基于彈性變形的機床主軸參數設計方法研究

安虎平,張志梅,楊天興,劉昊,王玲

(1.蘭州城市學院機械檢測與故障診斷研究所,甘肅蘭州730070；2.蘭州交通大學后勤集團公司,甘肅蘭州730070)

機床主軸是實現切削主運動的執行部件，在切削系統中起關鍵作用。在機械制造裝備設計中，主軸設計合理性關系到機床性價比優劣，主軸精度在很大程度上決定了機床工作精度。在傳動系統確定的情況下，主軸支承結構的配置是影響主軸剛性、工作精度、結構、體積及成本的重要因素。如CW6163系列車床經過多年生產、改進設計，其結構趨于完善，品種規格日益齊全，生產工藝基本穩定。我國生產企業基于其局部結構和外觀的不足進行改進設計、增加品種規格，滿足了不同行業生產需要。然而，該機床精度還不夠高，其主要原因是生產商對主軸支承的合理性缺乏理論分析和技術手段。從實際生產經驗獲知，要想進一步提高機床工作精度，難度較大，因為設計部門已經試用過多種類型主軸支承軸承及其預緊結構，效果不明顯。此外，該機床的數控化改造不夠理想，其中原因之一就是精度與數控系統匹配度不高，只限于簡易型數控。鑒于多年制造裝備設計制造經驗和力學研究的體會，作者認為有必要對機床主軸支承的力學性能進行分析，利用現代數值分析軟件MATLAB描繪，充分認識影響主軸精度的主要因素，為主軸參數設計提供依據。

1 主軸技術要求與標注

為保證機床主軸有足夠精度和良好的工作穩定性，在設計階段應對主軸結構各部位(特別是軸承、夾具、傳動件、連接件與預緊件的安裝部位)提出適當的技術條件，包括尺寸公差、形位公差、表面粗糙度和表面硬度等，并在主軸零件圖上合理標注。這些技術條件應滿足下列要求:1)設計要求:要滿足機床工作性能對主軸精度、噪聲和其他技術指標的規定；2)工藝要求:在滿足設計要求的前提下，須充分考慮制造的可能性和經濟性，使設計合理，為此應盡量使工藝基準與設計基準統一；3)檢測要求:即采用簡便、準確而可靠的測量手段，盡量做到使檢驗基準與工藝基準一致；4)標注要求:要采用規范的標注代號完整地標注出檢測位置和檢測項目要求，如有特殊要求而無法用代號標注時，要用簡練準確的文字在技術要求或圖上標注處說明。如圖1所示，為一主軸公差標注示意圖，軸頸A、B處的公共軸心線A-B是保證主軸旋轉精度的設計基準，同時也是法蘭前端面、主軸頭短錐和內錐孔的工藝基準及檢驗基準，因此軸頸精度與表面粗糙度應嚴格控制。軸頸尺寸公差應根據與之相配軸承類型選取，同軸度可通過軸頸表面的徑向圓跳動公差來控制，該方法的誤差測量方便。主軸短錐面是安裝卡盤的定心面，直接影響加工精度，其結構和參數設計須遵循相應的主軸頭標準；內錐孔是安裝主軸頂尖的基準面，應保證與軸頸中心線同軸度要求，加工時以軸頸為基準面精磨錐孔，用標準檢驗棒和千分表按圖樣規定及相關機床標準檢測，其檢測結果須符合相應機床精度標準規定；軸頸表面是主軸與齒輪及其他配合件表面位置度的測量基準，如圖1中Ⅰ～Ⅳ處。普通機床的軸頸尺寸取IT5級精度[1]，形狀公差值取尺寸公差值的1/4～1/3，安裝齒輪配合表面的跳動公差可略小于其直徑公差的1/2。

圖1 主軸公差標注示意圖

2 主軸組件計算模型

由圖1可知，機床主軸結構比較復雜，剛度和精度是主軸技術要求的主要內容。滿足剛度要求的結構設計應首先從受力變形角度進行分析計算來決定其主要結構尺寸，這些尺寸參數有主軸前后支承軸頸尺寸D1、D2，主軸內孔直徑d，主軸支承跨距l和前端懸伸量a等，這些參數直接影響主軸的剛性和工作精度。

