一種新型變步長CMA盲均衡算法

朱振超+梁廣真

摘 要： 針對傳統固定步長CMA盲均衡算法中收斂速度和剩余誤差這對矛盾，提出了一種新型變步長恒模盲均衡算法，即由瑞利分布函數實施對其步長的調節，通過調整該步長公式中的兩個參數以加快收斂速度和減小剩余誤差，并且在此基礎上對該算法進行了改進。用4QAM信號，通過典型電話信道對固定步長的CMA算法，基于瑞利步長的CMA和改進后的CMA算法進行計算機仿真。通過對仿真出的算法收斂曲線以及輸出星座圖進行分析，最終得出在瑞利步長算法的基礎上改進后的CMA算法克服了前兩種算法的缺點，即具有收斂速度更快，剩余誤差更小的優點。

關鍵詞： 盲均衡CMA算法； 收斂速度； 剩余誤差； 變步長； 瑞利分布

中圖分類號： TN911.7?34 文獻標識碼： A 文章編號： 1004?373X（2014）18?0056?04

A new variable step?size CMA blind equalization algorithm

ZHU Zhen?chao1， LIANG Guang?zhen2

（1. Jiangsu University of Science and Technology， Zhenjiang 212300， China； 2. No. 723 Insitute of CISC， Yangzhou 225001， China）

Abstract： A new variable step?size constant modulus algorithm （CMA） blind equalization algorithm based on the Rayleigh distribution has been proposed aiming at the slow convergence rates and residual error of the traditional CMA with fixed step?size. The convergence rate was accelerated and the residual error was reduced by regulating the two parameters in the step?size equation. On this basis， the algorithm was improved. Simulation tests with typical telephone channel using 4QAM are carried out. The simulation results indicate that the improved algorithm based on the Rayleigh distribution step?size CMA algorithm has higher convergence rate and lower residual error.

Keywords： CMA blind equalization algorithm； convergence rate； residual error； variable step?size； Rayleigh distribution

0 引 言

盲均衡技術[1]是一種不借助于訓練序列，僅利用接收序列本身的先驗信息來調節均衡器權系數，使其輸出序列逼近發送序列的新型自適應均衡技術。盲均衡技術的核心是盲均衡算法。Godard和Triechiar提出了CMA盲均衡算法。在盲均衡算法中，CMA算法是使用最廣泛的盲均衡算法。收斂速度和剩余均方誤差是盲均衡算法的兩個主要性能。在盲均衡算法中，開始階段采用大步長，調整均衡器抽頭系數的幅度就大，加快收斂，當抽頭系數接近最優值時，抽頭系數在最優值附近以較大的幅度抖動，因而有較大的剩余誤差。如果步長較小，算法收斂速度就慢了，權系數接近最優值時候，將會在附近較小的范圍內抖動，因而剩余誤差較小。傳統的CMA算法采用固定步長，只是在收斂速度和收斂精度方面做出折中處理，這大大制約了盲均衡算法的性能。因此針對固定步長算法的缺陷，本文提出一種基于瑞利分布的變步長的CMA算法。

1 CMA盲均衡算法的原理

CMA自適應盲均衡器的結構如圖1所示。

圖1 CMA自適應忙均衡器結構圖

CMA算法是采用最陡梯度下降法來迭代均衡器的抽頭系數，逐步尋找代價函數的最小值點，當代價函數達到最小時，均衡器的權值就基本穩定在最優值附近。

CMA的無記憶非線性函數如式（1）所示：

[x（n）=g（x（n））=x（n）x（n）[x（n）+RPx（n）-x（n）3]] （1）

[R]的定義為式（2），其是個常數：

[R2=E{x（n）4}E{x（n）2}] （2）

誤差函數為式（3）：

[e（n）=x（n）[RP-x（n）2]] （3）

算法的代價函數為式（4）：

[J（n）=14E[（R2-x（n）2）2]] （4）

由于發射信號功率和均衡器輸出信號功率是收斂的，所以選取以上代價函數。用隨機梯度代替梯度期望值得到權系數迭代公式：

[W（n+1）=W（n）+μx（n）[RP-x（n）2]Y（n）] （5）

根據式（1）～式（5），將CMA算法進行計算機仿真，測試步長對算法收斂速度和收斂精度的影響。仿真條件：輸入信號為4QAM調制方式，信噪比為20 dB，濾波器階數為11，信道采用典型電話信道（6），步長分別為0.000 2，0.001和0.005，實驗仿真次數為2 000次。

