流體黏度的實驗研究

俞天倫，馬世紅

(復旦大學 物理學系，上海 200433)

1 引 言

液體的黏性系數簡稱黏度，是描述液體內摩擦性質的重要的物理量，能夠表征液體反抗形變的能力，而只有在液體內存在相對運動時才會表現. 在高等學校開設的大學物理實驗課程中，測量黏度的常用方法有落球法[1]及毛細管法. 2種方法各有利弊：落球法對于小球的形狀、質量以及放入量筒的位置要求較高，限于較高黏度的液體，例如蓖麻油；毛細管法對于已知黏度的液體要求較高(溫度、雜質等)，限于較低黏度的流體且易于被清洗，例如水和酒精，且對儀器的維護困難. 本文基于泊肅葉公式，制作了簡單的測量裝置，可以實現低成本、測量范圍可調、可控精度比較高的黏度測量.

2 實驗原理及其裝置

2.1 黏度與雷諾數

黏滯力是流體受到剪應力變形或拉伸應力時所產生的阻力，是黏性液體內部的流動阻力. 黏滯力主要來自分子間相互的吸引力.

剪切黏度：2個板塊之間流體的層流剪切. 流體和移動邊界之間的摩擦導致了流體剪切，描述該行為強度的是流體的黏度. 在一般的平行流動中，剪切應力τ正比于速度u梯度(圖1)，即

式中η即黏度[2].

(1)式假設流動是沿著平行線的層流狀態，并且垂直于流動方向的y軸指向最大剪切速度. 滿足剪切應力-速度梯度線性關系方程的流體被稱作“牛頓流體”.

圖1 剪切黏度的示意圖

2.2 泊肅葉公式及其應用

泊肅葉公式[3-4]：牛頓流體在圓管內處于層流狀態，L為管長，p為圓管兩端壓強差，a為圓管半徑(如圖2所示)，則在管內的流量：

容器是圓柱體處于大氣壓下(如圖2所示)，且水位下降足夠慢(準靜態過程)，使圓管中水流保持層流狀態，可以認為p=ρgy，此時射出的水流應呈拋物線狀且平穩，則有：

其中A=πR2是容器的截面積. 求解(3)式可以得到：

對(4)式兩邊同時乘以容器的截面積A，得：

式中V為容器中的液體有效體積，即圖2中y所對應的體積，V0為初始有效體積.

圖2 實驗裝置示意圖

2.3 裝置

實驗裝置如圖3所示，其主體是2 L的量筒(圓柱形容器)，在其側壁上，以200 mL處為中心，開出直徑約3.8 mm的圓孔，之后接上長度適中的橡膠軟管(內徑3.72mm)并用502膠水固定. 圓管采用的是多種內徑四氟乙烯管(內徑分別為1.2 mm，1.6 mm，2.0 mm，2.8 mm)，剪裁合適的長度后，利用502膠水固定在連接件內，之后連接于軟管中. 采用這種方案便于更換不同內徑的流管以測量不同黏度范圍的液體.

圖3 實驗裝置實物圖

其余測量工具有：秒表、直尺、溫度計等. 實驗中的待測液體為水和羧甲基纖維素納(簡稱CMC)溶液.

3 實驗結果與討論

選擇一定規格的圓管組合連接于軟管中(如圖4所示結構)，將待測液體注入量筒中，直到超過2 L刻度線200～300 mL. 確認裝置各連接處沒有漏水后，將軟管按住稍向下傾斜，使液體流出圓管并排除氣泡. 可以觀察到此時流出的水流呈拋物線狀，并且較為平穩，射程隨時間緩慢減小. 再次確認裝置各連接處沒有漏水，調整圓管使其保持水平.

圖4 俯視結構示意圖

當確認圓管中氣泡排除后，則可選擇合適的液面位置開始計時. 根據液面下降的速度，選擇合適的體積間隔(一般選為最小刻度的1～2倍，即20 mL或者40 mL)并計時. 在至少采樣10個點之后，利用V=aebt進行擬合并求出η. 隨后通過求導以及截面的換算，推出速度v的范圍，則進一步可得到Re的范圍.

使用內徑2a=(1.20±0.01) mm，長度L=(14.90±0.01) cm的四氟乙烯管，水溫19.7 ℃時，擬合結果如圖5所示.

圖5 19.7 ℃下水的擬合結果

算出η=1.032 mPa·s，不確定度分別由重力加速度g、流管半徑a、流管長度L、量筒半徑R以及擬合參量b的不確定度貢獻：

得到u(η)=0.018 mPa·s.