機床主軸所受的工作載荷為動載荷，包括扭矩和切削力。對于回轉類切削機床，主軸扭轉變形小，對加工精度的影響不大，而由切削力引起的徑向載荷對主軸系統的剛度和精度影響最大。因此以徑向載荷來分析主軸受力變形，以確定合理的主軸結構參數。根據主軸結構和受力特點，用材料力學理論分析并對主軸部件支承按靜力狀態進行簡化，建立其受力模型，如圖2所示。主軸工作時帶動工件或刀具作主運動，受切刀具削作用產生切削扭矩和徑向力。扭矩使主軸產生扭轉變形；徑向力使主軸發生彎曲變形，并引起主軸前端變形位移δs；同時主軸支承件—軸承和箱體等受切削力和部件重力作用也會發生彈性變形，從而引起主軸前端發生位移δz，因此，主軸前端的總位移δ應等于這兩種位移的疊加。考慮到主軸和支承件都是變形體，對雙支承主軸的受力模型可表示為如圖2(a)所示的外伸簡支梁形式，其中Fc是主軸所受的徑向載荷；RA為前支承反力；RB為后支承反力。為便于分析計算，圖2(a)可看作彈性主軸-剛性支承與剛性主軸-彈性支承兩種情況的疊加，分別如圖2(b)與圖2(c)所示。

圖2 主軸部件受力變形簡化模型

2.1 主軸軸頸尺寸的確定

主軸直徑大小與主軸部件的剛度有關，會影響機床加工精度。由材料力學[2]可知，外伸梁的剛度可表示為:

式中:K—主軸剛度，(N/μm)；

E—主軸材料彈性模量，(GPa)；

I—截面慣性矩，(mm4)；

l—支承跨距，(mm)；

a—懸伸量，(mm)。

由式(1)可知，主軸剛度隨跨距和懸伸量的增大而非線性減小，與主軸材料彈性模量和截面慣性矩成正比，而慣性矩與直徑的四次方成正比，即主軸剛度與直徑的四次方成正比關系。對于確定的主軸材料和傳動系統來說，增大主軸直徑可提高主軸剛度和系統抗振性，但主軸直徑過大會帶來一系列問題:1)使安裝于主軸上零部件尺寸增大，造成結構龐大；2)增加制造成本，主軸、傳動件、支承件和箱體等尺寸及誤差和變形隨之增大，增加了制造難度，從而使制造成本大幅度增加；3)空載功率增大，傳動件質量加大意味著空載功率消耗加大；4)軸承速度參數限制，主軸軸徑大小受軸承允許速度參數d·nmax的限制。

表1 主軸前軸徑D1的選擇

主軸前軸頸D1可根據機床傳遞功率并參考同類機床軸頸尺寸加以確定，如表1所示，為最典型兩類機床主軸前軸頸D1的參考值。因裝配工藝需要，主軸直徑自前向后是逐步減少的，主軸后軸頸D2與前軸頸D1的關系，可按經驗公式D2=(0.7～0.9)D1初選，再結合結構設計來最終確定。

2.2 主軸內孔直徑的確定

機床主軸一般具有內通孔，可減輕質量并用于穿越棒料、安裝刀具和工具。根據材料力學理論，在一定范圍內主軸內孔對強度和剛度影響很小，但若超過此范圍則會使主軸強度與剛度急劇下降。從結構和工藝上考慮，主軸內孔直徑受后軸頸尺寸限制，其大小應從剛度和強度兩個方面分析決定。

1)內孔直徑的剛度確定法 由式(1)可知，軸剛度正K比于截面慣性矩I，空心軸截面形心的慣性矩Ih=π(D4-d4)/64，實心軸的慣性矩Is=πD4/64，則空心軸與實心軸剛度比值為:

式中:Kh，Ks—分別為空心和實心軸的剛度，(N/μm)；

Ih，Is—分別為空心和實心軸截面慣性矩，(mm4)；

D—主軸平均外徑，(mm)；

d—主軸內徑，(mm)；

ε—剛度衰減系數，ε=d/D。

如圖3所示，為用MATLAB軟件得到的空心軸與實心軸剛度及強度隨ε衰減情況。由式(2)及圖3可知，當ε=0.5時，Kh/Ks=0.937 5；當ε=0.7 時，Kh/Ks=0.759 9。即當ε較小時，空心軸剛度衰減很小；當ε較大時，空心軸剛度衰減較大。因此，為保證主軸足夠的剛度，通常應取ε≤0.7。實際設計時，可根據主軸剛度和精度要求確定剛度衰減系數，當剛度要求較高時，ε取較小值；反之，可取較大值。當確定了剛度衰減系數后，即可根據外徑D與ε來確定內孔直徑d，然后再按用途來確定主軸前端錐孔的錐度。當只用于定心時，錐孔錐度取較大值；當要求定心并能自鎖時，錐孔錐度應取較小值。

圖3 主軸強度和剛度與內外徑之比

2)內孔直徑的強度確定法 對于實心軸，強度為σs=4F/πD2≤[σ]；對于空心軸，強度為σh=4F/π(D2-d2)≤[σ]，則空心軸與實心軸強度的關系為:

式中:σs—實心軸應力，(MPa)；

σh—空心軸應力，(MPa)。

由式(3)可知，隨剛度衰減系數ε增大(即內徑增大)，空心軸應力增大，主軸強度降低。圖3表明，隨內徑增大，主軸強度比剛度衰減更快，當ε=0.5時，空心軸強度是實心軸的75%。

當設計主軸時，應兼顧強度和剛度。強度主要根據傳遞功率和扭矩及轉速來確定，通常主軸設計強度是足夠的，主要應考慮精度問題。在滿足通孔使用要求的前提下，應取較小的ε值，這樣可使獲得較高的強度和剛度值，有利于提高精度。

2.3 主軸最佳跨距和懸伸量

主軸跨距是指其前-后或前-中支承反力作用點之間的距離；懸伸量是指主軸頭部安裝夾具的定位基面至前支承徑向反力作用點之間的距離。跨距和懸伸量對主軸組件剛度有直接影響。由前面主軸力學模型可知，主軸組件的剛度取決于主軸自身剛度和支承剛度。在彈性限度內，可將圖2(a)分解為下列兩種情況來討論。

1)剛性支承與彈性主軸 如圖2(b)所示，不考慮支承點變形位移，僅由主軸彎曲引起的懸臂端撓度為:

式中:δs—彈性主軸懸臂端的撓度，(μm)；

Fc—主軸端部所受的徑向載荷，(N)；

I—主軸截面的平均慣性矩，(mm4)，當主軸平均直徑為D，內孔直徑為d時，I=π(D4-d4)/64。由主軸彈性彎曲引起的柔度為:

由式(5)可知，當其他條件一定時，柔度δs/Fc與跨距成線性關系，如圖4中的直線所示。

圖4 軸端位移與主軸跨距的關系

2)彈性支承與剛性主軸 如圖2(c)所示，設前后支承的剛度分別為KA、KB，變形量分別為δA、δB，則有δA=RA/KA，δB=RB/KB。 其中:RA，RB—分別為前、后軸頸的支反力(N)，RA=Fc·(1+a/l)，RB=Fc·a/l。 根據變形幾何關系，得(δA+δB)/l=(δz+δB)/(l+a)，則由支承變形引起主軸前端位移為:

式中:δz—由支承變形引起的主軸前端位移，(μm)。第一項表示前支承的影響；第二項表示后支承的影響。則由支承位移引起主軸的柔度為:

式中:δz/Fc—主軸柔度(μm/N)。 由于一般a＜l，由(6)式可知前支承對主軸端變形的影響比后支承大。所以在主軸部件設計時，前軸承應取較大剛度值，后軸承可取較小剛度值；前軸承精度應比后軸承高一級。

