普氏擺運動規律研究

王振朝，周 陽，周 玉，張自力，董愛國，王亞芳

(中國地質大學(北京) 數理學院,北京 100083)

1 普氏擺現象簡介

1922年，德國物理學家Carl Pulfrich發現了一個現象[1]，當用繩子懸吊的重擺在平面內作往復擺動時，如果用1塊茶色鏡遮住1只眼睛，同時睜眼看到的擺的運動軌跡會從單擺軌跡變為類似橢圓的立體軌跡，這種現象被后人稱為“普氏擺現象”. 實驗裝置如圖1所示，裝置中間有重擺，周圍有數根固定的柱子，用作參考物，戴上眼鏡后觀察重擺更有立體感. 后來的研究表明，在動態噪音模式下也存在類普氏擺現象[2]. 在應用方面，除了用于科學演示外，普氏擺現象還是Circlescan 4D的核心[3]，是未來立體電影研發的依據.

圖1 普氏擺實驗裝置

普氏擺現象產生的機理一直有爭議，現在廣為大家所接受的解釋是：相對于未遮擋眼睛而言，被光衰減鏡遮擋的眼睛接收刺激信號有一定的延遲[4-8]，約0.01 s[9]，正因為延遲，有光衰減鏡的那一只眼要比另一只眼晚看到單擺，產生深度上的錯覺[10]，從而看到立體的軌跡.

基于普氏擺的產生機理，本文推導了普氏擺運動規律的數學表達式，并對影響普氏擺演示效果的一些因素進行了分析討論.

2 數學模型的建立

以擺球運動的最低點為原點，擺球擺動平面為x-z平面建立坐標系，雙眼在x-y平面，假設右眼戴鏡片，當小球自右向左運動時，左眼看到的小球在A的位置，由于時間延遲此時右眼看到的小球在A′位置，雙眼交匯的虛像位置為P，如圖2所示，擺線長為l，小球釋放的初始高度為h，人眼距擺平面的距離為d, 瞳距為d′, 在任意點小球的速度設為v，可以分解為水平方向的v1和豎直方向的v2，視線與小球最低點水平. 因為眼睛的延遲時間很短(0.01 s)，在推導中以A點的速率作為擺球從A到A′的平均速率. 另外，為了簡化問題，假設擺球在理想條件下擺動，滿足能量守恒，因此擺球運動滿足：

圖2 擺球運動示意圖

3 運動規律的研究

3.1 水平方向的運動

代入表達式得：

圖3 小球在x-y平面的投影圖(自右向左運動)

當小球自左向右運動時，如圖4所示，推導過程類似，PD=-y，有：

圖4 小球在x-y平面的投影圖(自左向右運動)

3.2 豎直方向的運動

同理，在豎直方向可以將三維圖投影到y-z平面上，得到如圖5的示意圖，此時B和C重合，A和A′近似重合，過P作PG垂直于y軸. 則存在相似三角形，得到：

代入表達式得：

圖5 小球在y-z平面投影圖

3.3 運動方程的建立

通過前面的推導，只要聯立(1)～(3)和(6)式，就可以得到，當小球自右向左運動時，有：

(7)

當小球自左向右運動時，有：

(8)

3.4 普氏擺運動規律的圖示

根據方程(7)和(8)，利用Matlab給出普氏擺運動的圖形，如圖6～7所示，其中l=0.5 m,h=0.1 m,d=1.0 m,d′=0.07 m，t=0.01 s.

圖6 三維圖像

圖7 投影到x-y平面

從圖7可以看出，投影到x-y平面上的圖像類似于橢圓形，但不是標準的橢圓，該圖形關于x軸不對稱.

4 分析和討論

4.1 延遲時間的影響

方程(7)和(8)中y分量上下同時除以Δt，可以得到

所以，延遲時間越長，|y|越大，擺球偏離擺平面的幅度越大，現象越明顯，但是由于延遲時間涉及普氏擺現象的形成機制，Δt是不是常量，是否因人而異都是需要探討的問題.

4.2 人眼距擺的距離的影響

通過方程(7)和(8)中y分量，可以看出，d增大，|y|越大，也就是小球前后擺動的幅度越大，這一結論和實際實驗中觀察到的現象一致.

4.3 擺球最大高度的影響

方程(7)和(8)中y分量上下同時除以v，得到：

可以看出，v越大，y越大，而擺球的最大高度決定了小球的最大速度，因此擺球初始高度h越大，現象越明顯，這和實驗中觀察到的現象一致.

5 結束語

推導了普氏擺運動的像點軌跡方程，并對其方程進行了分析討論. 通過方程可知，普氏擺在人眼中的運動軌跡是近似橢圓形但不是標準橢圓形，其圖形關于擺平面不對稱，略微向擺平面的后方偏移，影響其演示效果的主要有延遲時間、人眼距擺平面的距離、擺球釋放的高度等.

參考文獻：

[1] Pulfrich C.Die Stereoskopie im Dienste der isochromem und herterochromen photometrie[J]. Naturwissenschaft,1922,10:553-564.

[2] Tyler C W. Stereopsis in dynamic visual noise [J].Nature, 1974,250:781-782.

[3] 孫為民，劉憲國. Pulfrich(普爾弗里希)現象分析[J]. 高師理科學刊，2005,25(4):23-24.

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[7] Read J C, Cumming B G. The stroboscopic Pulfrich effect is not evidence for the joint encoding of motion and depth [J]. Journal of Vision, 2005, 5(5):417-434.

[8] Read J C, Cumming B G. All Pulfrich-like illusions can be explained without joint encoding of motion and disparity [J]. Journal of Vison, 2005,5(11):901-927.

[9] 羅春霞. 神秘的普氏擺[J]. 中國高新技術企業，2008,24:327.

[10] Morgan M J, Thompson P. Apparent motion and the Pulfrich effect [J]. Perception, 1975,4:3-18.