帶形狀參數(shù)的Bernstein-Bézier曲面*

嚴(yán)蘭蘭

(東華理工大學(xué)理學(xué)院,江西 撫州 344000)

帶形狀參數(shù)的Bernstein-Bézier曲面*

嚴(yán)蘭蘭

(東華理工大學(xué)理學(xué)院,江西 撫州 344000)

雖然三角域上的曲面造型方法能有效解決不規(guī)則產(chǎn)品的幾何造型問題, 在實(shí)際工程中有著廣泛的應(yīng)用, 但由于其結(jié)構(gòu)的特殊性和復(fù)雜性, 目前對(duì)三角域曲面的擴(kuò)展研究并不多。為了豐富三角域曲面的理論, 針對(duì)如何增強(qiáng)三角域曲面形狀表示的靈活性進(jìn)行了專門的研究。首先構(gòu)造了一組三角域上含一個(gè)參數(shù)的四次多項(xiàng)式基函數(shù), 它是三角域上二次Bernstein基函數(shù)的擴(kuò)展。然后用遞推的方式定義了三角域上含一個(gè)參數(shù)的n+2次多項(xiàng)式基函數(shù), 它是三角域上n次Bernstein基函數(shù)的擴(kuò)展。基于新的n+2次多項(xiàng)式基函數(shù), 定義了相應(yīng)的n階三角域曲面。分析了基函數(shù)和曲面的性質(zhì), 新曲面不僅具備三角域上Bernstein-Bézier曲面的基本性質(zhì), 而且還可以在不改變控制頂點(diǎn)的情況下, 通過改變參數(shù)的值來自由調(diào)整曲面的形狀。

曲面設(shè)計(jì)；形狀參數(shù);三角域;Bernstein-Bézier曲面

1 引言

Bézier方法因?yàn)楹?jiǎn)單、直觀而成為計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)中最常用的造型方法之一。傳統(tǒng)的Bézier方法既包括Bézier曲線、四邊域上的張量積Bézier曲面, 還包括三角域上的Bernstein-Bézier曲面。這三者在形狀表示方面各有各的優(yōu)點(diǎn), 但它們有一個(gè)共同的缺點(diǎn), 就是不具備形狀可調(diào)性, 即在控制頂點(diǎn)固定的情況下, 它們的形狀是無法改變的。針對(duì)Bézier曲線的這一缺點(diǎn), 目前已經(jīng)有很多文獻(xiàn)提出了改進(jìn)方法[1～4]。這些文獻(xiàn)中的方法可以歸納為, 通過構(gòu)造含參數(shù)的、性質(zhì)類似于Bernstein基函數(shù)的新的基函數(shù), 使得由之定義的曲線在具備Bézier曲線基本性質(zhì)的同時(shí), 又具備形狀可調(diào)性。由于四邊域上的張量積Bézier曲面是Bézier曲線向曲面的直接推廣, 所以這些文獻(xiàn)中的方法在克服Bézier曲線的缺點(diǎn)的同時(shí), 也克服了張量積Bézier曲面的缺點(diǎn)。但是，由于定義在三角域上的Bernstein-Bézier曲面結(jié)構(gòu)的特殊性, 這些文獻(xiàn)中的方法不能直接推廣至三角域曲面, 因此, 必須單獨(dú)為三角域曲面構(gòu)造含參數(shù)的基函數(shù), 使得由之定義的曲面具備形狀可調(diào)性。

但是，目前關(guān)于這方面的研究成果很少, 迄今為止, 僅見到以下成果:鄔弘毅等[5]給出的三角域上帶多個(gè)形狀參數(shù)的Bézier曲面, 由于該方法中的參數(shù)較多, 無疑增加了構(gòu)造曲面的復(fù)雜性。曹娟等[6]給出的三角域上帶一個(gè)形狀參數(shù)的三次Bernstein-Bézier曲面的擴(kuò)展曲面, 于立萍[7]給出的三角域上帶兩個(gè)形狀參數(shù)的三次Bernstein-Bézier曲面的擴(kuò)展曲面, 都具有靈活的形狀, 但這兩種方法都僅僅只解決了三次Bernstein-Bézier曲面的形狀調(diào)整問題, 不具備一般性。吳曉勤等[8]、CAO Juan等[9]、Yan Lan-lan等[4]給出的三角域上帶一個(gè)形狀參數(shù)的任意n次Bernstein-Bézier曲面的擴(kuò)展曲面, 都較好地解決了三角域曲面的形狀調(diào)整問題, 并且都具有一般性。

