插值法計算實際利率

楊麗霞，黃斯婷

（遼寧省阜新市細河職教中心，遼寧 阜新 123000）

插值法計算實際利率

楊麗霞，黃斯婷

（遼寧省阜新市細河職教中心，遼寧 阜新 123000）

插值法計算實際利率，其原理是根據(jù)比例關(guān)系建立一個方程，然后解方程，計算得出所要求的數(shù)據(jù)。插值法是函數(shù)逼近的一種重要方法，是數(shù)值計算的基本課題。

插值法；計算實際利率；數(shù)值計算

一、插值法

插值法計算實際利率，其原理是根據(jù)比例關(guān)系建立一個方程，然后解方程，計算得出所要求的數(shù)據(jù)。插值法是函數(shù)逼近的一種重要方法，是數(shù)值計算的基本課題。本節(jié)討論具有唯一插值函數(shù)的多項式插值和分段多項式插值，對其中的多項式插值主要討論n次多項式插值的方法，即給定n+1各點處的函數(shù)值后，怎樣構(gòu)造一個n次插值多項式的方法。雖然理論上可以用解方程組（2）（那里m=n）得到所求插值多項式，但遺憾的是方程組（2），當(dāng)n較大時往往是嚴(yán)重病態(tài)的，故不能用解方程組的方法獲得插值多項式。本節(jié)介紹的內(nèi)容有：lagrange插值、newton插值、hermite插值，分段多項式插值及樣條插值。關(guān)于內(nèi)插法求實際利率，做出以下總結(jié)。

（1）內(nèi)插法的原理是根據(jù)等比關(guān)系建立一個方程，然后解方程，計算得出所要求的數(shù)據(jù)。例如：假設(shè)與A1對應(yīng)的數(shù)據(jù)是B1，與A2對應(yīng)的數(shù)據(jù)是B2，A介于A1和A2之間，已知與A對應(yīng)的數(shù)據(jù)是B，則可以按照（A1-A）/（A1-A2）=（B1-B）/（B1-B2）計算得出A的數(shù)值。

（2）仔細觀察一下這個方程會看出一個特點，即相對應(yīng)的數(shù)據(jù)在等式兩方的位置相同。例如：A1位于等式左方表達式的分子和分母的左側(cè)，與其對應(yīng)的數(shù)字B1位于等式右方的表達式的分子和分母的左側(cè)。

（3）還需要注意的一個問題是：如果對A1和A2的數(shù)值進行交換，則必須同時對B1和B2的數(shù)值也交換，否則，計算得出的結(jié)果一定不正確。

該式子采用的是復(fù)利現(xiàn)值系數(shù)的思路做的，如果改為年金現(xiàn)值系數(shù)，每年的利息其實就是年金，要收取5年，所以說是5年期的，59*（P/A，R，5）+1250×（P/F，R，5）=1000.

因此，9%現(xiàn)值利率，1035.617 9%，1000 r 921.9332 12%， （1035.617-1000）/（1035.617-921.9332）=（9%-r）/（9%-12%），解之得，r=10%，9%是估計出來的。在計算9%和12%之前，會有很多次預(yù)測，最終估算確定出9%和12%來推算r。

例如：假設(shè)與A1對應(yīng)的數(shù)據(jù)是B1，與A2對應(yīng)的數(shù)據(jù)是B2，現(xiàn)在已知與A對應(yīng)的數(shù)據(jù)是B，A介于A1和A2之間，即下對應(yīng)關(guān)系：

A1 B1

A（？） B

A2 B2

則可以按照（A1-A）/（A1-A2）=（B1-B）/（B1-B2）計算得出A的數(shù)值，其中A1、A2、B1、B2、B都是已知數(shù)據(jù)。根本不必記憶教材中的公式，也沒有任何規(guī)定必須B1＞B2，驗證如下：

根據(jù)：（A1-A）/（A1-A2）=（B1-B）/（B1-B2）可知：（A1-A）=（B1-B）/（B1-B2）×（A1-A2），A=A1-（B1-B）/（B1-B2）×（A1-A2）=A1+（B1-B）/（B1-B2）×（A2-A1）.

例如：某人向銀行存入5000元，在利率為多少時才能保證在未來10年中每年末收到750元？5000/750=6.667或750*m=5000，查年金現(xiàn)值表，期數(shù)為10，利率i=8%時，系數(shù)為6.710；利率i=9%，系數(shù)為6.418。說明利率在8%～9%之間，設(shè)為x%

（x%-8%）/（9%-8%）=（6.667-6.71）/（6.418-6.71），計算得出x=8.147。

二、經(jīng)典例題

2000年1月1日，ABC公司支付價款120000元（含交易費用），從活躍市場上購入某公司5年期債券，面值180000元，票面利率5%，按年支付利息（即每年9000元），本金最后一次支付。合同約定，該債券的發(fā)行方在遇到特定情況時可以將債券贖回，且不需要為提前贖回支付額外款項。XYZ公司在購買該債券時，預(yù)計發(fā)行方不會提前贖回。ABC公司將購入的該公司債券劃分為持有至到期投資，且不考慮所得稅、減值損失等因素。為此，XYZ公司在初始確認(rèn)時先計算確定該債券的實際利率：

設(shè)該債券的實際利率為r，則可列出如下等式：

采用插值法，可以計算得出r=14.93%，由此可編制表

年份期初攤余成本（a）實際利率（r）r=14.93% 現(xiàn)金流入（c）期末攤余成本d=a+r-c

但是如果計算利率r先假設(shè)兩個實際利率a和b，那么這兩個利率的對應(yīng)值為A和B，實際利率是直線a、b上的一個點，這個點的對應(yīng)值是120000，則有方程：（a-r）/（A-120000）=（b-r）/（B-120000）.

假設(shè)實際利率是13%，則有9000×3.5172+180000× 0.5428=31654.8+97704=129358.8.

假設(shè)實際利率是15%，則有9000×3.3522+180000× 0.4972=30169.8+89496=119665.8.

（0.13-r）/9358.8=（0.15-r）/（-334.2），解得：r=14.93%.

G712

A

1674-9324（2014）13-0105-02