有限與無限

蕭偉光

阿基里斯能不能追上烏龜，這是古希臘哲學家們熱衷討論的一個命題。阿基里斯是一位跑得很快的英雄，現在要去追趕在他前面不遠、行動十分遲緩的烏龜，結果似乎是毋庸置疑的。但是，愛利亞學派的代表人物芝諾卻說：“不能。”且聽他的推理——假設賽跑開始的時候，烏龜在阿基里斯前方100米，并假設阿基里斯的速度是烏龜爬行速度的10倍。當阿基里斯跑了100米到達烏龜原來所在的位置時，烏龜已又向前跑了10米。當他再跑完10米去追趕烏龜時，發現烏龜還在他前面1米。他再跑1米，烏龜還在他之前10厘米。如此下去，阿基里斯似乎只能一次次到達烏龜所經過的地點，而永遠也追不上烏龜。

這個看似荒謬的推論，引起了從亞里士多德到黑格爾等無數科學家、思想家的熱切討論。

事實上，從純數學的角度來看，芝諾的推論是沒問題的，因為任何兩點之間都有無數個點，微積分只是從理論上描述了這個現象，至于宇宙為什么如此，這是數學解釋不了的，也不是數學的任務。量子物理則證偽了這個悖論——因為時間和空間不是無限可分的，所以芝諾的時空概念是不成立的，阿基里斯一定追得上烏龜。

數學和物理學各有所長，但建立在科學基礎上的哲學卻綜合了二者之長。以“哲學眼”去看待這個悖論，似乎能給人以另一重啟迪：無限并不遙遠，有限之中蘊含著無限。佛說“一花一世界，一葉一如來”，儒家講“人人有一太極，物物有一太極”，“太極”就是普遍存在的“理”，這個“理”不是死物，而是生生不已的。南宋大儒朱熹有云：“如一粒粟生為苗，苗便生花，花便結實，又成粟，還復本形。一穗有百粒，每粒個個完全；又將這百粒去種，又各成百粒。生生只管不已，初間只是這一粒分去。”倘深明此理，則瞬間即含永恒，當下即可圓滿，何必焦慮而辛苦地向外尋求！現代人追求數量卻忘了質量，追求通向幸福的工具卻忘了生活本身，何嘗不是自尋煩惱呢！明乎此，儒釋道的經典方有入處，不然，可能處處不通。

有限之心無以把握無限之理，舉個數學上的例子來講：

S=1-1+1-1+1-1……

這個無窮的數列，結果是多少？

有人說，這還不簡單，結果是0，因為每兩項一組，每一組都是0，無窮個0相加，結果自然也是0；也有人說，不對，結果應該是1，因為把第一項獨立出來，后面每兩項一組，每一組都是0，1與無窮個0相加，結果自然應該是1；還有人說，結果應該是1/2，因為上面的等式可以改寫作S=1-（1-1+1-1+1-1……）=1-S，移項，于是就得出S=1/2。

似乎都有道理。究竟孰是孰非？這個代數式如何計算，連被尊為“數學家之英雄”的瑞士數學家歐拉也犯下過錯誤。

事實上，根據無窮級數理論，此式沒有結果。習慣了1+1=2這類精確數學、“有限”數學的人一定郁悶了：怎么可能存在沒有結果的“無限”算式呢！

數學從有限發展到無限，是人類思維方式的巨大飛躍。哲學又何嘗不是如此。“孔子登東山而小魯，登泰山而小天下。”站得高才能看得遠；牛頓說，自己之所以取得成就是因為“站在巨人的肩膀上”。我們后人動不動援引之，卻不曉得，自己可能連巨人的膝蓋都沒碰著，遑論肩膀；連東山都沒有爬上去，就自以為登上了泰山。有些東西是可以在前人基礎上積累的，有些東西卻“如人飲水，冷暖自知”，比如心胸與境界。

（邱寶珊摘自《光明日報》2013年11月13日）