為了提供更多的含參數(shù)的三角域曲面造型方法, 進(jìn)一步充實(shí)現(xiàn)有的CAD系統(tǒng), 本文在文獻(xiàn)[4,8,9]的基礎(chǔ)上構(gòu)造了一種新的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)類似于Bernstein-Bézier曲面的三角域曲面, 并通過實(shí)例表明該方法是正確有效的。

2 基函數(shù)的構(gòu)造與性質(zhì)

(1)

(2)

類Bernstein-Bézier基函數(shù)具有下列性質(zhì):

證明用數(shù)學(xué)歸納法。當(dāng)n=2時(shí), 類Bernstein-Bézier基函數(shù)可以表示成四次Bernstein-Bézier基函數(shù)的線性組合, 即:

(3)

假設(shè)r階類Bernstein-Bézier基函數(shù)非負(fù), 當(dāng)n=r+1時(shí), 由式(2)有:

□

證明用數(shù)學(xué)歸納法。當(dāng)n=2時(shí), 由式(3)有:

假設(shè)當(dāng)n=r時(shí)規(guī)范性成立, 當(dāng)n=r+1時(shí), 由式(2)有:

證畢。

□

(3) 輪換對(duì)稱性。對(duì)u、v、w≥0,u+v+w=1,有:

(4)

其中，i、j、k∈N,i+j+k=n,n≥2。

證明用數(shù)學(xué)歸納法。當(dāng)n=2時(shí), 由式(3)以及四次Bernstein-Bézier基函數(shù)的對(duì)稱性, 可知式(4)對(duì)n=2成立。假設(shè)式(4)對(duì)n=r成立, 由這一假設(shè)以及式(2), 可知當(dāng)n=r+1時(shí), 有:

其它幾種關(guān)系類似可證。

□

(4) 角點(diǎn)性質(zhì)。當(dāng)n≥2時(shí), 對(duì)于i、j、k∈N,i+j+k=n, 有:

(5)

證明用數(shù)學(xué)歸納法。當(dāng)n=2時(shí), 對(duì)式(1)直接計(jì)算可知式(5)的正確性。假設(shè)式(5)對(duì)n=r成立, 當(dāng)n=r+1時(shí),

這些表明式(5)對(duì)n=r+1成立。證畢。

□

(5)角點(diǎn)導(dǎo)數(shù)。對(duì)u、v、1-u-v≥0,i、j、k∈N,i+j+k=n,n≥2, 有:

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

證明用數(shù)學(xué)歸納法。當(dāng)n=2時(shí), 直接計(jì)算易知式(6)～式(11)對(duì)n=2成立。假設(shè)式(6)對(duì)n=r成立, 當(dāng)n=r+1時(shí), 由式(2)有:

(12)

在式(12)兩端對(duì)u求導(dǎo), 得到:

取點(diǎn)(u,v,1-u-v)=(1,0,0), 得到:

由式(5)中所列的在角點(diǎn)(1,0,0)處的性質(zhì), 以及歸納假設(shè), 可得：

① 若(i-1,j,k)=(r,0,0), 即(i,j,k)=(r+1,0,0), 則：

② 若(i,j,k-1)=(r,0,0), 即(i,j,k)=(r,0,1), 則:

③ 若(i-1,j,k)≠(r,0,0)且(i,j,k-1)≠(r,0,0), 即(i,j,k)≠(r+1,0,0)且(i,j,k)=(r,0,1), 則：

這些結(jié)論表明式(6)對(duì)n=r+1成立。類似可證式(7)～式(11)也對(duì)n=r+1成立。

□

證明充分性是顯然的。下面用歸納法證明必要性。假設(shè)對(duì)所有的u、v、w≥0,u+v+w=1,有:

(13)

其中aijk∈R,i、j、k∈N,i+j+k=2。將式(3)代入式(13)并整理, 得到:

由四次Bernstein-Bézier基函數(shù)的獨(dú)立性, 可得式(14)。

將式(14)中的式(14-a)代入式(14-b)中, 可得式(15)。

假設(shè)r階類Bernstein-Bézier基函數(shù)線性無關(guān), 下面證明r+1階類Bernstein-Bézier基函數(shù)也線性無關(guān)。

(14)

(15)

