新課程標(biāo)準(zhǔn)下開展數(shù)學(xué)“反思學(xué)習(xí)法”的探究

何玉蘭

（新疆溫宿縣第二中學(xué)，新疆 溫宿 843100）

新課程標(biāo)準(zhǔn)下開展數(shù)學(xué)“反思學(xué)習(xí)法”的探究

何玉蘭

（新疆溫宿縣第二中學(xué)，新疆 溫宿 843100）

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（實(shí)驗(yàn)）指出：“高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)注重提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，這是數(shù)學(xué)教育的基本目標(biāo)之一”。為了幫助學(xué)生形成良好的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣，在高一學(xué)生中嘗試開展“反思學(xué)習(xí)法”，通過實(shí)驗(yàn)，實(shí)施在例題的方法規(guī)律處反思，在易錯(cuò)處反思，解題后反思的策略，促進(jìn)學(xué)生形成反思習(xí)慣，達(dá)到培養(yǎng)其數(shù)學(xué)思維的目的。

新課程標(biāo)準(zhǔn)；數(shù)學(xué)思維；數(shù)學(xué)反思

一、問題的提出

高中階段的教學(xué)中，我們經(jīng)常會(huì)遇到這樣的現(xiàn)象，學(xué)生普遍認(rèn)為，數(shù)學(xué)難學(xué)，盡管他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)很努力，但很難有成功的喜悅，一些在初中數(shù)學(xué)成績(jī)較好的學(xué)生，甚至在中考中數(shù)學(xué)取得優(yōu)秀成績(jī)的學(xué)生，經(jīng)過高中一段時(shí)間的學(xué)習(xí)后，數(shù)學(xué)成績(jī)卻呈下降趨勢(shì)。造成這種現(xiàn)象的原因是多方面的，根據(jù)皮亞杰的“發(fā)生認(rèn)知理論”，我們可以看到一個(gè)非常重要的原因，就是從初中到高中的過渡時(shí)期正是人的思維由具體運(yùn)演階段過渡到形式運(yùn)演階段的時(shí)期。在這一時(shí)期思維要逐漸由接受具體事物向接受抽象理論過渡，而大部分學(xué)生進(jìn)入高一以后不能很好地轉(zhuǎn)換思維模式，不能適應(yīng)高中具有高度理性思維的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，他們對(duì)老師的例題一聽就懂，可自己解題時(shí)，一做就錯(cuò)或無(wú)從下手，他們最愛問的問題是：“老師，你是怎樣想出來的？”這表明學(xué)生思維水平相對(duì)還比較薄弱，成為制約學(xué)生高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的瓶頸。《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（實(shí)驗(yàn)）指出：“高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)注重提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，這是數(shù)學(xué)教育的基本目標(biāo)之一。在數(shù)學(xué)教育教學(xué)實(shí)踐中，我們發(fā)現(xiàn)存在這樣的普遍規(guī)律：數(shù)學(xué)學(xué)困生和數(shù)學(xué)優(yōu)秀生在數(shù)學(xué)成績(jī)上產(chǎn)生差異的主要原因是對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)缺乏自我意識(shí)，對(duì)于解決數(shù)學(xué)問題的過程缺少自我檢驗(yàn)、自我反思，即主要體現(xiàn)在數(shù)學(xué)思維水平的差異。我們知道，數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)很重要的任務(wù)，就是教會(huì)學(xué)生如何解數(shù)學(xué)題，教會(huì)學(xué)生“數(shù)學(xué)的思維”。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程，給我們印象最深刻的是不斷地提出問題、研究問題、求解問題。衡量我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的成效也主要通過解決數(shù)學(xué)問題的水平來評(píng)價(jià)。數(shù)學(xué)解題活動(dòng)本質(zhì)上是一種思維活動(dòng)，它不僅是一個(gè)對(duì)目標(biāo)、材料信息的認(rèn)定、操作過程，而且也是一個(gè)積極、自覺地定向、控制、檢查、調(diào)節(jié)的認(rèn)知過程，這里的檢查和調(diào)節(jié)的過程即對(duì)解題過程進(jìn)行反思的過程。從目前的研究來看，關(guān)于各類型問題的積累、解題的具體過程、技巧的偏多，而對(duì)于學(xué)生究竟怎樣思考，他們所遇到的主要困難，學(xué)生解題的思維過程和思維模式的分析相對(duì)較少。為了能夠讓學(xué)生盡快完成思維的過渡，幫助學(xué)生形成良好的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣，筆者在高一學(xué)生中嘗試開展“反思學(xué)習(xí)