參考值可以查表[5]得到溫度為整數時的黏度. 對于溫度不是整數的情況，采用加權平均的方式得到參考值. 例如:實際水溫為19.7 ℃，水在19 ℃和20 ℃時理論黏度為1.029 9 mPa·s和1.005 0 mPa·s，計算參考值時前者權重為0.3，后者權重為0.7，得到參考值η參考=1.012 5 mPa·s. 測量值相比參考值，相對偏差Δ=1.9%.

進一步處理后，得到圓管中速度v的范圍在0.59～0.85 m/s，從而分別得到由η測量計算的Re范圍在690～985，由η參考計算的Re范圍在700～995.

對19.7 ℃做3次測量，得到的黏度相差不超過6%，具有可重復性. 通過3次的結果得到平均值η=(1.06±0.04) mPa·s，相對偏差Δ=4.7%.

對水所有實際采樣過程中，通過擬合的V=aebt處理，得到水面下降速度在10-4m/s量級；圓管中水流速度在10-1m/s量級，Re均在1 000以下，屬于層流，排除了流體處于紊流或者湍流狀態. 如果處于紊流(湍流)狀態，測得的黏度將是與流速、環境因素等相關的表征值而非物質的本征性質.

表1中所測得的黏度η測量相比理論值η參考有一定的偏差，產生偏差的原因可能是：

1)所用的四氟乙烯管并非理想的直線型，有小量的彎曲，使水流在經過彎曲處時動能減損，導致測量結果偏大；

2)水流在從量筒進入圓管的一小段位置，其實是突變界面的流動，這一小段的水流受到的局部阻力較大，導致測量結果偏大；

3)水中含有雜質，影響不可知；

4)量筒、圓管的材料，熱膨脹系數在10-6～10-5℃-1量級，在測量的溫度范圍可以忽略不計.

表1 不同溫度下水的黏度測量結果

使用這套簡易測量裝置，在這5個溫度下均分別做過多次測量，誤差最大不超過7%，最接近參考值的測量值誤差均不超過2%，平均誤差不超過5%.

圖6 水的黏度與溫度的關系

羧甲基纖維素鈉(CMC)是一種常用的高分子聚合物增稠劑. 在測量的質量分數范圍內，均屬于牛頓流體[未出現無管虹吸[7]現象且符合由牛頓流體推出的(5)式]. 在配置溶液時，發現：1)其密度比水大(例如在2 500 mL水中加入約20 g CMC，當充分溶脹后，溶液體積會減少約50 mL)；2)完全溶脹后，分布不均勻，在容器底部溶質稍多于液面處(在移液時可以觀察到底部的黏度稍大). 所以計算密度時，引入3%的不確定度，且質量分數一列指的是測量時的CMC溶液質量分數不超過該值(但偏差不大).

CMC溶液的黏度測量結果如表2所示.

表2 CMC溶液的黏度測量結果

測量出的黏度與文獻[8]中測出的黏度均在同一量級上，且在相應質量分數點均偏小. 由于制作過程、雜質含量等不同，其CMC相同質量分數的溶液黏度會有變化. 基于這兩點以及水的結果誤差大小，可判斷測得CMC溶液的黏度是可信的.

在測量范圍內，排除溫度差異相對較大的0.05%及0.2%這2個點后，發現其余的CMC溶液的黏度與質量分數有指數增長的規律(圖7). 根據文獻[9]，部分多種組分的液體的黏度可以由Lobe法經驗公式給出：

其中，η為黏度，ρ為密度，γ為體積分數，α為特性黏度參量，R為氣體摩爾常量，T為絕對溫度.

圖7 CMC溶液的黏度與質量分數的關系

測量到的CMC溶液的黏度，在小范圍內的質量分數變化下，滿足簡單的近似經驗公式η=A+BeCφ(其中φ為CMC的質量分數)，相關系數r2～0.997. 其物理機制與CMC分子對水分子的吸附、CMC分子的團簇作用與擴散運動等因素相關，目前沒有完善的理論能包含不同種類的溶液.

4 結束語

使用自制的簡易裝置，測量了不同溫度下水的黏度，與理論值相比誤差較小. 在測量溫度范圍內，水的黏度與絕對溫度的倒數呈線性關系. 用該裝置測量了保持牛頓流體性質范圍內的不同質量分數的CMC溶液，其黏度與質量分數呈指數增長. 該裝置通過更換不同規格的圓管，在滿足被測液體是層流狀態且流速較低的條件下，使測量時間范圍不過長(一般在5～15 min)，實現了10-3～100Pa·s量級的黏度測量.

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