假設(shè)對(duì)所有的u、v、w≥0,u+v+w=1, 有:

(16)

其中aijk∈R,i、j、k∈N,i+j+k=r+1。將式(2)代入式(16)并整理, 得到:

由u、v、w的任意性可得:

(17)

由歸納假設(shè)及式(17)中的式(17-a)可知, 對(duì)所有i、j、k∈N,i+j+k=r+1, 當(dāng)i≥1時(shí),aijk= 0;由式(17)中的式(17-b)可知, 對(duì)所有i、j、k∈N,i+j+k=r+1, 當(dāng)j≥1時(shí),aijk=0; 由式(17)中的式(17-c)可知, 對(duì)所有i、j、k∈N,i+j+k=r+1, 當(dāng)k≥1時(shí),aijk=0。故對(duì)所有的i、j、k∈N,i+j+k=r+1, 有aijk=0。這表明r+1階類Bernstein-Bézier基函數(shù)線性無關(guān)。

□

3 曲面的構(gòu)造與性質(zhì)

定義2給定(n+1)(n+2)/2個(gè)控制頂點(diǎn)Vi,j,k∈R3(i、j、k∈N,i+j+k=n), 三角域D= {(u,v,w)|u、v、w≥0,u+v+w=1},其中(u,v,w)為D中點(diǎn)的重心坐標(biāo), 稱:

(18)

為定義在三角域D上的帶參數(shù)的n階類Bernstein-Bézier曲面。

由類Bernstein-Bézier基函數(shù)的性質(zhì), 容易推出類Bernstein-Bézier曲面具有下列性質(zhì):

(1) 凸包性。類Bernstein-Bézier曲面位于控制網(wǎng)格所在的凸包內(nèi)。

(2) 仿射不變性。類Bernstein-Bézier曲面的形狀和位置與坐標(biāo)系的選擇無關(guān), 對(duì)曲面作仿射變換, 只需對(duì)其網(wǎng)格作此仿射變換。

(3) 角點(diǎn)插值性。曲面的3個(gè)角點(diǎn)分別插值于控制網(wǎng)格的3個(gè)角點(diǎn), 即:

(4) 角點(diǎn)切平面。曲面在角點(diǎn)(1,0,0)、(0,1,0)、(0,0,1)處的切平面分別為由控制頂點(diǎn)Vn,0,0、Vn-1,1,0、Vn-1,0,1;V0,n,0、V1,n-1,0、V0,n-1,1;V0,0,n、V1,0,n-1、V0,1,n-1張成的平面。

(5) 形狀可調(diào)性。給定控制頂點(diǎn), 普通Bernstein-Bézier曲面的形狀就唯一確定了, 而對(duì)于類Bernstein-Bézier曲面而言, 即使不改變控制頂點(diǎn), 其形狀依然可以通過改變?chǔ)说闹颠M(jìn)行調(diào)整。

圖1和圖2給出了在相同的控制網(wǎng)格下, Bernstein-Bézier曲面與類Bernstein-Bézier曲面的對(duì)照?qǐng)D。其中圖1a、圖2a分別為二次、三次Bernstein-Bézier曲面, 圖1b～圖1f、圖2b～圖2f分別為帶參數(shù)λ=-1、-3/4、-1/2、-1/4、0的二階、三階類Bernstein-Bézier曲面。從圖中可以看出,λ越大, 類Bernstein-Bézier曲面越接近其控制網(wǎng)格。

Figure 1 Contrast of the quadratic Bernstein-Bézier surface and the Bernstein-Bézier surface of order two圖1 二次Bernstein-Bézier曲面與 二階類Bernstein-Bézier曲面的對(duì)照?qǐng)D

Figure 2 The contrast of cubic Bernstein-Bézier surface and the Bernstein-Bézier surface of order three圖2 三次Bernstein-Bézier曲面與 三階類Bernstein-Bézier曲面的對(duì)照?qǐng)D

(6)遞推求值算法。給定參數(shù)u、v、w(u、v、w≥ 0,u+v+w=1), 可以用下面的算法來計(jì)算n階類Bernstein-Bézier曲面上相應(yīng)的點(diǎn)Y(u,v,w)。

為了簡(jiǎn)潔, 用τ表示u,v,w, 則:

當(dāng)l=n-1時(shí),

4 參數(shù)λ對(duì)曲面形狀的影響

在工程實(shí)際中主要應(yīng)用的是低階的曲面, 為了方便應(yīng)用, 下面分析參數(shù)λ的取值對(duì)二階、三階類Bernstein-Bézier曲面形狀的影響。