[H（z）=0.005+0.009Z-1-0.024Z-2+0.854Z-3- 0.218Z-4+0.049Z-5-0.016Z-6] （6）

仿真結果如圖2所示。

圖2 固定步長的CMA算法收斂曲線

由圖2可以看出，隨著步長u的增大，收斂速度增大的同時增大了穩態剩余誤差。所以收斂速度和穩態剩余誤差是一對矛盾，制約著CMA盲均衡算法的性能。

2 基于瑞利分布的CMA盲均衡算法

2.1 基于瑞利分布的變步長CMA算法原理

為了加快收斂速度的同時，降低均方誤差，根據文獻[2]中利用非線性函數控制步長的思想，借助式子：

[μ（n）=β{1-exp[-αe（n）]}] （7）

將步長[μ（n）]定義為瑞利分布函數形式：

[μ（n）=β{[e（n）α2]exp[-e（n）2（2α2）]}] （8）

誤差函數為：

[e（n）=x（n）[RP-x（n）2]] （9）

權系數迭代公式：

[W（n+1）=W（n）+μ（n）e（n）Y（n）] （10）

2.2 性能分析

為了確定α和[β]對收斂性能的影響，根據表1中給出的參數組，繪出在不同[α]，[β]參數下，步長[μ（n）]與[e（n）]變化關系曲線，如圖3所示（仿真圖中的[a]即為[α]，[b]即為[β]，適用于以下所有仿真圖）。

表1 [α]和[β]參數設置

從圖3可以看出，當[e（n）<α]時，隨著 [e（n）]的減小，[μ（n）]也減小，即符合[e（n）]較大時，步長較大，收斂速度快，隨著誤差的減小，[μ（n）]也減小，保證了較小的穩態誤差。當[e（n）>α]時，，步長隨著[e（n）]的增大而減小。從圖3（a）得出，[β]固定，[α]越小，[μ（n）]隨[e（n）]變化的越快。從圖3（b）得出，[α]固定，[β]越大，曲線越陡，即[μ（n）]變化越快，且[μ（n）]最大值越大。

圖3 步長[μ（n）]隨[e（n）]變化的曲線

為了保證瑞利步長在[e（n）>α]時也能保持較大的步長加快收斂速度，對瑞利步長做一定的改進，使得不同的[e（n）]范圍使用不同的步長更新式：[μ（n）=β{[e（n）α2]exp[-e（n）2（2α2）]}，e（n）<αβαexp（-12）， e（n）≥α] （11）

改進的步長使得在[e（n）>α]時也能維持一個較高的步長，算法初始階段加快了收斂速度。將以上步長更新公式代入 ，即得到改進后的CMA算法。

2.3 改進步長的性能分析

從圖4看出，新步長更新公式使得算法在初始階段，誤差較大時，也保持了較大步長，保證了高的收斂速度。

圖4 新步長[μ（n）]隨[e（n）]變化的曲線

3 計算機仿真及分析

3.1 不同[α]，[β]參數對改進算法收斂曲線的影響

輸入信號為4QAM調制方式，信噪比為20 dB，濾波器階數為11，信道仍然采用電話信道，實驗仿真次數2 000次。仿真結果如圖5所示。由圖5（a）可以得出：[α]一定時，[β]越大收斂速度越快，穩態誤差變化不大。圖5（b）得出：[β]一定時，[α]減小，收斂速度降低，且當[α]小于0.2時，算法發散。由圖5（b）可知，[α]大于1時，算法收斂速度也降低。所以[α]過大過小都會導致算法收斂速度降低。當[α]增大時，穩態誤差減小。綜合考慮收斂速度以及收斂精度，以下仿真取參數[α]=0.9，[β]=0.004。

圖5 不同[α]，[β]參數對改進算法收斂曲線的影響

3.2 固定步長，瑞利步長以及改進后的瑞利步長下的 分析比較

三種算法的收斂曲線比較如下：

仿真環境：典型電話信道，輸入信號為4QAM調制方式，信噪比為20 dB，濾波器階數為11，實驗仿真次數2 000次。本實驗中變步長算法中參數取[α]=0.9，[β]=0.004，仿真結果如圖6所示。

圖6（a）是固定步長CMA，瑞利步長CMA以及改進后的瑞利CMA三種算法的收斂曲線圖，圖（b）是收斂曲線的放大圖，由圖可以得出改進后的CMA算法收斂速度和收斂精度都高于前兩種算法。