指導(dǎo)法”，旨在著重訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，提高解決數(shù)學(xué)問題的能力。

二、概念界定與理論綜述

“反思學(xué)習(xí)法”即某節(jié)內(nèi)容學(xué)習(xí)后，教師及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生回憶和反思教和學(xué)的過程，講清教師設(shè)計(jì)的每一個(gè)例題的用意，指出教師設(shè)計(jì)每個(gè)（組）練習(xí)題的目的，提出對(duì)學(xué)生的要求：每次解題之后都要嘗試“解題回顧”，即對(duì)自己的解題過程進(jìn)行自我檢驗(yàn)；同時(shí)糾正不認(rèn)真反思、不積極思考而等待老師講的壞習(xí)慣，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)自己的解題過程進(jìn)行反思、做出評(píng)價(jià)的習(xí)慣。通過培養(yǎng)反思習(xí)慣，使學(xué)生有意識(shí)地對(duì)自己的學(xué)習(xí)過程進(jìn)行回顧和檢驗(yàn)，并逐步形成反思意識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的理性精神。為什么反思可以優(yōu)化解題策略，調(diào)控解題過程呢？常識(shí)告訴我們，數(shù)學(xué)書不能像小說那樣“看”，而是要邊讀、邊想、邊做，“不拿筆，不讀（數(shù)學(xué)）書”已成為學(xué)數(shù)學(xué)的常識(shí)，為什么？原因很簡(jiǎn)單：數(shù)學(xué)思維不能總是順暢地進(jìn)行，而是走走停停，曲折前行。在數(shù)學(xué)解題中，數(shù)學(xué)教育家波利亞在他的“解題表”中把解題分為四步（如圖）

數(shù)學(xué)問題的復(fù)雜性使解題的每一步都可能“做不下去”，因而形成對(duì)前一步的超短反饋回路，而該步“做不下去”，也可能是此前的步驟造成的，因而形成對(duì)此前的每一步都可能出現(xiàn)反饋回路，從而形成思維的反復(fù)。由于“檢驗(yàn)回顧”步驟（即反思）擔(dān)負(fù)著監(jiān)理整個(gè)解題過程（思維過程）的任務(wù)，因而形成最多和最好的回路。那么怎樣進(jìn)行反思呢？對(duì)于檢驗(yàn)回顧步驟，可以就如下一些問題進(jìn)行反思。這個(gè)求解過程是否有問題？有其他解法嗎？有無(wú)更好的解法？這種方法或結(jié)果能用在別的題目上嗎？這道題為何總解不出，它的反面如何？什么是好的解法？對(duì)解的評(píng)價(jià)問題，可以用如下的標(biāo)準(zhǔn)：第一，嚴(yán)格的并且是簡(jiǎn)單的；第二，初等的并且是富有新意的（即通過求解或證明，對(duì)題目有新的認(rèn)識(shí)）；第三，盡可能是構(gòu)造性的；第四、自然的，容易想到的；第五，便于推廣使用的（甚至于能概括出新的原則和方法）。