上面的結(jié)果表明，y200、y020、y002是關(guān)于λ的遞減函數(shù), 而y110、y011、y101是關(guān)于λ的遞增函數(shù)。基函數(shù)的這種性質(zhì)反映在二階類Bernstein-Bézier曲面的圖形上的特點(diǎn)是:在參數(shù)λ允許的范圍內(nèi),λ的值越大, 曲面越遠(yuǎn)離由三個(gè)角點(diǎn)V200、V020、V002確定的平面, 同時(shí)越接近由三個(gè)中間點(diǎn)V110、V011、V101確定的平面, 見圖1b～圖1f。

由式(1)和式(2)可知，當(dāng)n=3時(shí),

(19)

式(19)表明y300、y030、y003是λ的遞減函數(shù)。y111是λ的遞增函數(shù)。當(dāng)w=0時(shí),y210、y120是λ的遞增函數(shù); 當(dāng)u=0時(shí),y021、y012是λ的遞增函數(shù); 當(dāng)v=0時(shí),y102、y201是λ的遞增函數(shù)。基函數(shù)的這種性質(zhì)反映在三階類Bernstein-Bézier曲面的圖形上的特點(diǎn)是:在參數(shù)λ允許的范圍內(nèi),λ的值越大, 曲面越遠(yuǎn)離由三個(gè)角點(diǎn)V300、V030、V003確定的平面, 越接近中心點(diǎn)V111, 同時(shí)三條邊界曲線分別越接近相應(yīng)的控制邊V210V120、V021V012、V102V201,見圖2b～圖2f。

5 曲面的造型實(shí)例

本文提出的三角域曲面造型方法具有一般性, 任給(n+1)(n+2)/2個(gè)控制頂點(diǎn)(n≥2), 選擇恰當(dāng)?shù)膮?shù)λ, 便可以構(gòu)造出想要的曲面。圖3～圖5給出了類Bernstein-Bézier曲面的造型實(shí)例。圖3中的兩張曲面均取參數(shù)λ=-1/2；圖4、圖5中的曲面均取參數(shù)λ=0。

Figure 3 Bernstein-Bézier-like surfaces of order two圖3 二階類Bernstein-Bézier曲面

Figure 4 Bernstein-Bézier-like surfaces of order three圖4 三階類Bernstein-Bézier曲面

Figure 5 Bernstein-Bézier-like surfaces of order four圖5 四階類Bernstein-Bézier曲面

6 結(jié)束語

通過提高多項(xiàng)式的次數(shù), 本文首先對(duì)三角域上的二次Bernstein-Bézier基函數(shù)進(jìn)行推廣, 然后借助遞推公式對(duì)三角域上任意次的Bernstein-Bézier基函數(shù)進(jìn)行推廣。新的基函數(shù)具有Bernstein-Bézier基函數(shù)的非負(fù)性、規(guī)范性、對(duì)稱性等諸多良好性質(zhì), 又因?yàn)樾碌幕瘮?shù)中含有參數(shù), 所以由之定義的新的三角域曲面在具備普通Bernstein-Bézier曲面的凸包性、仿射不變性、角點(diǎn)插值性等優(yōu)良性質(zhì)的同時(shí), 又具備了形狀可調(diào)性。要想改變新曲面的形狀, 只需簡(jiǎn)單地改變形狀參數(shù)的值即可。形狀參數(shù)越大, 曲面越逼近控制網(wǎng)格, 形狀參數(shù)的這一直觀的幾何意義可以幫助我們快速確定合適的參數(shù)值來得到想要的形狀。

雖然本文提出的類Bernstein-Bézier曲面具備很多優(yōu)點(diǎn), 但由于單一的曲面片難以表示復(fù)雜的形狀, 所以為了使新曲面能更好地服務(wù)于工程實(shí)際, 研究該曲面間的光滑拼接條件迫在眉睫, 而這也正是下一步的研究?jī)?nèi)容。

[1] Wang Wen-tao, Wang Guo-zhao. Bézier curves with shape parameter [J]. Journal of Zhejiang University:Science A, 2005, 6(6):497-501.

