有理數乘法法則講法之比較

劉輝

今年學校再次安排我任七年級的數學課，我心中暗自高興，因為畢竟教學難度又降低了，輕松了許多。但接下來發生的一件事卻讓我陷入了沉思。

開課的第二周，教材講到了有理數的乘法，我輕車熟路地設計好了這節課的教學設計。一開始先安排學生做了幾道有理數的加減法運算，心想有理數的乘法要比加減法簡單得多，練完了有理數的加減，乘法只要簡單一說就行了。講完了課本中的講解內容，我按著先前的教學安排提問道：“誰還有不明白的地方？”結果班上一名學生高高地舉起手來問道：“為什么負數乘以負數得正數呢？我不明白。”班上的其他學生先是哈哈大笑，可隨后也感覺到了同樣的困惑。對呀，為什么呢？我于是用課本上的講解方法再次講了一遍，可突然發現課本上的講解也算不上證明。于是我又舉例，說手心朝上為正朝下為負，翻一次手為負，那么手心朝下再翻一次不就是朝上為正了嗎？你們先這樣記著，慢慢理解。回到辦公室之后，我一直為自己不能很好地解釋這個問題而感到不安，我陷入了沉思。回想本學期的開始，我好像早就意識到了這個問題的出現。因為從去年起七年級的數學教材再一次改版了，在新版的七年級教材中關于有理數的乘法的講解方法有了重大的改動，不再是以前的用蝸牛沿直線爬行的方式來講解，而是采用了由一系列算式導出的方法。這種講解方法上的改變已經讓我對為什么負數乘以負數要得正數再一次產生了思考。直至今天，在課堂上學生再次提出才讓我意識到一定要把這個問題搞清楚。

為了找到答案，我上網，翻書，問同事，折騰了好幾天，但是還是沒有找到讓我完全信服的解釋。不過在這個過程中我卻獲得了不少的收獲，下面就先把我的收獲與大家分享一下。

一、了解了“負負得正”的發展史

首先，負數概念最早出現在中國的《九章算術》的方程一章中。在這一章中它給出正負數的加減運算法則。而負負得正則是在13世紀末才由數學家朱士杰給出。在《算學啟蒙》（1299）中，朱士杰提出：“明乘除法，同名相乘得正，異名相乘得負。”在公元7世紀，印度的數學家婆羅笈多（brahmayup-ta）已經有了明確的正負數概念，及其四則運算法則，內容是：“正負數相乘得負，兩負數相乘得正，兩正數相乘得正。”直到18世紀仍然有一些西方數學家認為“負負得正”這一運算法則是個謬論。甚至到了19世紀，英國還有一些數學家不接受負數。如英國數學家弗倫得（1757—1841）抨擊那些談“負負得正”的代數學家，認為負數有悖常理，“只有那些喜歡信口開河，厭惡嚴肅思維的人才支持這種數的使用。”事實上直到19世紀中葉以前，負負得正的運算，在代數課本中都沒有得到正確的解釋。

二、加深了對有理數乘法法則實質的認識

什么是有理數的乘法法則？有理數的乘法法則為什么是這樣的？這些以前從未思考過的問題現在出現在了我的腦海里。對比教材，我突然間明白了這樣一個實質性問題：有理數乘法法則實質上就是一種規定。這樣我之前的考慮問題的方向完全是錯誤的，再回過頭來看有理數的乘法法則，好像就明白了許多。比如，為什么要這樣規定運算法則呢？這讓我想到了本冊教材的第一節課，用正數和負數表示具有相反意義的量。所有問題的出現都是因為負數。為什么會出現負數，當然是因為生活中出現了正數所不能解決的問題了。那正數和負數的符號就是具有實際意義的符號了。在運算中就多了符號之間的運算，那符號的運算當然要符合實際的意義了。這樣一來就不難理解為什么負數乘以負數要得正數了。

三、理解有理數乘法法則的合理性

上面我已經說到了有理數乘法法則是一種規定，為什么這樣規定呢？帶著這個問題我做了進一步的思考，仔細地比對新老教材上的兩種講解方法，得出以下發現：以蝸牛沿直線運動的講解為例吧，正號和負號分別表示了蝸牛運動的方向和時間的前后，根據蝸牛運動的實際情況我們直接就能得出乘積的符號是什么，由實際得出的算式總結出乘法的運算法則自然再合理不過了。這樣有理數乘法法則的合理性就不言而喻了。

四、從兩種講解方法中看到了形象思維與抽象思維

首先，我簡單地解釋一下什么是形象思維和抽象思維。形象思維就是用直觀形象和表象來解決問題的思維方式。抽象思維則是對客觀現象進行間接地、概括地反映的過程。兩種方法中怎么會有形象思維與抽象思維呢？

1.蝸牛爬行方式的講解重形象思維。生動的畫面、直觀的圖像，讓學生一看到就有一種親切的感受，因為它延續了學生小學時的一貫思維方式，起到了小學與中學之間的銜接與過渡。生動直觀的畫面對于幫助學生理解乘法法則規定的合理性，幫助也是很大的。

2.算式講解法重抽象思維。算式的講解方法與蝸牛法就截然不同了，要想理解它，需要尋找算式之間的規律，讓學生思考在引進了負數之后，如果想讓這種乘法規律繼續延續下去，該如何對運算法則做進一步的規定？從而得出了現在的有理數的乘法法則。這種講解方法在理解上，對學生的抽象思維能力要求很高。與小學一貫的思維方式不同，可以說有一定的難度。

3.兩種方法哪一個更容易理解法則的合理性呢？我個人認為，蝸牛爬行的講解方法更容易理解，因為它更能凸顯：“規定是源于生活的實際的需要”，體現了“數學是為了解決生活中的問題而發明的一種工具”。相比較，算式法雖然同樣講明了有理數的乘法為什么要這樣規定，但由于它只是強調如何讓算式原有的規律在負數加入后能繼續下去，好像少了一些與實際的聯系，這在理解它的合理性時就略顯不足了。

五、更深入地認識到了數學是訓練人的思維最好的工具

這次的思考讓我做了許多的功課，為了找到答案我試著用多種方法來思考。在這一次的思考過程中，我再一次深深體會到了數學在訓練人的思維方面的重要作用。數學的發明是源于解決生活問題的需要，而數學的發展也帶動了人類思維的發展。相信在社會的歷史進程中數學會越來越凸顯它的重要作用。

以上的內容只是我個人對問題的一些思考，能力有限，比較膚淺，希望能與各位教育同仁共同探討，從而使我在數學教學過程中能取得更大的進步。

（責編 田彩霞）