3.3 算法星座圖

仿真環境：典型電話信道。輸入信號為4QAM調制方式，信噪比為20 dB，濾波器階數為11，實驗仿真次數2 000次。仿真結果如圖7所示。圖7（a）為接收信號星座圖，圖7（b）為均衡器輸入信號星座圖，圖7 （c）為固定步長CMA算法輸出星座圖，圖7 （d）為瑞利步長CMA算法輸出星座圖， 圖7（e）為改進的瑞利步長CMA算法輸出星座圖。從圖7可以看出，經過改進算法的均衡器均衡之后的輸出星座圖更加緊密集中，清晰，即改進算法取得了更好的均衡效果，具有更小的穩態誤差。

4 結 語

本文提出的基于瑞利分布的變步長恒模盲均衡算法及其改進的變步長恒模算法解決了傳統恒模算法中，由于采用固定步長而造成的算法收斂速度與收斂精度之間的矛盾，提高了CMA算法的性能。算法理論分析和計算機仿真結果顯示在穩態誤差一樣的情況下，改進的算法具有更快的收斂速度。

參考文獻

[1] 朱斌.水聲信道的盲均衡算法研究[D].西安：西北工業大學，2008.

[2] TANG Pan?shi， LI Jian?ping. Improved algorithm for blind channel equalization [J]. IEEE， 2013，27（1）：38?43.

[3] ZHANG Tian?yu. Blind equalization algorithm of improved CMA [J]. Journal of Shanxi University of Science and Technology， 2009， 27（4）： 112?116.

[4] PORAT B， FRIEDLANDER B. Blind equalization of digital communication channels using high?order moments [J]. IEEE Transactions on Signal Processing， 1991， 39（2）： 522?526.

[5] 韓迎鴿，郭業才，強云霄.基于瑞利分布的變步長常模盲均衡算法[J].科技情報開發與經濟，2007，17（34）：160?161.

[6] 左智奇.通信系統中的盲均衡技術研究[D].天津：河北工業大學，2007.

[7] 趙寶峰，趙菊敏，張立毅.基于MSE變換的變步長恒模盲均衡算法[J].太原理工大學學報，2005，36（4）：395?397.

[8] 張雄.基于Bussgang技術盲均衡算法的研究[D].太原：太原理工大學，2003.

[9] HATZINAKOS D， NIKIAS C L .Blind equalization using a tricepstrum based algorithm [J]. IEEE Transactions on communication， 1991， 39： 669?682.

[10] 樊龍飛，查光明，黃順杰.關于CMA盲均衡算法的穩態剩余誤差的研究[J].信號處理，1998，14（4）：376?380.

[H（z）=0.005+0.009Z-1-0.024Z-2+0.854Z-3- 0.218Z-4+0.049Z-5-0.016Z-6] （6）

仿真結果如圖2所示。

圖2 固定步長的CMA算法收斂曲線

由圖2可以看出，隨著步長u的增大，收斂速度增大的同時增大了穩態剩余誤差。所以收斂速度和穩態剩余誤差是一對矛盾，制約著CMA盲均衡算法的性能。

2 基于瑞利分布的CMA盲均衡算法

2.1 基于瑞利分布的變步長CMA算法原理

為了加快收斂速度的同時，降低均方誤差，根據文獻[2]中利用非線性函數控制步長的思想，借助式子：

[μ（n）=β{1-exp[-αe（n）]}] （7）

將步長[μ（n）]定義為瑞利分布函數形式：

[μ（n）=β{[e（n）α2]exp[-e（n）2（2α2）]}] （8）

誤差函數為：

[e（n）=x（n）[RP-x（n）2]] （9）

權系數迭代公式：

[W（n+1）=W（n）+μ（n）e（n）Y（n）] （10）

2.2 性能分析

為了確定α和[β]對收斂性能的影響，根據表1中給出的參數組，繪出在不同[α]，[β]參數下，步長[μ（n）]與[e（n）]變化關系曲線，如圖3所示（仿真圖中的[a]即為[α]，[b]即為[β]，適用于以下所有仿真圖）。

表1 [α]和[β]參數設置

從圖3可以看出，當[e（n）<α]時，隨著 [e（n）]的減小，[μ（n）]也減小，即符合[e（n）]較大時，步長較大，收斂速度快，隨著誤差的減小，[μ（n）]也減小，保證了較小的穩態誤差。當[e（n）>α]時，，步長隨著[e（n）]的增大而減小。從圖3（a）得出，[β]固定，[α]越小，[μ（n）]隨[e（n）]變化的越快。從圖3（b）得出，[α]固定，[β]越大，曲線越陡，即[μ（n）]變化越快，且[μ（n）]最大值越大。