[2] Wu Xiao-qin. Bézier curve with shape parameter [J]. Journal of Image and Graphics, 2006, 11(2):269-274. (in Chinese)

[3] Han Xi-an, Ma Yi-chen, Huang Xi-li. A novel generalization of Bézier curve and surface [J]. Journal of Computational and Applied Mathematics, 2008, 217(1):180-193.

[4] Yan Lan-lan, Liang Jiong-feng. An extension of the Beizer model [J]. Applied Mathematics and Computation, 2011, 218(6):2863-2879.

[5] Wu Hong-yi, Xia Cheng-lin. Extensions of Bézier curves and surfaces with multiple shape parameters [J]. Journal of Computer-Aided Design & Computer Graphics, 2005, 17(12):2607-2612. (in Chinese)

[6] Cao Juan, Wang Guo-zhao. Extension of the cubic Bernstein-Bézier surfaces over the triangular domain[J]. Journal of Computer-Aided Design & Computer Graphics, 2006, 18(9):1403-1407. (in Chinese)

[7] Yu Li-ping. Extension of Bézier surface with two shape parameters over the triangular domain [J]. College Mathematics, 2008, 24(5):58-62. (in Chinese)

[8] Wu Xiao-qin,Han Xu-li.Bézier triangular patch with a shape parameter[J]. Journal of Computer-Aided Design & Computer Graphics, 2006, 18(11):1735-1740. (in Chinese)

[9] Cao Juan, Wang Guo-zhao. An extention of Bernstein-Bézier surface over the triangular domain [J]. Progress in Natural Science, 2007, 17 (3):352-357.

附中文參考文獻(xiàn)：

[2] 吳曉勤. 帶形狀參數(shù)的Bézier曲線[J]. 中國(guó)圖象圖形學(xué)報(bào), 2006, 11(2):269-274.

[5] 鄔弘毅, 夏成林. 帶多個(gè)形狀參數(shù)的Bézier曲線與曲面的擴(kuò)展[J]. 計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)與圖形學(xué)學(xué)報(bào), 2005, 17(12):2607- 2612.

[6] 曹娟, 汪國(guó)昭. 三角域上三次Bernstein-Bézier參數(shù)曲面的擴(kuò)展[J]. 計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)與圖形學(xué)學(xué)報(bào), 2006, 18(9):1403- 1407.

[7] 于立萍. 三角域上帶兩個(gè)形狀參數(shù)的Bézier曲面的擴(kuò)展[J]. 大學(xué)數(shù)學(xué), 2008, 24(5):58-62.

[8] 吳曉勤, 韓旭里. 帶有形狀參數(shù)的Bézier三角曲面片[J]. 計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)與圖形學(xué)學(xué)報(bào), 2006, 18(11):1735-1740.

YANLan-lan,born in 1982,MS,lecturer,her research interest includes computer aided geometric design.

Bernstein-Béziersurfacewithshapeparameters

YAN Lan-lan

(College of Science,East China Institute of Technology,Fuzhou 344000,China)

Because the surface modeling method over the triangular domain can effectively solve the geometric modeling problem of irregular products, it is widely used in practical engineering. However, due to the particularity and complexity of the structure, there are not many studies on the extension of triangular surface at present. In order to enrich the theory of triangular surface, the paper carries out a specialized research on how to enhance the flexibility of shape representation of triangular surface. Firstly, a set of polynomial basis functions of degree four with one parameter over the triangular domain is constructed, which is an extension of the quadratic Bernstein basis function over the triangular domain. Secondly, based on it, the basis functions of degreen+2 with one parameter is defined by a recursive way, which is an extension of the Bernstein basis function of degreen. Thirdly, based on the new basis function of degreen+2, the triangular surface of ordernis defined. The properties of the basis functions and the surfaces are analyzed. The new surfaces not only have the basic properties of the Bernstein-Bézier surfaces, but also enjoy shape adjustable property.

surface design;shape parameter;triangular domain;Bernstein-Bézier surface

2012-09-20;

：2012-12-21

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11261003)

1007-130X(2014)02-0317-08

TP391.4

：A

10.3969/j.issn.1007-130X.2014.02.021

嚴(yán)蘭蘭(1982-),女,湖北浠水人，碩士，講師，研究方向?yàn)橛?jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)。E-mail:yxh821011@aliyun.com

通信地址：344000 江西省撫州市學(xué)府路56號(hào)東華理工大學(xué)理學(xué)院Address:College of Science,East China Institute of Technology,56 Xuefu Rd,Fuzhou 344000,Jiangxi,P.R.China