三、培養(yǎng)學(xué)生反思意識(shí)的具體實(shí)施策略

1.在例題的方法規(guī)律處反思。“例題千萬(wàn)道，解后拋九霄”是學(xué)生中普遍存在的現(xiàn)象，難以達(dá)到提高解題能力、發(fā)展思維的目的。因此要培養(yǎng)學(xué)生善于在老師的例題解決過程中反思解題的基本方法并予以歸類，總結(jié)規(guī)律，揣摩技巧，再進(jìn)一步作一題多變，一題多問，一題多解，挖掘例題的深度和廣度，擴(kuò)大例題的輻射面。例如：這道必修1《函數(shù)》一章的例題。已知二次函數(shù)圖像的對(duì)稱軸是x=1，圖像經(jīng)過點(diǎn)（-2，-5），且在x軸上所截取的線段長(zhǎng)為4，求這個(gè)二次函數(shù)的解析式。可以引導(dǎo)學(xué)生作如下思考：讀完題目后，馬上想到的解決本題的基本方法有哪些；解題過程中，你的頭腦里是否有一個(gè)函數(shù)圖像的草圖，你覺得函數(shù)圖像草圖在解題過程中的作用是什么；解答本題最好應(yīng)該用哪種方法；請(qǐng)你檢查解題過程，并把檢查過程寫下來。通過對(duì)例題的層層分析，讓學(xué)生明白，問題與問題之間不是孤立的，許多表面上看似無(wú)關(guān)的問題卻有內(nèi)在的聯(lián)系，解題不能就題論題，要尋找問題與問題之間本質(zhì)的聯(lián)系，要質(zhì)疑為什么有這樣的問題，它和哪些問題有聯(lián)系。能否受這個(gè)問題的啟發(fā)，讓學(xué)生在不斷的知識(shí)聯(lián)系和知識(shí)整合中，豐富認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的內(nèi)容，體驗(yàn)“反思”帶來的樂趣，有利于培養(yǎng)學(xué)生從特殊到一般，從具體到抽象地分析問題、解決問題。

2.在易錯(cuò)處反思。學(xué)生的知識(shí)背景、思維方式、情感體驗(yàn)往往和成人不同，而其表達(dá)方式可能又不準(zhǔn)確，這就難免有“錯(cuò)”。教學(xué)若能從此切入，進(jìn)行反思，則往往能找到“病根”，進(jìn)而對(duì)癥下藥，常能收到事半功倍的效果！比如：必修1《函數(shù)的奇偶性》的教學(xué)中判斷的奇偶性。學(xué)生很容易把函數(shù)化簡(jiǎn)為f（x）=x從而判斷函數(shù)為奇函數(shù)。當(dāng)學(xué)生犯了這個(gè)錯(cuò)誤時(shí)，請(qǐng)他們反思：這個(gè)化簡(jiǎn)的思路有什么問題，是等價(jià)變形嗎？從而引導(dǎo)學(xué)生挖掘判斷函數(shù)的奇偶性要先從判斷定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱入手，這正是學(xué)生容易忽略掉的。引導(dǎo)學(xué)生對(duì)解錯(cuò)的問題進(jìn)行反思，比如：（1）常出現(xiàn)哪些方面的錯(cuò)誤；（2）出現(xiàn)這些錯(cuò)誤的原因有哪些；（3）怎樣克服這些錯(cuò)誤，等等。同學(xué)們各抒己見，針對(duì)各種“病因”開出了有效的“方子”。實(shí)踐證明，這樣的例題教學(xué)是成功的，學(xué)生在準(zhǔn)確率、速度等個(gè)方面都有極大的提高。關(guān)鍵是通過對(duì)錯(cuò)題的反思，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的作風(fēng)和縝密的理性思維。