圖3 步長[μ（n）]隨[e（n）]變化的曲線

為了保證瑞利步長在[e（n）>α]時也能保持較大的步長加快收斂速度，對瑞利步長做一定的改進，使得不同的[e（n）]范圍使用不同的步長更新式：[μ（n）=β{[e（n）α2]exp[-e（n）2（2α2）]}，e（n）<αβαexp（-12）， e（n）≥α] （11）

改進的步長使得在[e（n）>α]時也能維持一個較高的步長，算法初始階段加快了收斂速度。將以上步長更新公式代入 ，即得到改進后的CMA算法。

2.3 改進步長的性能分析

從圖4看出，新步長更新公式使得算法在初始階段，誤差較大時，也保持了較大步長，保證了高的收斂速度。

圖4 新步長[μ（n）]隨[e（n）]變化的曲線

3 計算機仿真及分析

3.1 不同[α]，[β]參數對改進算法收斂曲線的影響

輸入信號為4QAM調制方式，信噪比為20 dB，濾波器階數為11，信道仍然采用電話信道，實驗仿真次數2 000次。仿真結果如圖5所示。由圖5（a）可以得出：[α]一定時，[β]越大收斂速度越快，穩態誤差變化不大。圖5（b）得出：[β]一定時，[α]減小，收斂速度降低，且當[α]小于0.2時，算法發散。由圖5（b）可知，[α]大于1時，算法收斂速度也降低。所以[α]過大過小都會導致算法收斂速度降低。當[α]增大時，穩態誤差減小。綜合考慮收斂速度以及收斂精度，以下仿真取參數[α]=0.9，[β]=0.004。

圖5 不同[α]，[β]參數對改進算法收斂曲線的影響

3.2 固定步長，瑞利步長以及改進后的瑞利步長下的 分析比較

三種算法的收斂曲線比較如下：

仿真環境：典型電話信道，輸入信號為4QAM調制方式，信噪比為20 dB，濾波器階數為11，實驗仿真次數2 000次。本實驗中變步長算法中參數取[α]=0.9，[β]=0.004，仿真結果如圖6所示。

圖6（a）是固定步長CMA，瑞利步長CMA以及改進后的瑞利CMA三種算法的收斂曲線圖，圖（b）是收斂曲線的放大圖，由圖可以得出改進后的CMA算法收斂速度和收斂精度都高于前兩種算法。

3.3 算法星座圖

仿真環境：典型電話信道。輸入信號為4QAM調制方式，信噪比為20 dB，濾波器階數為11，實驗仿真次數2 000次。仿真結果如圖7所示。圖7（a）為接收信號星座圖，圖7（b）為均衡器輸入信號星座圖，圖7 （c）為固定步長CMA算法輸出星座圖，圖7 （d）為瑞利步長CMA算法輸出星座圖， 圖7（e）為改進的瑞利步長CMA算法輸出星座圖。從圖7可以看出，經過改進算法的均衡器均衡之后的輸出星座圖更加緊密集中，清晰，即改進算法取得了更好的均衡效果，具有更小的穩態誤差。

4 結 語

本文提出的基于瑞利分布的變步長恒模盲均衡算法及其改進的變步長恒模算法解決了傳統恒模算法中，由于采用固定步長而造成的算法收斂速度與收斂精度之間的矛盾，提高了CMA算法的性能。算法理論分析和計算機仿真結果顯示在穩態誤差一樣的情況下，改進的算法具有更快的收斂速度。

參考文獻

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[10] 樊龍飛，查光明，黃順杰.關于CMA盲均衡算法的穩態剩余誤差的研究[J].信號處理，1998，14（4）：376?380.

[H（z）=0.005+0.009Z-1-0.024Z-2+0.854Z-3- 0.218Z-4+0.049Z-5-0.016Z-6] （6）

仿真結果如圖2所示。

圖2 固定步長的CMA算法收斂曲線

由圖2可以看出，隨著步長u的增大，收斂速度增大的同時增大了穩態剩余誤差。所以收斂速度和穩態剩余誤差是一對矛盾，制約著CMA盲均衡算法的性能。

2 基于瑞利分布的CMA盲均衡算法

2.1 基于瑞利分布的變步長CMA算法原理

為了加快收斂速度的同時，降低均方誤差，根據文獻[2]中利用非線性函數控制步長的思想，借助式子：

[μ（n）=β{1-exp[-αe（n）]}] （7）

將步長[μ（n）]定義為瑞利分布函數形式：

[μ（n）=β{[e（n）α2]exp[-e（n）2（2α2）]}] （8）

誤差函數為：

[e（n）=x（n）[RP-x（n）2]] （9）

權系數迭代公式：

[W（n+1）=W（n）+μ（n）e（n）Y（n）] （10）

2.2 性能分析

為了確定α和[β]對收斂性能的影響，根據表1中給出的參數組，繪出在不同[α]，[β]參數下，步長[μ（n）]與[e（n）]變化關系曲線，如圖3所示（仿真圖中的[a]即為[α]，[b]即為[β]，適用于以下所有仿真圖）。