3)主軸端部實際位移 實際受力后，主軸和支承同時產生變形，故應綜合考慮這兩種變形引起的總位移，按彈性變形考慮，有:

式中:δ—為主軸端部總位移，(μm)。

從式(8)可知，總位移與主軸及前、后支承的變形有關，后支承影響最小。主軸端部總柔度為:

式中:δ/Fc—主軸前端總柔度(μm/N)。

以CW6163車床主軸為例，有關參數如表2所示。主軸前端柔度與跨距關系如圖4所示，在主軸前端懸伸量a一定時，隨前后支承跨距l增大，主軸前端位移δ先減小；大約在l/a=0.8時，達到最小，爾后近似成直線增大。

表2 主軸組件有關參數

4)主軸最佳跨距的確定 主軸最佳跨距是指使主軸柔度最小(剛度最大)的跨距。在式(8)中，令dδ/dl=0，得a2/(3EI)-2a2(1/KA-1/KB)/l3-2a/(KAl2)=0。整理，得到關于l的一元三次方程:

取綜合變量η=EI/(KAa3)，代入式(10)，得:

式(11)中，無量綱量η是l/a和KA/KB的函數，以KA/KB為參變量，以l/a為變量，利用 MATLAB計算軟件編程[3-4]，做η的計算線圖，如圖5所示。

圖5中分別給出了主軸前后支承剛度比KA/KB取值為1、2、3、4、5時，綜合變量η的五條曲線。 顯然該圖更精確地給出了主軸最佳跨距的計算線圖曲線。當a值給定時，存在一最佳跨距l0，通常取l0/a=2～3.5。

圖5 主軸最佳跨距計算線圖

3 計算示例

某一回轉直徑400 mm的普通車床，電機功率為7.5 kW，主軸內孔直徑為52 mm，主軸前后支承均為NN 3 000 K系列雙列圓柱滾子軸承，主軸計算轉速為50 r/min。試初選主軸軸頸跨距。

根據表 1，取前軸頸為 110～145 mm，初定D1=120 mm，后軸頸D2=0.75D1=90 mm。按結構，定懸伸長a=120 mm。

1)軸承剛度計算 主軸最大輸出轉矩:

床身上最大加工直徑約為最大回轉直徑的60%，即240 mm，最大加工半徑為120 mm。主切削力和切深抗力分別為:

總切削力

估算時，先取初值l/a=3，即l=3a=360 mm。假設切削力是作用于前后兩頂尖之間工件上，主軸和尾座各承擔一半，則前、后支反力分別為:

根據軸承剛度驗算公式可求得前后軸承的剛度為:

2)求最佳跨距，取主軸的當量外徑為前后軸頸的平均值，即×(120+90)=105 mm，故慣性矩I=(0.1054-0.0524)/64=178.4×10-8m4，則:

查圖5，得l0/a=1.6，這一值與假設值不符，可根據l0/a=1.6重新計算支反力和支承剛度，再求最佳跨距，如此反復迭代，直到與假設值接近為止，可求得合理的跨距。

4 結語

針對機床主軸組件設計的難點問題進行研究，內容有:1)給出主軸設計的主要技術要求和標注方法；2)提供決定主軸前、后軸頸和內孔尺寸的剛度條件，可根據機床精度條件和剛度衰減系數曲線求解；3)建立了主軸組件受力變形模型和彈性力學條件；4)討論了剛性支承與彈性軸和彈性支承與剛性軸兩種情況下主軸端的撓度和柔度，用數值分析法得到柔度與跨距的關系曲線；5)運用數值分析法獲得主軸最佳跨距線圖，并用示例說明其迭代算法。可方便地確定主軸軸頸尺寸、內孔直徑及主軸最佳支承跨距。

[1]杜君文.機械制造技術裝備及設計[M].天津:天津大學出版社，1998.

[2]徐鵬.簡明材料力學[M].北京:電子工業出版社，2011.

[3]劉衛國.MATLAB程序設計與應用[M].北京:高等教育出版社，2006.

[4]宋葉志.賈東永.MATLAB數值分析與應用[M].北京:機械工業出版社，2009.