3.解題后反思。解數(shù)學(xué)題，有時(shí)由于審題不確，概念不清，忽視條件，套用相近知識(shí)，考慮不周或計(jì)算出錯(cuò)，難免產(chǎn)生這樣或那樣的錯(cuò)誤，即學(xué)生解數(shù)學(xué)題，不能保證一次性正確和完善。所以解題后，必須對(duì)解題過程進(jìn)行回顧和評(píng)價(jià)，對(duì)結(jié)論的正確性和合理性進(jìn)行驗(yàn)證。可是一些同學(xué)把完成作業(yè)當(dāng)成是趕任務(wù)，解完題目萬(wàn)事大吉，頭也不回，揚(yáng)長(zhǎng)而去。由此產(chǎn)生大量謬誤。因此要培養(yǎng)學(xué)生積極反思、系統(tǒng)小結(jié)，使重要數(shù)學(xué)方法、公式、定理的應(yīng)用規(guī)律條理化，在解題中應(yīng)用自如、改進(jìn)過程，尋找解題方法上的創(chuàng)新。在問題解決之后，要不斷地反思：解題過程是否浪費(fèi)了重要的信息，能否開辟新的解題通道；解題過程多走了哪些思維回路，思維、運(yùn)算能否變得簡(jiǎn)捷；是否拘泥于思維定式，照搬了熟悉的解法等。通過不斷地質(zhì)疑，不斷改進(jìn)，讓解題過程更具有合理性、科學(xué)性、簡(jiǎn)捷性。解題之后，要不斷地探究問題的知識(shí)結(jié)構(gòu)和系統(tǒng)性。能否對(duì)問題蘊(yùn)含的知識(shí)進(jìn)行縱向深入的探究？能否加強(qiáng)知識(shí)的橫向聯(lián)系？把問題所蘊(yùn)含孤立的知識(shí)“點(diǎn)”，擴(kuò)展到系統(tǒng)的知識(shí)“面”。通過不斷地拓展、聯(lián)系，加強(qiáng)對(duì)知識(shí)結(jié)構(gòu)的理解，進(jìn)而形成認(rèn)知結(jié)構(gòu)中知識(shí)的系統(tǒng)性。這樣的反思可以使學(xué)生的思維更加系統(tǒng)和深化，對(duì)學(xué)生的形式運(yùn)演階段的思維成熟是大有裨益的。

數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾指出：反思是數(shù)學(xué)活動(dòng)的核心和動(dòng)力。反思過程是主體自覺地對(duì)自身認(rèn)知活動(dòng)進(jìn)行回顧、思考、總結(jié)、評(píng)價(jià)、調(diào)節(jié)的過程。所以反思是認(rèn)知活動(dòng)中強(qiáng)化自我意識(shí)、進(jìn)行自我檢驗(yàn)和自我調(diào)節(jié)的重要形式。在教學(xué)中要培養(yǎng)學(xué)生及時(shí)檢查自己的學(xué)習(xí)過程，增強(qiáng)對(duì)學(xué)習(xí)過程和結(jié)果進(jìn)行反思的意識(shí)，提高學(xué)生檢查和反思的技能，使其養(yǎng)成反思的習(xí)慣，能夠自覺地在解題以后總結(jié)解題的關(guān)鍵和成敗得失，將問題進(jìn)行推廣和引申，培養(yǎng)對(duì)題目蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行抽象和概括的能力。在不斷的反思中學(xué)會(huì)獨(dú)立思考，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的思維認(rèn)識(shí)和解決問題，正如為數(shù)學(xué)思維插上了一雙靈動(dòng)的翅膀，引領(lǐng)學(xué)生在數(shù)學(xué)的領(lǐng)域里振翅飛翔！

[1][美]G.波利亞.怎樣解題[M].北京：科學(xué)出版社，1982.

[2]章建躍.中學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科自我監(jiān)控能力[M].上海：華東師范大學(xué)出版社，2003.

[3]董奇，周勇.關(guān)于學(xué)生學(xué)習(xí)自我監(jiān)控的實(shí)驗(yàn)研究[J].北京師范大學(xué)學(xué)報(bào)（社會(huì)科學(xué)版），1995，（1）.

[4]潘振嶸.在數(shù)學(xué)教學(xué)中如何培養(yǎng)學(xué)生的自我監(jiān)控能力[J].數(shù)學(xué)教學(xué)研究，2002，（11）.

G632.0

A

1674-9324（2014）13-0232-03

何玉蘭，新疆阿克蘇地區(qū)溫宿縣第二中學(xué)，中學(xué)高級(jí)教師。