表1 [α]和[β]參數設置

從圖3可以看出，當[e（n）<α]時，隨著 [e（n）]的減小，[μ（n）]也減小，即符合[e（n）]較大時，步長較大，收斂速度快，隨著誤差的減小，[μ（n）]也減小，保證了較小的穩態誤差。當[e（n）>α]時，，步長隨著[e（n）]的增大而減小。從圖3（a）得出，[β]固定，[α]越小，[μ（n）]隨[e（n）]變化的越快。從圖3（b）得出，[α]固定，[β]越大，曲線越陡，即[μ（n）]變化越快，且[μ（n）]最大值越大。

圖3 步長[μ（n）]隨[e（n）]變化的曲線

為了保證瑞利步長在[e（n）>α]時也能保持較大的步長加快收斂速度，對瑞利步長做一定的改進，使得不同的[e（n）]范圍使用不同的步長更新式：[μ（n）=β{[e（n）α2]exp[-e（n）2（2α2）]}，e（n）<αβαexp（-12）， e（n）≥α] （11）

改進的步長使得在[e（n）>α]時也能維持一個較高的步長，算法初始階段加快了收斂速度。將以上步長更新公式代入 ，即得到改進后的CMA算法。

2.3 改進步長的性能分析

從圖4看出，新步長更新公式使得算法在初始階段，誤差較大時，也保持了較大步長，保證了高的收斂速度。

圖4 新步長[μ（n）]隨[e（n）]變化的曲線

3 計算機仿真及分析

3.1 不同[α]，[β]參數對改進算法收斂曲線的影響

輸入信號為4QAM調制方式，信噪比為20 dB，濾波器階數為11，信道仍然采用電話信道，實驗仿真次數2 000次。仿真結果如圖5所示。由圖5（a）可以得出：[α]一定時，[β]越大收斂速度越快，穩態誤差變化不大。圖5（b）得出：[β]一定時，[α]減小，收斂速度降低，且當[α]小于0.2時，算法發散。由圖5（b）可知，[α]大于1時，算法收斂速度也降低。所以[α]過大過小都會導致算法收斂速度降低。當[α]增大時，穩態誤差減小。綜合考慮收斂速度以及收斂精度，以下仿真取參數[α]=0.9，[β]=0.004。

圖5 不同[α]，[β]參數對改進算法收斂曲線的影響

3.2 固定步長，瑞利步長以及改進后的瑞利步長下的 分析比較

三種算法的收斂曲線比較如下：

仿真環境：典型電話信道，輸入信號為4QAM調制方式，信噪比為20 dB，濾波器階數為11，實驗仿真次數2 000次。本實驗中變步長算法中參數取[α]=0.9，[β]=0.004，仿真結果如圖6所示。

圖6（a）是固定步長CMA，瑞利步長CMA以及改進后的瑞利CMA三種算法的收斂曲線圖，圖（b）是收斂曲線的放大圖，由圖可以得出改進后的CMA算法收斂速度和收斂精度都高于前兩種算法。

3.3 算法星座圖

仿真環境：典型電話信道。輸入信號為4QAM調制方式，信噪比為20 dB，濾波器階數為11，實驗仿真次數2 000次。仿真結果如圖7所示。圖7（a）為接收信號星座圖，圖7（b）為均衡器輸入信號星座圖，圖7 （c）為固定步長CMA算法輸出星座圖，圖7 （d）為瑞利步長CMA算法輸出星座圖， 圖7（e）為改進的瑞利步長CMA算法輸出星座圖。從圖7可以看出，經過改進算法的均衡器均衡之后的輸出星座圖更加緊密集中，清晰，即改進算法取得了更好的均衡效果，具有更小的穩態誤差。

4 結 語

本文提出的基于瑞利分布的變步長恒模盲均衡算法及其改進的變步長恒模算法解決了傳統恒模算法中，由于采用固定步長而造成的算法收斂速度與收斂精度之間的矛盾，提高了CMA算法的性能。算法理論分析和計算機仿真結果顯示在穩態誤差一樣的情況下，改進的算法具有更快的收斂速度。

參考文獻

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[10] 樊龍飛，查光明，黃順杰.關于CMA盲均衡算法的穩態剩余誤差的研究[J].信號處理，1998，14（4）：376?380.