產被剝離的可能性減小，由剝離獲得的收益也會減小，因而剝離期權價值下降。圖1右圖顯示隨無風險利率μ上升，剝離期權的價值下降而剝離臨界值上升。這是由于當無風險利率提升時，剝離交易的貼現值會減小，因而剝離期權的價值減小。此外由于等待的機會成本變高，更早的剝離變得有利，這提升了剝離臨界值。總體來看，這些結果與標準美式永久賣權對應的分析結果一致。［20］（P138-151）

圖2 拍賣交易參數敏感性分析

買者估值上限珔v與拍賣參與人數n是刻畫拍賣交易的兩個重要參數。由圖2左圖可以發現，隨著買方估值上限珔v的提升，資產剝離期權的價值與剝離臨界值都在提升。這是由于隨估值上限的提升，買方的期望出價會更高，被剝離資產拍賣的成交價格也會更高，這顯然會提高剝離收益，進而提升剝離期權的價值。這種情況下等待會使由貼現造成的損失加大，因而等待時間應當縮短，即資產剝離臨界值提高。買方人數n增加的效果與估值上限提升的影響類似。隨買方人數增加買方出價競爭會更激烈，這同樣會使被剝離資產拍賣的成交價格上升，并進而提高剝離交易收益、剝離期權價值與剝離臨界值。

七、結論

本文研究了不確定環境下，采用拍賣方式進行資產剝離的實物期權決策問題，具有重要的實踐應用價值。對于實際企業而言，當面臨以拍賣方式進行剝離交易的決策時，本文提供的分析方法不但比傳統基于貼現現金流的方法要合理，也比基于普通美式賣權的決策要準確，并且應用方便，利用流行的辦公計算軟件如Excel即可完成分析。因而可為實踐中企業決定剝離時機及交易方式等提供理論指導。

本研究對于證券市場投資者的應用價值在于，對于上市公司中處于下降趨勢的業務部門或資產，可從其資產專用性、潛在購買者的數量、估值范圍等角度考察擬剝離業務部門或資產買方的潛在競爭結構，進而估計資產剝離交易的形式。對于可能采用拍賣形式進行剝離交易的企業，可利用本文提供的方法判斷剝離交易時機及剝離對于企業價值的提升，進而以之為基礎制定投資策略，獲得超額回報。

對本文的拓展可從以下方面進行。一是對于拍賣形式的設定。本文在SIPV框架下分析了剝離交易，而實踐中買者的非對稱、買者間估值相關性，甚至串謀等因素都會對拍賣過程產生影響，這需要放松本文假設進一步研究。二是拍賣參與人數的確定。在本文的設定中，剝離交易之前企業已知道買方人數，這一假設較強，進一步的假設應當是參與拍賣的人數為隨機變量。此外，本文假設被剝離資產對于買者的價值確定，一個可能的拓展是考慮被剝離資產價值對買者來說不斷變化，從而將拍賣置于連續時間框架下。

附錄

證明方程（11）在經濟可行域（0，珔v）內有唯一解。

證明：方程（11）如果有解的話，則解必在區間（0，珔v）內，這是由于方程的解是資產剝離交易價格，賣方不可能將價值為正的資產賣出小于等于0的價格，買方也不可能按大于等于對資產估值上限的價格進行購買。稱區間（0，珔v）可為解的經濟可行域。

解的存在性：由上述結果知，在可行域的左邊界U（v0）小于0，在可行域右邊界，U（v0）等于0，其一階導數為0，二階導數為正?？芍猆（v0）在可行域右邊界鄰域內取極小值0，因而U（·）在右邊界的左臨域內大于0。由于U（v0）為連續函數，因此在可行域內必存在U（v0）＝0的點。

解的唯一性：函數區間為（上）凸函數，在凹（下凸）函數利用反證法，假設U（v0）在可行域內與橫軸有兩個交點，則隨v0增大第一個U（v0）＝0點導數為正，第二個交點導數為負。這使得U（v0）在右邊界處由下向上與橫軸相交，這與U（v0）在右邊界左鄰域大于0矛盾。由曲線在可行域內拐點個數知，U（v0）與橫軸相交次數不可能大于2。

綜上所述，U（v0）＝0在可行域內有唯一解。證明過程可參考圖3。

圖3 解的存在性與唯一性證明示意圖

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